Задания к лабораторной работе

ПРОТОКОЛ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ

(то что вводится пользователем подчеркнуто)

Год – условная единица! (можно принять месяц, квартал и т.п.)

Варианты работы: 1 – пересчет учетных ставок

2 – погашение ссуды

3 – приведение платежей и затрат

4 – расчет амортизации

5 – выход

1 <ENTER>

ПЕРЕСЧЕТ УЧЕТНЫХ СТАВОК

Введите годовую учетную ставку в % 8

Введите срок в годах Т 11

Ставка за период Т: GT% = 133,1639

1 – продолжить расчет; 2 – выход

2 <ENTER>

Продолжаем расчет вручную

K_n = 3720 (1 + 1,331639) = 8673,70
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ № 2

Фирма гарантирует прибыль за один квартал – 3 %. Какой процент прибыли будет получен за срок 1 год 3 месяца?

Первый способ.

За «единицу» времени «год» примем один месяц. Вычислим процентную ставку за «год»:

- процент прибыли за срок 1 год 3 месяца:

Второй способ.

За «единицу» времени примем один квартал:

Для выполнения задания используем программу DISCOUNT.EXE:

Год – условная единица! (можно принять месяц, квартал и т.п.)

Варианты работы: 1 – пересчет учетных ставок

2 – погашение ссуды

3 – приведение платежей и затрат

4 – расчет амортизации

5 – выход

1 <ENTER>

ПЕРЕСЧЕТ УЧЕТНЫХ СТАВОК

Введите годовую учетную ставку в % 3

Введите срок в годах Т 15/3

Ставка за период Т: GT% = 11,7222

1 – продолжить расчет; 2 – выход

2 <ENTER>

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ № 3

Взята ссуда 3 млн. руб. на срок 4 года под 70 % годовых. Выплата долга планируется равными долями с задержкой первого платежа сроком на 0,5 года. Рассчитать величину ежемесячного платежа.

За «единицу» времени – «год» примем 1 месяц:

Р_год = 70 %

Р_м = (1 + Р_год)^1/12 – 1 = (1 + 0,7)^1/12 – 1 = 0,04521 4,52 %

q = P_м + 1 = 1,04521

Количество платежей:

Для вычисления ежемесячного взноса а рассмотрим две системы платежей:

1 – весь долг выплачивается в конце срока ,

2 – весь долг выплачивается как оговорено в договоре .

, .

Эту задачу можно решить на компьютере, используя программу DISCOUNT.EXE:

Год – условная единица! (можно принять месяц, квартал и т.п.)

Варианты работы: 1 – пересчет учетных ставок

2 – погашение ссуды

3 – приведение платежей и затрат

4 – расчет амортизации

5 – выход

1 <ENTER>

ПЕРЕСЧЕТ УЧЕТНЫХ СТАВОК

Введите годовую учетную ставку в % 70

Введите срок в годах Т 1/12

Ставка за период Т: GT% = 4,5211

1 – продолжить расчет; 2 – выход

1 <ENTER>

Год – условная единица! (можно принять месяц, квартал и т.п.)

Варианты работы: 1 – пересчет учетных ставок

2 – погашение ссуды

3 – приведение платежей и затрат

4 – расчет амортизации

5 – выход

2 <ENTER>

ПОГАШЕНИЕ ССУДЫ А РАВНЫМИ ДОЛЯМИ С МОМЕНТА Т₁

«Год» - интервал между последовательными платежами (если год действительный пересчитать ставку к «году» - условному).

