Дифференциальное исчисление

Введение в анализ

1. Найти область определения функции
Ответ: а) ;
б) (верный ответ);
в) ;
г) Æ.

2. Найти область определения функции
Ответ: а) ;
б) ;
в) ;
г) (верный ответ).

3. Найти область определения функции
Ответ: а) (верный ответ);
б) ;
в) ;
г) .

4. Какие из указанных функций являются четными, какие нечетными, какие не являются ни четными, ни нечетными 1) ; 2) ; 3) ?
Ответ: а) 1, 3 – четные, 2 – нечетная и не нечетная;
б) 1, 2 – не четные и не нечетные, 3 – четная;
в) все функции не являются ни четными и ни нечетными;
г) 1 – нечетная, 2 – не является ни четной, ни нечетной, 3 – четная (верный ответ).

5. Какие из перечисленных функций являются периодическими и какой у них наименьший положительный период 1) ; 2) ; 3) ?
Ответ: а) 1 и 3 – периодические, ;
б) 1 – периодическая, , 2 – периодическая, ;
в) 1 – периодическая, (верный ответ);
г) 1 – периодическая, .

6. Зная график функции , построить график функции
Ответ: а) (верный ответ);
б) ;
в) ;
г)

7. Найти
Ответ: а) ;
б) ;
в) 2(верный ответ);
г) 1.

8. Найти
Ответ: а) ;
б) ;
в) ;
г) (верный ответ).

9. Найти
Ответ: а) 0;
б) ;
в) 1;
г) (верный ответ).

10. Найти
Ответ: а) 12(верный ответ);
б) 4;
в) 3;
г) .

11. Найти

Ответ: а) ;
б) 3;
в) 2;
г) 1(верный ответ).

12. Найти
Ответ: а) ;
б) 2;
в) ;
г) (верный ответ).

13. Найти
Ответ: а) ;
б) (верный ответ);
в) ;
г) .

14. Найти
Ответ: а) ;
б) ;
в) (верный ответ);
г) не существует.

15. Существует ли предел функции в точках и ? Если существует, то чему равен?
Ответ: а) в точке существует и , в точке не существует (верный ответ);
б) в точках и пределы не существуют;
в) пределы существуют: ; ;
г) в точке предел не существует, а в точке .

16. Найти точки разрыва функции .
Ответ: а) ;
б) ;
в) (верный ответ);
г) .

17. . Найти А и В, если известно, что функция не имеет точек разрыва.
Ответ: а) А=0, В=1;
б) А=1, В=1;
в) А=2, В=2;
г) А=2, В=-2(верный ответ).

18. . Найти b, если функция непрерывна для всех .
Ответ: а) b=0;
б) b=1(верный ответ);
в) b=-1;
г) b=-2.

19. Найти точки разрыва функции и определить их характер .
Ответ: а) точка разрыва , устранимый разрыв(верный ответ);
б) точка разрыва , разрыв первого рода с конечным скачком;
в) односторонние пределы в точке не существуют;
г) точек разрыва функция не имеет.

20. Функция , где - неизвестная функция, непрерывна в точке, и ее . Найти значения .
Ответ: а) ;
б) ;
в) (верный ответ);
г) .

21. Задана сходящаяся последовательность и . Найти предел , если он существует.
Ответ: а) ничего определенного сказать нельзя;
б) ;
в) (верный ответ);
г) .

22. Функция является
1) непрерывной на R;
2) непрерывной на R\{0} (верный ответ);
3) периодической на R;
4) ограниченной на R.

23. Функция является
1) ограниченной на R;
2) периодической на R;
3) непрерывной на R (верный ответ);
4) монотонно убывающей на R.

24. Функция является
1) монотонно убывающей на R;
2) ограниченной на R;
3) непрерывной на R (верный ответ);
4) периодической на R.

25. Функция является
1) монотонно возрастающей на R;
2) непрерывной на R;
3) ограниченной на R;
4) непрерывной на R\{0} (верный ответ).

