Приклад виконання Завдання №3.
Матеріальне виробництво розділене на дві галузі: енергетика і машинобудування.
Задані матриця прямих витрат
і вектор кінцевого продукту
.
Визначити:
1. Необхідний обсяг валового випуску кожної галузі.
2. Міжгалузеві потоки.
Реалізація задачі в MathCAD:
| Обчислення | Пояснення |
| ORIGIN – зумовлена константа, яка задає початкову нумерацію елементів вектора або матриці (за умовчанням елементи нумеруються з 0). identity(n) – функція, яка задає одиничну матрицю (n – розмір матриці). |
| Q – вектор валового продукту |
| i – ранжована змінна, яка набуває значень 1, потім 2 і організовує циклічні обчислення по створенню матриці М.
 - команда виділяє i – ий стовпець матриці в окремий вектор.
М - матриці, що містить величини міжгалузевих потоків qi,j, і обчислюються виходячи з формули (2).
.
|
Варіанти індивідуального Завдання №3
| № варіанту | А | q |
| 1. | 
| 
|
| 2. | 
| 
|
| 3. | 
| 
|
| 4. | 
| 
|
| 5. | 
| 
|
| 6. | 
| 
|
| 7. | 
| 
|
| 8. | 
| 
|
| 9. | 
| 
|
| 10. | 
| 
|
| 11. | 
| 
|
| 12. | 
| 
|
| 13. |
|
|
| 14. |
|
|
| 15. |
|
|
| 16. |
|
|
| 17. |
|
|
| 18. |
|
|
| 19. |
|
|
| 20. |
|
|
IV.4. Завдання № 4.
Тема:Ухвалення оптимального рішення в умовах визначеності.
Короткі теоретичні відомості для виконання Завдання №4
Задача ухвалення рішення в умовах визначеності зводиться до знаходження мінімуму або максимуму цільової функції, яка описує досліджувану економічну систему.
Розв’язання завдач оптимізації (завдання пошуку мінімуму і максимуму функцій однієї або багатьох змінних) – одна з найважливіших сфер застосування математичних методів. В області економіки існує безліч ситуацій, коли буває потрібно знати максимум або мінімум функції.
Розглянемо розв/язання задачі одновимірної оптимізації.
Задана цільова функція у = f(x). Де f(x) – нелінійна функція. Потрібно визначити мінімальне (максимальне) значення функції. Дана задача має рішення, якщо функція f(x) обмежена знизу (зверху). Методи рішення задачі припускають попереднє знаходження точки мінімуму (максимуму) х* функції, тобто точки, в якій функція досягає свого найменшого (найбільшого) значення. Максимальне (мінімальне) значення функції у* знаходиться як: у* = f(х*). Як правило, точки мінімуму (максимуму) для нелінійних функцій є ірраціональними числами. Тому при їх знаходженні необхідно задати точність знаходження точки мінімуму (максимуму) e ( мале число, що визначає, наскільки точне рішення відрізнятиметься від знайденого наближеного).
Розвязання задачі проводиться в два етапи:
- графічний аналіз функції f(x);
- знаходження точки мінімуму (максимуму).
Для графічного аналізу потрібно побудувати графік функції f(x) і визначити чи має завдача розв’язок. Якщо має, то визначити «грубе» значення точки мінімуму (максимуму).
Для графічного аналізу функції f(x) необхідна побудова графіка функції.
Для побудови графіків в системі MathCad є графічний процесор, який дозволяє будувати найрізноманітніші графіки (у декартовій системі, в полярній системі координат, тривимірні графіки і так далі) Для побудови графіків необхідно подати команду Insert ®Graph ( Вставка ® Графік) або скористатися Панеллю інструментів Графіки (Graph), яка визивається з панелі Математика кнопкою 
із зображенням графіка.
Побудова двомірних графіків в координатних осях X-Y. Кожна точка в декартовій системі характеризується своїми координатами х і y =f(x), де х абсциса точки, а y ордината. Точки з'єднуються одна з одною різноманітними лініями (суцільною, пунктирною і так далі).
Для побудови графіків в декартовій системі координат MathCad передбачає два способи побудови графіків функцій однієї змінної у = f(x).
1. Спрощений спосіб без задання значень ранжованій змінній х (границі х задаються автоматично від –10 до10);
Послідовність дій наступна:
1). Подати команду
Insert®Graph®X-Y Plot (Вставка®Графік®Декартові координати) з меню
або кнопкою з панелі
.