Введите годовую ставку в % 4,52

Введите срок ССУДЫ в годах 48

Введите срок начала погашения ссуды 6

Платеж в % от исходной ссуды а/A = 6,6286

Общая сумма платежей в % исходной ссуды 285,0308

1 – продолжить расчет; 2 – выход

2 <ENTER>

Таблица исходных данных к заданию 1

№ п/п
	3,5 % в месяц	127 тыс. руб.	3 квартала
	42 % годовых	570 тыс. руб.	5 месяцев
	8 % квартал	1820 тыс. руб.	2,5 года
	38 % годовых	3720 тыс. руб.	3 квартала
	3,6 % в месяц	735 тыс. руб.	5 лет и 3 месяца
	86 % годовых	530 тыс. руб.	1,7 года
	12 % квартал	8126 тыс. руб.	4 года
	6 % в месяц	1274 тыс. руб.	1,5 года
	50 % в год	2412 тыс. руб.	5 месяцев
	16 % в квартал	3207 тыс. руб.	1 год 4 месяца
	4 % в месяц	896 тыс. руб.	4 года 2 месяца
	10 % в квартал	17274 тыс. руб.	5 месяцев
	45 % в год	5120 тыс. руб.	3 квартала
	7,5 % в месяц	715 тыс. руб.	1 год 3 месяца
	15 % в квартал	7420 тыс. руб.	3,5 года
	48 % в год	950 тыс. руб.	2 года 5 месяцев
	6 % в месяц	3247 тыс. руб.	3 квартала
	14 % в квартал	346 тыс. руб.	1 год 7 месяцев
	60 % в год	20576 тыс. руб.	8 месяцев
	11 % в месяц	350 тыс. руб.	3 года 5 месяцев
	16 % в квартал	17760 тыс. руб.	11 месяцев
	72 % в год	1518 тыс. руб.	2 года 3 месяца
	7 % в месяц	670 тыс. руб.	3 квартала
	18 % в квартал	5520 тыс. руб.	7 месяцев
	65 % в год	2400 тыс. руб.	17 месяцев
	9 % в месяц	480 тыс. руб.	4,5 года
	14 % в квартал	14000 тыс. руб.	1 год 4 месяца
	70 % в год	8700 тыс. руб.	5 месяцев
	6,5 % в месяц	3450 тыс. руб.	5 лет 7 месяцев
	16 % в квартал	960 тыс. руб.	2,5 года

Таблица исходных данных к заданию 2

№ п/п			№ п/п
	7 % в месяц	2 года		7 % в месяц	1 квартал
	55 % в год	3 квартала		74 % в год	3 года 2 месяца
	20 % в квартал	7 месяцев		11 % в квартал	7 месяцев
	6,5 % в месяц	1 квартал		5,5 % в месяц	3 квартала
	70 % в год	4 месяца		10 % в квартал	2 года
	16 % в квартал	1,5 года		65 % в год	4 месяца
	6 % в месяц	13 месяцев		8,5 % в месяц	3,5 года
	48 % в год	2,5 года		15 % квартал	1 год 4 месяца
	14 % в квартал	1,5 года		82 % в год	1 год 4 месяца
	10 % в месяц	0,5 года		7,5 % в месяц	3 года 7 месяцев
	65 % в год	5 кварталов		18 % в квартал	1 год
	12 % в квартал	1 год		63 % в год	1 квартал
	4,5 % в месяц	3 квартала		4,7 % в месяц	4 года 1 месяц
	40 % в год	8 месяцев		11 % в квартал	2 месяца
	10 % в квартал	5 месяцев		57 % в год	2 года 2 месяца