26. Функция является
1) неограниченной на R;
2) периодической на R с периодом (верный ответ);
3) монотонно возрастающей на R;
4) разрывной в точке .

27. Функция является
1) непрерывной при (верный ответ);
2) периодической с периодом ;
3) ограниченной при ;
4) элементарной функцией при .

28. Функция является
1) ограниченной при (верный ответ);
2) элементарной функцией при ;
3) периодической функцией при ;
4) монотонно возрастающей функцией при .

29. Функция является
1) элементарной на R;
2) непрерывной на R (верный ответ);
3) периодической на R;
4) монотонной на R.

30. Предел функции равен
1) 0 (верный ответ);
2) 2;
3) ;
4) 3.

31. Предел функции равен
1) 1;
2) (верный ответ);
3) ;
4) .

32. Предел функции равен
1) (верный ответ);
2) ;
3) ;
4) 1.

33. Предел функции равен
1) (верный ответ);
2) ;
3) ;
4) .

34. Множество [1,3] является
1) неограниченным сверху;
2) неограниченным снизу;
3) ограниченным (верный ответ);
4) неограниченным и сверху и снизу.

35. Множество [1,+¥) является
1) неограниченным сверху (верный ответ);
2) ограниченным;
3) неограниченным снизу;
4) неограниченным сверху и снизу.

36. Точная верхняя грань множества равна
1) 1;
2) 2 (верный ответ);
3) 0;
4) 3.

37. Точная нижняя грань множества равна
1) 0;
2) 1 (верный ответ);
3) 2;
4) .

38. Точная верхняя грань множества равна
1) 0;
2) 1 (верный ответ);
3) 2;
4) 3.

39. Точная нижняя грань множества равна
1) (верный ответ);
2) ;
3) ;
4) 0.

Дифференциальное исчисление

1. Производная функции в точке равна:
Ответ: 1) 1;
2) –1;
3) 0;
4) не определена (верный ответ).

2. Сумма значений производной функции в точках и равна:
Ответ: 1) ;
2) (верный ответ);
3) ;
4) другой ответ.

3. Значение производной функции в точке равно:
Ответ: 1) 1;
2) меньше единицы;
3) больше единицы;
4) не определено (верный ответ).

4. Производная функции имеет вид:
Ответ: 1) ;
2) (верный ответ);
3) ;
4) другой ответ.

5. Производная функции имеет вид:
Ответ: 1) (верный ответ);
2) ;
3) ;
4) другой ответ.

6. Значение производной функции в точке равно:
Ответ: 1) –1;
2) 0;
3) 1;
4) не определено (верный ответ).

7. Существование конечных односторонних производных функции в точке является:
Ответ: 1) достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке;
2) необходимым условием дифференцируемости функции в этой точке (верный ответ);
3) необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке;
4) ни одно из высказываний 1-3 не имеет места.

8. Точка движется прямолинейно по закону . Тогда скорость ее в момент времени равна:
Ответ: 1) 1 (верный ответ);
2) 2;
3) 3,5;
4) другой ответ.

9. Производная неявной функции , заданной уравнением при имеет значение:
Ответ: 1) ;
2) (верный ответ);
3) 1;
4) .

10. Функция задана параметрически системой уравнений: . Производная равна:
Ответ: 1) ;
2) (верный ответ);
3) 1;
4) .

11. Производная четной дифференцируемой функции является:
Ответ: 1) четной функцией;
2) нечетной функцией (верный ответ);
3) ни четной, ни нечетной функцией;
4) невозможно определить.

12. Производная дифференцируемой периодической функции является:
Ответ: 1) периодической функцией с тем же периодом (верный ответ);
2) периодической функцией возможно с другим периодом;
3) непериодической функцией;
4) невозможно определить.

13. Площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции в точке с абсциссой равна:
Ответ: 1) 2;
2) 1 (верный ответ);
3) 5;
4) .

