Матрицы и действия над ними

Системы линейных уравнений

Понятия системы линейных уравнений и ее решения

Системы линейных уравнений – это системы уравнений первой степени с несколькими неизвестными:

где - неизвестные;

- коэффициент при неизвестном в -ом уравнении,

- свободный член -ого уравнения.

В компактном виде эту систему можно представить в записи:

В отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных.

Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность чисел , что каждое из этих уравнений обращается в тождество после замены в нем неизвестных соответствующими числами , .

Несовместной называется система линейных уравнений, которая не имеет ни одного решения.

Совместной называется система линейных уравнений, которая обладает решениями.

Определенной называется совместная система линейных уравнений, если она обладает одним – единственным решением, а неопределенной, если решений больше, чем одно.

Неизвестные (переменные) в системе линейных уравнений могут быть представлены вектором размерности :

Тогда и решение системы линейных уравнений может быть представлено вектором той же размерности:

Решением неопределенной системы линейных уравнений является множество векторов.

Задача теории систем линейных уравнений состоит:

1) в установлении совместности системы линейных уравнений;

2) в установлении определенности совместной системы линейных уравнений;

3) в указании способа нахождения решений совместной системы линейных уравнений.

Вопросы для самопроверки

¨ Какие уравнения называются линейными?

¨ Что является решением системы линейных уравнений?

¨ Какая система линейных уравнений называется несовместной?

¨ Относятся ли определенная и неопределенная системы линейных уравнений к совместным?

¨ Может быть неопределенная система линейных уравнений несовместной?

¨ Чем отличаются между собой определенная и неопределенная системы линейных уравнений?

¨ В чем состоит задача теории систем линейных уравнений?

Решение определенной системы линейных уравнений

Матрицы и действия над ними

Матрицей из строк и столбцов называется составленная из коэффициентов при неизвестных в системе линейных уравнений прямоугольная таблица

где - элемент матрицы, , .

- мерным вектором называется упорядоченная система чисел:

Компонентами (муж. род) вектора называются числа ,

Строки матрицы являются -мерными векторами , а столбцы - -мерными векторами

Любой вектор может быть представлен как матрица:

Действия над матрицами соответствуют действиям над векторами.

Суммой двух матриц и является матрица элементы которой есть сумма соответствующих элементов слагаемых матриц:

где

Суммируются матрицы только одинаковой размерности.

Произведением матрицы на число называется матрица элементы которой есть произведения элементов матрицы на число :

где

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которой есть сумма произведений соответствующих элементов из строки матрицы и из столбца матрицы (по правилу “строка на столбец”):

где

Умножаются первая матрица на вторую только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Получаемая в результате этого произведения матрица имеет столько же строк, сколько имеет первая матрица-сомножитель, и столько столбцов, сколько имеет вторая матрица-сомножитель.

Примеры

Дано:

и .