Геометрическое программирование

Есть метод решения одного специального класса задач нелинейного программирования, в которых критерий оптимальности и ограничения задаются в виде позиномов - выражений, представляющих собой сумму произведений степенных функций от независимых переменных. С подобными задачами иногда приходится сталкиваться в проектировании. Кроме того, некоторые задачи нелинейного программирования иногда можно свести к указанному представлению, используя аппроксимационное представление для целевых функций и ограничений (Аппроксимация, или приближение — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, но более простыми).

Специфической особенностью методов решения оптимальных задач (за исключением методов нелинейного программирования) является то, что до некоторого этапа процесса нахождения оптимального значения целевой функции оптимальную задачу решают аналитически, т. е. находят определенные аналитические выражения, например, системы конечных или дифференциальных уравнений, откуда уже отыскивают оптимальное решение. В отличие от указанных методов при использовании методов нелинейного программирования, которые, как уже отмечалось выше, могут быть названы прямыми, применяют информацию, получаемую при вычислении критерия оптимальности, изменение которого служит оценкой эффективности того или иного действия, используемого при проектировании теплотехнологической установки.

Важной характеристикой любой оптимальной задачи является ее размерность п, равная числу переменных, задание значений которых необходимо для однозначного определения состояния оптимизируемого объекта. Как правило, решение задач высокой размерности связано с необходимостью выполнения большого объема вычислений. Ряд методов (например, динамическое программирование и дискретный принцип максимума) специально предназначен для решения задач оптимизации процессов высокой размерности, которые могут быть представлены как многостадийные процессы с относительно невысокой размерностью каждой стадии.

В таблице 1 [2] дана характеристика областей применения различных методов оптимизации, при этом за основу положена сравнительная оценка эффективности использования каждого метода математического программирования для решения различных типов оптимальных задач. Классификация задач проведена по следующим признакам:

вид математического описания процесса;
тип ограничений на переменные процесса
число переменных.

Предполагается, что решение оптимальной задачи для процессов, описываемых системами конечных уравнений, определяется как конечный набор значений управляющих воздействий (статическая оптимизация процессов с сосредоточенными параметрами). Для теплотехнологических процессов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, управляющие воздействия которых характеризуются функциями времени (динамическая оптимизация процессов с сосредоточенными параметрами) или пространственных переменных (статическая оптимизация процессов с распределенными параметрами).

Классификация задач по группам с числом независимых переменных, большим и меньшим трех или равным трем рассматривается как характеристика размерности задач с большим и малым числом переменных и является весьма условной. Она выбрана из соображений наглядности графического изображения пространства изменения переменных задачи оптимизации - фазового пространства (при числе переменных большем трех графическое изображение фазового пространства обычными приемами отсутствует). Такая классификация до некоторой степени все же отражает действительные трудности, возникающие при решении задач оптимизации с размерностью выше трех.

ТАБЛИЦА 1. Области применения методов оптимизации

Вид описания процесса

Конечные уравнения

Дифференциальные уравнения

Тип ограничений на переменные

Нет

Равенства

Неравенства

Нет

Равенства

Неравенства

Число переменных п

Тип метода

Методы классического анализа

Множители Лагранжа

Вариационное исчисление

2; 7

3; 7

Динамическое программирование

1; 5

3; 5

1;5;7

3; 5; 7

1; 5

3; 5

Принцип максимума

2; 5

1; 5

2; 5

Линейное программирование

2; 6

1; 6

Методы нелинейного программирования

Геометрическое программирование

2; 8

Примечания: 1. Эффективное применение метода. 2. Используется. 3. Возможно применение. 4. Используется как вспомогательный метод. 5. Многостадийные процессы (размерность указывается для отдельной стадии). 6. Задачи с линейными критериями оптимальности и линейными ограничениями. 7. Используются множители Лагранжа. 8. Задачи с критериями и ограничениями в форме позиномов.

(23. Методологические основы построения алгоритма расчета