Разложение в ряд Маклорена элементарных функций.

Стандартные разложения.

1. .

Всё начинается с геометрической прогрессии. На первой лекции по рядам (см. раздел 18.1. Основные определения) мы доказали, что эта функция является суммой ряда , и ряд сходится к функции при . Итак,

.

Выпишем несколько разновидностей этого ряда. Заменив х на -х, получим

;

при замене х на получаем

; ;

и т.д.; область сходимости всех этих рядов одна и та же: .

2. .

Все производные этой функции в точке х=0 равны , поэтому ряд имеет вид

.

Область сходимости этого ряда - вся числовая ось (пример 6 раздела 18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда), поэтому при . Как следствие, остаточный член формулы Тейлора . Поэтому ряд сходится к в любой точке х.

3. .

Здесь

дальше производные периодически повторяются. Ряд Маклорена имеет вид

.

Этот ряд абсолютно сходится при , и его сумма действительно равна . Остаточный член формулы Тейлора имеетвид , где или - ограниченная функция, а (это общий член предыдущего разложения).

4. .

Это разложение можно получить, как и предыдущие, последовательным вычислением производных, но мы поступим по другому. Почленно продифференцируем предыдущий ряд:

.

Сходимость к функции на всей оси следует из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.

5.Самостоятельно доказать, что на всей числовой оси , .

6. .

Ряд для этой функции называется биномиальным рядом. Здесь мы будем вычислять производные.

… Ряд Маклорена имеет вид

Ищем интервал сходимости: , следовательно, интервал сходимости есть . Исследование остаточного члена и поведение ряда на концах интервала сходимости проводить не будем; оказывается, что при ряд абсолютно сходится в обеих точках , при ряд условно сходится в точке и расходится в точке , при расходится в обеих точках.

7. .

Здесь мы воспользуемся тем, что . Так как , то, после почленного интегрирования,

.

Область сходимости этого ряда - полуинтервал , сходимость к функции во внутренних точках следует из теоремы о почленном интегрировании степенного ряда, в точке х=1 - из непрерывности и функции, и суммы степенного ряда во всех точках, сколь угодно близких к х=1 слева. Отметим, что взяв х=1, мы найдём сумму ряда .

8.Почленно интегрируя ряд , получим разложение для функции . Выполнить все выкладки самостоятельно, выписать область сходимости.

9.Выпишем разложение функции по формуле биномиального ряда с : . Знаменатель представлен как , двойной факториал означает произведение всех натуральных чисел той же чётности, что и , не превосходящих . Разложение сходится к функции при . Почленно интегрируя его от 0 до х, получим . Оказывается, что этот ряд сходится к функции на всём отрезке ; при х=1 получаем ещё одно красивое представление числа : .

18.2.6.2. Решение задач на разложение функций в ряд.Большинство задач, в которых требуется разложить элементарную функцию в ряд по степеням , решается применением стандартных разложений. К счастью, любая основная элементарная функция имеет свойство, которое позволяет это сделать. Рассмотрим ряд примеров.

1. Разложить функцию по степеням .

Решение. . Ряд сходится при .

2. Разложить функцию по степеням .

Решение. . Область сходимости: .

3. Разложить функцию по степеням .

Решение. . Ряд сходится при .

4. Разложить функцию по степеням .

Решение. . Ряд сходится при .

5. Разложить функцию по степеням .

Решение. . Область сходимости .

6. Разложить функцию по степеням .

Решение. Разложение в ряд простых рациональных дробей второго типа получается почленным дифференцированием соответствующих разложений дробей первого типа. В этом примере . Дальше почленным дифференцированием можно получить разложения функций , и т.д.

7. Разложить функцию по степеням .

Решение. Если рациональная дробь не является простой, она сначала представляется в виде суммы простых дробей: , а затем действуем, как в примере 5: , где .

Естественно, такой подход неприменим, например, для разложения функции по степеням х. Здесь, если надо получить несколько первых членов ряда Тейлора, проще всего найти значения в точке х=0 требуемого количества первых производных.