Таблица исходных данных к заданию 3

№ п/п
	7000 тыс. руб.	25 % год	3 года	0,5 года	1 квартал
	1500 тыс. руб.	32 % год	2,5 года	1 год	1 месяц
	20000 тыс. руб.	35 % год	4 года	1 год	0,5 года
	4700 тыс. руб.	20 % год	1,5 года	2 месяца	1 месяц
	1750 тыс. руб.	27 % год	2 года	0,5 года	1 квартал
	900 тыс. руб.	24 % год	1 год	1 квартал	1 месяц
	14100 тыс. руб.	27 % год	3 года	1 квартал	1 месяц
	45000 тыс. руб.	28 % год	5 лет	1 год	1 квартал
	24200 тыс. руб.	32 % год	3,5 года	1 квартал	1 месяц
	9500 тыс. руб.	20 % год	2 года	1 квартал	1 месяц
	5500 тыс. руб.	30 % год	2,5 года	4 месяца	2 месяца
	2350 тыс. руб.	24 % год	1,5 года	2 квартала	1 месяц
	1500 тыс. руб.	30 % год	1 год	1 квартал	1 месяц
	47500 тыс. руб.	24 % год	4,5 года	0,5 года	1 месяц
	6930 тыс. руб.	35 % год	2 года	4 месяца	2 месяца
	12700 тыс. руб.	20 % год	3 года	1 год	0,5 года
	3200 тыс. руб.	18 % год	2,5 года	0,5 года	1 квартал
	10300 тыс. руб.	25 % год	3,5 года	3 квартала	1 квартал
	40000 тыс. руб.	17 % год	5 лет	1 год	1 месяц
	15800 тыс. руб.	25 % год	4 года	0,5 года	1 квартал
	2000 тыс. руб.	23 % год	1 год	0,5 года	1 месяц
	4500 тыс. руб.	28 % год	2 года	0,5 года	1 месяц
	6350 тыс. руб.	25 % год	2,5 года	1 год	1 квартал
	30770 тыс. руб.	16 % год	4,5 года	2 года	1 квартал
	25000 тыс. руб.	23 % год	3,5 года	1 год	0,5 года
	11400 тыс. руб.	33 % год	3 года	1 год	1 месяц
	17700 тыс. руб.	17 % год	4 года	1 квартал	1 месяц
	55000 тыс. руб.	24 % год	6 лет	1 год	0,5 года
	24000 тыс. руб.	19 % год	5,5 лет	1,5 года	1 месяц
	8200 тыс. руб.	25 % год	2,5 года	0,5 года	1 месяц

2.ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВА

Общая модель планирования производства

Примеры выполнения заданий, задания

Будем считать, что на нашем предприятии применяется n технологических способов (j = 1, 2,…, n). Каждый j-ый способ использует r видов сырья i-го типа в количестве а_ij (i = 1, 2,…, r). На предприятии производится q видов продукции. Для производства k-го вида продукции используется j-ая технология в количестве a_r ₊_k_,_j (k = 1, 2,…, q; j = 1, 2, …, n).

Эта информация может быть записана в виде матрицы:

Количество столбцов в матрице равно количеству технологических способов на предприятии.

Первые r строк определяют потребленное сырье каждым технологическим способом, строки r +1, ……........, m определяют количество продукции всех типов (q = m – r) при реализации каждого технологического способа.

Вектор В определяет ограничения:

b₁, …., b_r — по сырью (запасы сырья);

b_r ₊₁,…, b_m — по выпуску продукции.

Управляемыми параметрами в этой модели является кратность использования каждого технологического способа x_i, x_i 0.

План использования технологических способов представляет собой вектор х = (х₁, х₂, …, х_n).

Все ограничения по ресурсам и по выпуску продукции можно записать в виде неравенств:

а₁₁х₁+ а₁₂х₂ +…а₁_nх_n b₁,

а₂₁х₁+ а₂₂х₂ +…а₂_n х_n b₂,

…………………………

а_r₁х₁+ а_r₂х₂ +…а_rn х_n b_n.

Эти неравенства соответствует ограничениям по запасам сырья. Ограничения по выпуску продукции:

w₁ = а_r _+1,1х₁+ а_r _+1,2х₂ +…а_r _+1,_n х_n b_r ₊₁,

……………………………………

w_q = а_m_,1х₁ + а_m_,2х₂ +…а_mn х_n b_m, q = m – r.

Если последние неравенства умножить на (–1), то полученная система неравенств запишется в виде:

а_1,1х₁+ а_1,2х₂ +…а_1,_nх_n b₁,

а_2,1х₁+ а_2,2х₂ +…а_2,_n х_n b₂,

…………………………

а_r₁х₁+ а_r₂х₂ +…а_rn х_n b_n,

– а_r _+1,1х₁– а_r _+1,2х₂ –…а_r _+1,_n х_n – b_r ₊₁,

……………………………………

– а_m_,1х₁ – а_m_,2х₂ … – а_mn х_n – b_m.

В матричной форме система неравенств будет иметь вид:

Ах В,

х 0.