З'явиться шаблон двомірного графіка із заповнювачами :
|
В області розміщення графіка знаходяться заповнювачі, у вигляді темних маленьких прямокутників n, розташованих біля осей абсцис і ординат майбутнього графіка.
2). У заповнювачі необхідно ввести вирази, задаючі координати точок графіка, тобто біля осі 0Y вираз, що відповідає функції х2 + 3х - 2, а біля осі 0X ім’я аргументу х:
|
3). Після цього клацнути за межами графічної області. Система автоматично розмістить границі для аргументу (-10; 10) та границі зміни значень функції і побудує графік:
|
4). Звичайний спосіб із заданням ранжованій змінній х множини значень.
Якщо графік функції необхідно побудувати в заданій області значень х, тоді попередньо потрібно задати необхідні значення для х, описавши її як ранжовану.
|
|
Форматування графіка. Для того, щоб відформатувати графік, його потрібно виділити (клацнути по графічній області) і подати команду:
Format ® Graph ® X-Y Plot,
або двічі клацнути по графіку. З'явиться діалогове вікно, в якому 4 вкладки:
1). Вкладка X-Y Axes (X-Y осі) задає характер відображення осей.
| Log Scale(Логарифмічна шкала) - установка логарифмічного масштабу. Crid Lines( Допоміжні лінії) – установка ліній масштабної сітки Numbered ( Нумерація) - установка цифрових даних по осях. Autoscale (Автомасштаб) –автоматичне масштабування графіка. Show Markers (Показати мітки) –установка ділень по осях. |
| Auto Grid (Автосітка) –автоматична установка масштабних ліній. Number of Grid (Разме сітки) –установка заданого числа масштабних ліній. Група Axes Style ( Стиль осей ) дозволяє задати стиль відображення осей: ú Boxed (Обмежена область ) - осі у вигляді прямокутника; ú Crossed (Перетин осей); ú None (Без меж)–відсутність осей; ú Equal Scales (Рівні масштаби ) – установка однакового масштабу по осях графіка. |
2). Вкладка Traces (Слід) – для управління відображенням побудованих ліній. Кожна крива зображається своїм кольором (якщо на графіці декілька кривих) . Поточний формат кожної лінії приведений в списку, а під списком розташовані елементи управління, що дозволяють змінювати формат.
| Symbol (Символ) –дозволяє вибрати маркери для окремих точок. Line (Лінія) –задає тип лінії. Color (Колір) –установка кольору ліній і базових точок. Type (Тип) –установка типу Графіка. Weight (Вага) –установка товщини ліній. Hide Arguments (Приховати Аргументи) –установка цього прапорця дозволяє приховати позначення математичних виразів по осях графіка. Hide Legend(Приховати легенду) -установка цього прапорця дозволяє приховати імена кривих графіка. | |
3). .Вкладка Label (Написи) дозволяє вводити написи заголовка, написи по осях X і Y.
4). Вкладка Defaults (За умовчанням) дозволяє вводити написи.
| Якщо клацнути по кнопці Change to Defaults( Змінити за умовчанням) цій кнопці, то можна повернути всі стандартні параметри відображення графів функції однієї змінної. Встановивши прапорець Use for Defaults(Використовувати для умовчання)–дозволяє призначені встановлені на інших вкладках параметри форматування параметрами за умовчанням. |
Приклад розвязання задачі одномірної оптимізації.Задані функція у(х)= ех-1 + х2 і точність обчислень e = 0,0001. Знайти мінімальне значення функції.
Проведемо графічний аналіз функції.
З графіка визначаємо, що «грубе» значення точки мінімуму дорівнює 0.
Уточнимо знайдене значення:
Константа TOL задає точність обчислень. Уточнене значення точки мінімуму рівне -0,1572.
Обчислюємо мінімальне значення функції:
Мінімальне значення функції уmin = 0,3391.
Для уточнення точки мінімуму застосовувалась стандартна функція minimize.
Якщо необхідно уточнити точку максимуму, то застосовується функція maximize.
Умова Завдання №4
Відомо, що фірма-монополіст характеризується кривою загальних витрат виду:
C(q) = c+dq-eq2+fq3.
(q - ціна одиниці продукції).
Метою поведінки фірми в короткостроковому періоді є максимізація прибутку. Знаючи функцію попиту на товар фірми:
p(q) = a-bq,
визначити:
1) оптимальний обсяг монопольного випуску продукції;
2) оптимальну ціну збуту продукції;
3) величину максимального прибутку.