14. Парабола пересекает ось абсцисс в начале координат под углом 45^о при значении параметра а, равном:
Ответ: 1) 1;
2) 3;
3) 4 (верный ответ);
4) другой ответ.

15. ; равна:
Ответ: 1) 4×124!;
2) 0 (верный ответ);
3) 123!;
4) 4×14!

16. ; равна:
Ответ: 1) (верный ответ);
2) ;
3) ;
4) .

17. Координаты точки на графике функции , в которой касательная, проведенная к графику, будет перпендикулярна прямой , равны:
Ответ: 1) (1;2);
2) ;
3) (-1;-4);
4) такой точки не существует (верный ответ).

18. Найти дифференциал функции
Ответ: а) (верный ответ);
б) ;
в) ;
г) .

19. Найти дифференциал функции
Ответ: а) ;
б) (верный ответ);
в) ;
г) .

20. Найти дифференциал функции
Ответ: а) ;
б) ;
в) (верный ответ);
г) .

21. Найти дифференциал функции
Ответ: а) ;
б) ;
в) ;
г) (верный ответ).

22. Найти дифференциал функции
Ответ: а) (верный ответ);
б) ;
в) ;
г) .

23. Найти дифференциал второго порядка функции
Ответ: а) ;
б) (верный ответ);
в) ;
г) .

24. Найти дифференциал второго порядка функции
Ответ: а) ;
б) ;
в) (верный ответ);
г) .

25. Найти дифференциал второго порядка функции
Ответ: а) ;
б) ;
в) ;
г) (верный ответ).

26. Найти дифференциал второго порядка функции
Ответ: а) (верный ответ);
б) ;
в) ;
г) .

27. Найти дифференциал второго порядка функции
Ответ: а) ;
б) (верный ответ);
в) ;
г) .

28. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой

Ответ: а) (верный ответ);
б) ;
в) ;
г) .

29. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой

Ответ: а) ;
б) ;
в) ;
г) (верный ответ).

30. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой

Ответ: а) ;
б) (верный ответ);
в) ;
г) .

31. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой

Ответ: а) ;
б) ;
в) (верный ответ);
г) .

32. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой

Ответ: а) (верный ответ);
б) ;
в) ;
г) .

33. Написать уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой

Ответ: а) ;
б) ;
в) ;
г) (верный ответ).

34. Написать уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой

Ответ: а) ;
б) ;
в) (верный ответ);
г) .

35. Написать уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой

Ответ: а) ;
б) (верный ответ);
в) ;
г) .

36. Написать уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой

Ответ: а) (верный ответ);
б) ;
в) ;
г) .

37. Написать уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой

Ответ: а) ;
б) (верный ответ);
в) ;
г) .

38. Найти точку на кривой , касательная в которой перпендикулярна прямой

Ответ: а) ;
б) (верный ответ);
в) ;
г) .

39. Найти точку на кривой , касательная в которой параллельна прямой

Ответ: а) ;
б) (верный ответ);
в) ;
г) .

Приложения производной

1. равен:
Ответ: 1) 1;
2) (верный ответ);
3) 0;
4) .

2. равен:
Ответ: 1) 4;
2) ;
3) (верный ответ);
4) .

3. равен:
Ответ: 1) 2;
2) -2;
3) 0;
4) (верный ответ).

4. равен:
Ответ: 1) ;
2) (верный ответ);
3) ;
4) .

5. Предел функции равен
1) (верный ответ);
2) ;
3) ;
4) .

6. Предел функции равен
1) (верный ответ);
2) ;
3) ;
4) .

7. Предел функции равен
1) (верный ответ);
2) ;
3) ;
4) .

8. Предел функции равен
1) –4 (верный ответ);
2) –3;
3) ;
4) .

9. равен:
Ответ: 1) -1;
2) 1(верный ответ);
3) не существует;
4) -2.

10. равен:
Ответ: 1) ;
2) ;
3) не существует;
4) (верный ответ).