Предположим, что j-ый технологический способ дает прибыль с_j —тогда общая прибыль запишется таким образом:

Первая задача планирования производства формулируется так: составить такой план производства, т.е. установить кратность запуска технологических способов, чтобы полученная при этом прибыль была максимальной.

В результате мы получили задачу линейного программирования, т.к. полученные целевая функция и ограничения линейны.

Для решения таких задач используется сиплекс-метод, если же переменных в задаче только две — то задачу можно решить графически. Эти методы подробно изучаются студентами экономистами и менеджерами в курсе «высшая математика» в разделе «линейное программирование».

Планирование производства и ассортиментные условия

В описанной выше модели ставилась задача максимизации прибыли, однако та же постановка задачи обладает тем недостатком, что не учитывает пропорции выпуска продукции (кроме ограничений по выпуску). Такие пропорции определяются структурой спроса и технологией использования продукции (например, если завод выпускает комбайны, то с учетом замены запчастей за время службы). Необходимо учитывать соотношения выпуска комбайна и различных типов запчастей.

Такие пропорции выпуска разных видов продукции могут быть заданы «ассортиментными условиями», и согласованный с ними выпуск должен удовлетворять условиям:

w₁: w₂: …w_q = k₁: k₂: …k_q.

Нарушение ассортиментных требований приводит к сложностям при реализации продукции, а это сказывается на величине получаемой прибыли.

В связи с этим, возникает новая задачи планирования производства — максимизация количества ассортиментных наборов.

Количество изделий k типа, вычисляется, согласно матрице А, следующим образом:

где х_j — кратность запуска j-го технологического способа.

Тогда количество ассортиментных наборов определяется, как минимум отношений:

В результате вторая задача максимизации количества ассортиментных наборов принимает вид:

f₂ = x₀ max (f₂ = x₀ — целевая функция).

Ограничения по сырью остаются прежними и добавляются ограничения, связанные с ассортиментными требованиями:

k₁x₀ – a_r₊₁,₁x₁ – a_r_+1,2x₂– … a_r_+1,nx_n 0,

………………………………………….

k_m–nx₀ – a_m_,1x₁ – a_m_,2x₂ – … a_m_,nx₄ 0,

x_j 0, j = 0, 1, …, n.

Очевидно, что поставленная задача представляет собой задачу линейного программирования, т. к. целевая функция и все ограничения линейны.

В новой постановке задачи планирования, когда мы требуем максимизации количества ассортиментных наборов, сохраняется и желание максимизировать прибыль. На этом этапе первый критерий f₁ max (максимальная прибыль) можно заменить требованием:

f₁ f₀ (прибыль не меньше f₀).

и решить задачу с этим дополнительным ограничением. Естественно f₀ f ^*, где f ^* — оптимальная прибыль при решении первой задачи.

Задания к лабораторной работе

«Общая задача производственного планирования»

Исходными данными к лабораторной работе является матрица А, векторы B и С, и ассортиментные требования в виде k₁: k₂: k₃= a₁: a₂: a_3.

В лабораторной работе требуется:

Выполнить математическую постановку задачи: Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы полученная прибыль была максимальной.
Решить поставленную задачу графически.
Решить поставленную задачу симплекс методом на ПК (в программе LINPROG)
Выполнить математическую постановку задачи: Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы количество ассортиментных наборов было максимальным.
Решить поставленную задачу симплекс методом на ПК (в программе LINPROG)

Пример выполнения лабораторной работы:

Задание:

А = ; В = ; С =(5; 2);

k₁: k₂: k₃= 3:2:2.

У матрицы А два столбца, следовательно на предприятии два технологических способа.

Первые три строки матрицы А содержат положительные элементы, следовательно на предприятии используются три вида сырья:

для первого технологического способа используется 6 единиц сырья 1-го типа, 4 единицы сырья 2-го типа и 3 единицы сырья 3-го типа.

Для второго технологического способа требуется три единицы сырья 1-го типа, 7 единиц сырья второго типа и 0 единиц сырья 3-го типа.

