Задания к лабораторной работе 2

Задание № 1

Постройте графики функций.

 

Вариант Функция одной переменной Параметрическое задание кривой Функция двух переменных

 

 

Задание № 2

Отобразить графически пересечение поверхностей и . Матрицы для построения поверхностей задать с помощью функции CreateMesh.

Контрольные вопросы

1. Как построить график?

2. Как построить несколько графиков в одной системе координат?

3. Как построить декартовый график?

4. Как отформатировать построенный график?

5. Как построить график кривой, заданной параметрически?

6. Как построить график в полярной системе координат?

7. Как построить график поверхности?

8. Для чего используются функции CreateMesh, CreateSpace?

 


Лабораторная работа 3. Векторы и матрицы

 

Общие сведения

Задачи линейной алгебры, решаемые в MathCAD, можно условно разделить на два класса. Первый это простейшие матричные операции, которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они реализованы в виде операторов и нескольких специфических функций, предназначенных для создания, объединения, сортировки, получения основных свойств матриц и т. д. Второй класс это более сложные действия, которые реализуют алгоритмы вычислительной линейной алгебры, такие как вычисление определителей и обращение матриц, вычисление собственных векторов и собственных значений, решение систем линейных алгебраических уравнений и различные матричные разложения.

Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCAD в виде операторов, причем их запись максимально приближена к математическому значению. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Некоторые операции применимы только к квадратным матрицам, некоторые допускаются только для векторов (например, скалярное произведение), а другие, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

Создание матриц

Имеется два способа создать матрицу.

 

1-й способ. Использование команды создания массивов:

· Воспользоваться командой Вставка ® Матрица;

· нажатие клавиш Ctrl+M;

· выбор пиктограммы с изображением шаблона матрицы на панели инструментов Матрицы.

В диалоговом окне указать размерность матрицы, т. е. количество ее строк m (Rows) и столбцов n (Columns).

Для векторов один из этих параметров должен быть равен 1. При m = 1 получим вектор-столбец, а при n = 1 – вектор-строку.

Далее на экране появится шаблон , в который нужно ввести значения элементов массива.

Обращаться к отдельным элементам вектора или матрицы можно используя нижний индекс. Для элемента матрицы указываются два индекса, один для номера строки, другой для номера столбца.

Чтобы ввести нижний индекс, нужно нажать клавишу [ после имени вектора или матрицы или выбрать команду на панели Матрицы.

2-й способ. Использование ранжированной переменной.

Ранжированная переменная используется для определения индекса (номера) элемента массива.

Например:

1) Создать матрицу В, состоящую из 2 строк и 3 столбцов.

 

 

2) Создать вектор S, состоящий из 3 элементов

 

Таким образом, первый способ удобен для явного задания числовой матрицы, а второй – при наличии общих формул ее элементов. Также можно задавать (а затем извлекать) отдельные элементы матрицы или вектора, используя нижние индексы. Можно также обращаться к отдельному столбцу массива, используя верхний индекс. Чтобы напечатать нижний индекс, используйте клавишу левой скобки [ и поместите в поле целое число или пару целых чисел. Чтобы вставить оператор верхнего индекса, нажмите [Ctrl]6 и поместите в поле целое число.

Вектор и элементы матрицы обычно нумеруются, начиная с нулевой строки и нулевого столбца. Чтобы изменить этот порядок, замените значение встроенной переменной ORIGIN (локально или глобально).

Можно изменять размер матрицы, вставляя и удаляя строки и столбцы. Для этого необходимо выполнить следующее:

  1. Щёлкните на одном из элементов матрицы, чтобы заключить его в выделяющую рамку. Mathcad будет начинать вставку или удаление с этого элемента.
  2. Выберите Матрицыиз меню Математика. Появляется диалоговое окно.
  3. Напечатайте число строк и (или) столбцов, которые нужно вставить или удалить. Затем нажмите на «Вставить» или на «Удалить». Например, чтобы удалить столбец, который содержит выбранный элемент, напечайте 1 в поле «Столбцов», 0 в поле «Строк», и нажмите на «Удалить».

Поэкспериментируйте, чтобы разобраться, как Mathcad будет удалять или вставлять строки или столбцы, в зависимости от того, что впечатывается в диалоговое окно.

Операторы для работы с матрицами и векторами

Некоторые операторы для работы с матрицами и векторами приведены в следующей таблице.

Обозначения: для векторов V, для матриц М , для скалярных величин z. Обратите внимание, что операторы, которые ожидают в качестве аргумента вектор, всегда ожидают вектор-столбец, а не вектор-строку. Чтобы заменить вектор-строку на вектор-столбец, используйте оператор транспонирования[Ctrl]1.

 

Оператор Ввод Назначение оператора
V1+V2 Сложение двух векторов V1 и V2
V1-V2 Вычитание двух векторовV1 и V2
-М Смена знака у элементов матрицы M
V-z Вычитание из вектора V скаляра z
z*V, V*z Умножение вектора V на скаляр z
z*M, M*z Умножение матрицы М на скаляр z
VI*V2 Скалярное произведение векторов V1, V2
M*V Умножение матрицы М на вектор V
М1*М2 Произведение двух матриц М1 и М2
V/z Деление вектора V на скаляр z
M/z Деление матрицы М на скаляр z
М^n Возведение матрицы М в степень п
[Ctrl]4V Суммирует элементы вектора V; возвращает скаляр.

Некоторые операции с матрицами вынесены на панель инструментов Матрицы. Например:

 

Кнопка Назначение
Создание матрицы
Обратная матрица
Определитель матрицы
Транспонирование матрицы
Выделение столбца матрицы

 

Пример 1

Mathcad также содержит функции для обычных в линейной алгебре действий с массивами данных (матрицами и функциями).

Некоторые функции для работы с векторами и матрицами.

В Mathcad есть несколько функций, которые возвращают информацию относительно размеров массива и диапазона его элементов. В частности,

length(V) возвращает число элементов в векторе v;

last(V) возвращает индекс последнего элемента;

cols(M) – возвращает число столбцов матрицы М;

rows(M) – возвращает число строк матрицы М;

max(A) возвращает максимальный по значению элемент;

min(A) возвращает минимальный по значению элемент

(V должен быть вектором, A может быть вектором либо матрицей).

 

Можно использовать следующие функции, чтобы произвести от матриц или скаляров матрицу специального типа или формы.

augment(M1, М2) – объединяет в одну матрицы М1 и М2, имеющие одинаковое число строк;

identity(n) – создает единичную квадратную матрицу размером , (n – размер матрицы(число));

stack(M1, M2) – объединяет две матрицы М1 и M2, имеющие одинаковое число столбцов, помещая M1 над M2;

diag(V) – создает диагональную матрицу, элемент главной диагонали которой – вектор V;

submatrix(M, ir, jr, ic, jc) – возвращает подматрицу, состоящая из всех элементов, содержащихся в строках с ir по jc и столбцах с ic по jc. Чтобы поддерживать порядок строк и-или столбцов, удостоверьтесь, что ir не больше, чем jr и ic не больше, чем jc, иначе порядок строк и (или) столбцов будет обращен.

Другие функции:

rank(M) – возвращает ранг матрицы М;

tr(M) – возвращает след (сумму диагональных элементов) квадратной матрицы М;

eigenvals(M) – возвращает вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы M (M должна быть квадратной матрицей);

eigenvec(M,z) – возвращает нормированный собственный вектор, соответствующий собственному значению z квадратной матрицы M.

Символьные вычисления

Все матричные и векторные операторы допустимо использовать как в численных, так и в символьных расчетах. Мощь символьных операций заключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными.

Пример 2