11. равен:
Ответ: 1) ;
2) (верный ответ);
3) ;
4) 5.

12. равен:
Ответ: 1) (верный ответ);
2) ;
3) 3;
4) 5.

13. равен:
Ответ: 1) 1;
2) (верный ответ);
3) ;
4) 0.

14. Функция является монотонной на промежутках:
Ответ: 1) ;
2) ;
3) ;
4) (верный ответ).

15. Если функция убывает при всех значениях x, то значение параметра а принадлежит промежутку:
Ответ: 1) ;
2) (верный ответ);
3) ;
4) .

16. Промежутками возрастания функции является:
Ответ: 1) (верный ответ);
2) ;
3) ;
4) .

17. Значения параметра а, при которых функция возрастает на всей числовой оси, принадлежит промежутку:
Ответ: 1) ;
2) (верный ответ);
3) ;
4) .

18. Число действительных корней производной многочлена равно:
Ответ: 1) 3 (верный ответ);
2) 4;
3) 2;
4) невозможно определить.

19. Значения параметра а, при которых функция не имеет критических точек, принадлежат промежутку:
Ответ: 1) ;
2) ;
3) или (верный ответ);
4) другой ответ.

20. Значения параметра а, при которых функция не имеет критических точек, принадлежат промежутку:
Ответ: 1) ;
2) или (верный ответ);
3) ;
4) другой ответ.

21. Значения параметра а, при которых среди корней уравнения имеются два равных, следующие:
Ответ: 1) (верный ответ);
2) ;
3) ;
4) .

22. Уравнение имеет:
Ответ: 1) только один действительный корень (верный ответ);
2) три действительных корня, среди которых два равных;
3) три различных действительных корня;
4) другой ответ.

23. Если трехчлен имеет минимум при , причем этот минимум равен 5, то значения параметров и равны:
Ответ: 1) ;
2) (верный ответ);
3) ;
4) .

24. Все корни многочлена действительные и разные. Тогда производная этого многочлена имеет:
Ответ: 1) n действительных корней;
2) по крайней мере (n-1) действительный корень;
3) точно (n-1) действительный корень (верный ответ);
4) невозможно определить.

25. Наибольшее значение параметра а, при котором является точкой экстремума функции , равно:
Ответ: 1) 10;
2) 5;
3) 7 (верный ответ);
4) –3.

26. Значение параметра с, при котором функция не имеет экстремума в критической точке, равно:
Ответ: 1) 1,92 (верный ответ);
2) –10,08;
3) 2;
4) –10.

27. Число точек экстремума функции равно:
Ответ: 1) 2;
2) 3;
3) 6;
4) 1 (верный ответ).

28. Наименьшее значение функции на отрезке равно:
Ответ: 1) ;
2) ;
3) (верный ответ);
4) другой ответ.

29. Точка является точкой перегиба кривой при значениях параметров а и b, равных:
Ответ: 1) (верный ответ);
2) ;
3) ;
4) другой ответ.

30. Уравнение касательной к графику функции в точке минимума этой функции имеет вид:
Ответ: 1) ;
2) (верный ответ);
3) ;
4) .

31. График функции является выпуклой кривой на интервале:
Ответ: 1) ;
2) (верный ответ);
3) ;
4) другой ответ.

32. Число асимптот графика функции равно:
Ответ: 1) 2;
2) 1;
3) 3 (верный ответ);
4) 0.

33. Функция принимает наименьшее значение на отрезке в точке:
Ответ: 1) ;
2) 1 (верный ответ);
3) 2;
4) .

34. Представление числа 12 в виде суммы двух положительных слагаемых, таких что сумма их квадратов принимает наименьшее значение, имеет вид:
Ответ: 1) 4+8;
2) 6+6 (верный ответ);
3) 5+7;
4) 3+9.

35. График четной функции имеет асимптоту при . Тогда уравнение асимптоты при имеет вид:
Ответ: (верный ответ);
2) ;
3) ;
4) невозможно определить.