Следующие 3 строки матрицы А означают, что на предприятии выпускаются три вида продукции:

первым способом выпускаются 2 единицы продукции 1-го вида, 4 единицы продукции 2-го вида, 1 единица продукции 3-го вида;

вторым технологическом способом выпускаются 3 единицы продукции 1-го вида, 0 единиц продукции 2-го вида, 2 единицы продукции 3-го вида.

Столбец В содержит ограничения b_1,b_2,b₃ — по объему сырья, а
b₄, b₅, b₆ — по объему выпуска продукции.

Вектор С содержит 2 элемента, c₁ – прибыль, получаемая при однократном запуске 1-го технологического способа, c₂ — 2-го способа. Соотношения k₁: k₂: k₃— ассортиментные требования, показывают в каких пропорциях следует выпускать изделия.

Математическая постановка задачи: Обозначим х_1,х₂— кратность запуска технологических способов. Тогда, ограничения по сырью и выпуску продукции запишутся следующим образом:

(1)

Целевая функция — прибыль предприятия: f = 5х₁ + 2х₂ max

Решить задачу графически:

Задача является задачей линейного программирования, т.к. целевая функция и ограничения линейны. Переменных в задаче две, следовательно, ее можно решить графически.

Построим прямую 6х₁+3х₂= 18. Координаты двух точек на прямой получим, полагая х₁ = 0, тогда х₂ = 6, а если х₂ = 0, то х₁ = 3, т.е. (0; 6) и (3; 0).

Прямая 6х₁+3х₂= 18 делит плоскость на две части. Подставляя координаты (0, 0) выберем штрихами часть, удовлетворяющую неравенству 6х₁+3х₂ 18.

Аналогично построим прямые: 4х₁+7х₂= 28, получим точки (0; 4) и
(7; 0). 3х₁= 6, получим прямую х₁ = 2.

Неравенства 3, 4, 5 из (1) выполняются автоматически, так как
х₁ 0, х₂ 0.

Заштрихуем область, удовлетворяющую трем первым неравенствам из системы (1). Учитывая, что х₁ 0, х₂ 0, множество допустимых значений будет находиться в первом квадранте и представляет собой многоугольник ОАВСD.

Далее необходимо выбрать на нем точку, которая обеспечит максимум функции f — максимум прибыли.

Для этого на графике постоим вектор-градиент функции f и линию уровня.

grad f = = (5; 2).

Линия уровня: f = const, например:

5х₁+2х₂= 0 по точкам: (0; 0) и (–2; 5).

Передвигая линию уровня параллельно самой себе в направлении вектора-градиента, видим, что С — последняя общая точка линии уровня и многоугольника допустимых решений.

В этой точке мы получим максимум функции f. Найдем координаты точки С, она лежит на пересечении двух прямых:

6х₁+2х₂ = 18,

3х₁= 6, х₁ = 2; х₂= 2, f^*= 5х₁+ 2х₂= 52+22 = 14 ден. ед.

Это означает, что максимальная прибыль, которую можно получить, составляет 14 денежных единиц, для этого необходимо запустить 2 раза 1-ый технологический способ и 2 раза 2-ой технологический способ.

Решение этой задачи симплекс-методом необходимо выполнить на компьютере с помощью программы LINPROG.
Постановка задачи максимизации ассортиментных наборов.

Обозначим х₃ – количество ассортиментных наборов. Целевая функция будет иметь вид: f₂ = х₃ max. Ограничения на управляемые параметры
х = (х_1,х_2, х₃) будут состоять из ограничений по сырью и по объему выпуска продукции, а также ограничений, связанных с ассортиментными требованиями и для нашего примера запишутся следующим образом:

Полученная задача есть задача линейного программирования, т.к. целевая функция и ограничения линейны.

Поставленная задача имеет 3 переменных, т.е. графический способ решения не подходит. Для решения задачисимплекс-методом используем программу LINPROG. В результате решения получим
x₁ = 1,71, x₂ = 2,57, x₃ = 3,43. Точка Е(1,71; 2,57) расположена на стороне BC многоугольника решений.