Запись системы линейных уравнений в виде матричного уравнения
Обозначим столбец неизвестных:
Обозначим столбец свободных членов:
Тогда рассматриваемую систему линейных уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения:
Примеры
В рассмотренных ранее примерах системы линейных уравнений представляются в виде матричных уравнений:
1)
эквивалентна
;
2)
эквивалентна
;
3)
эквивалентна
;
4)
эквивалентна
.
Систему линейных уравнений
можно представить расширенной матрицей
.
Определитель квадратной матрицы и его вычисление
Определитель есть число, определяемое для квадратной матрицы.
Системе линейных уравнений
из двух уравнений с двумя неизвестными соответствует квадратная матрица второго порядка
Исключая из системы поочередно каждое неизвестное, получим выражения:
Обозначим определитель второго порядка матрицы вычисляемый по правилу:
Аналогично выводится правило для определителя третьего порядка:
Схематично обозначим в определителе произведения элементов, которые берутся со знаком плюс и минус:
Определителем –ого порядка, соответствующим матрице
, называется определенная алгебраическая сумма
всевозможных произведений
элементов этой матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце.
Вычисление определителя для матрицы требует расчета
произведений и определения знака их суммирования. При
- это
произведения, при
- это
произведений, а при
- уже
. Поэтому определители высоких порядков проще вычислять понижением порядка.
Минором -ого порядка элемента
матрицы
называется определитель
матрицы, получающейся после вычеркивания из матрицы
-ой строки и
-ого столбца:
Алгебраическим дополнением элемента называется определитель:
.
Определитель равен сумме произведений всех элементов его
-ой строки на их алгебраические дополнения:
Последнее выражение называется разложением определителя по
-ой строке. Аналогичное разложение определителя можно получить и по любому его столбцу:
Вычисление определителя -ого порядка понижением порядка сводится к вычислению
определителей
-ого порядка.
Специальным приемом можно снизить необходимое число рассчитываемых определителей, как это показано ниже на примере.
Пример
Вычислить определитель матрицы
Решение.
А) Вычислим определитель способом понижения порядка, используя разложение по -ому столбцу:
Ответ:
Б) Вычислим определитель более рациональным способом, используя предварительные эквивалентные преобразования.
Следующее эквивалентное преобразование матрицы не влияет на величину ее определителя: прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число.
Будем вычислять определитель путем разложения по -ой строке.
Преобразуем эту строку прибавлением к ней -ой строки с целью получения в ней больше нулевых элементов:
Продолжаем эквивалентные преобразования с той же целью, прибавляя к -ому столбцу утроенный
-ой столбец:
Тогда
Ответ: