Координаталар жйесін арнайы тадау жне Денавит-Хартенберг дісімен координаталар жйесін біртекті трлендіру.

Кптеген белгілі манипуляторларда ілгерілемелі кинематикалы жптарды айналмалы жне баыттаушы осьтері, ереже бойынша, параллельді немесе зара перпендикуляр. Осьтер мен баыттауыштарды осындай жадайларына Д-Х сынысы баса дістермен салыстыранда олданан кезде артышылытары бар. Денавит-Хартенберг дісіне сйкес, і жне і-1 буындарынан тратын, кинематикалы жптара арналан ортогональді координаталар жйесі келесі трде тадалып алынады: Z_i-1 координатасыны осі айналмалы кинематикалы жп шін айналу осіні бойымен немесе ілгерілемелі жп шін баыттауыш бойымен баытталады (7-сурет). Буынмен атты байланысан O_iX_iY_iZ_i координаталар жйесіні басы Z_i жне Z_i-1 осьтерінде жатан жазытыа перпендикуляр жне Z_i осіні иылысында немесе Z_i жне Z_i-1 осьтеріні иылысу нктелерінде, ал егер Z_i жне Z_i-1 осьтері бір-бірімен беттесетін немесе бір-біріне параллель болса і, і-1 буындарынан тратын кинематикалы жпты кез-келген нктесінде жатады.

Тіреуішпен байланысан координаталар жйесіні басы андай-да бір буынмен тіреуіштен тзілген кинематикалы жпта баыттауыш немесе осьті кез-келген нктесінде жатады. X_i осі атынасына сйкес Z_i жне Z_i-1 осьтеріне перпендикуляр немесе егер, олар параллель болса, Z_i жне Z_i-1 осьтеріне трызылан жалпы нормальды бойымен баытталан. Жалпы жадайда, X_i осіні баыты Z_i жне Z_i-1 осьтеріне перпендикулярды бойымен жне осы перпендикулярды Z_i-1 осімен иылысу нктесінен тадалынып алынады. Егер Z_i жне Z_i-1 осьтері бір жазытыта жататын жне иылысатын немесе беттесетін болса, онда X_i осі осы жазытыа перпендикуляр баытталады. X₀ осі жмысшы органы жаа баытталады. Y_i осі о жа координаталар жйесін тзетіндей етіліп баытталады. арпыыш рылымен (манпуляторды соы буынымен) байланысан O_nX_nY_nZ_n координаталар жйесін тадау жалпы ережеге баынбайды жне стаышты центрі деп аталатын нктеде басымен немесе осьтерді еркін бадарлануымен жмысшы органыны сипаттамалы нктесінде тадалынады.

· X_i осіні бойымен есептелініп алынан, Z_i жне Z_i-1 осьтеріні арасындаы е ыса ара ашыты a_i деп белгіленген жне і-ші буынны зындыын береді.

· і жне і-1 координаталар жйесіні бастары арасындаы Z_i-1 осіні баыты бойынша лшенетін ара ашыты буынды ара ашыты s_i деп аталады.

· X_i осіні X_i-1 осіне клбеулігі q_i деп белгіленеді жне мшеленулердегі брыштарды векторыны раушысы болып табылады.

· Z_i жне Z_i-1 осьтеріні бір-біріне атысты бадары _iбралу брышы векторыны компоненті болып табылады.

Д-Х сынысы бойынша крсетілген трт айнымалылар: a_i,s_i,q_i, _i і-буыныны і-1 буына атысты орнын толыымен сипаттайды.

Егер рбір буынмен байланысан координаталар жйесі Денавит-Хартенберг сынысы бойынша енгізілген болса, онда біртекті трлендіру матрицасын 4х4 тік тртбрышты матрица трінде оай алуа болады. Геометриялы маынасында біртекті трлендіру матрицасы і-1-нші буынмен байланысан і-1 координаталар жйесіне атысты і-нші буынмен байланысан і-нші координаталар жйесіні орнын анытайды. Біртекті трлендіру матрицасымен сипатталатын толы біртекті трлендіру арапайым озалыстарды – айналулар мен жылжуларды композициясы трінде алынуы ммкін.

Демек, біртекті трлендіру матрицасы координаталар жйесіні беттескенінше арапайым озалыс матрицасыны кбейтіндісі ретінде алынуы ммкін. арапайымозалыстардыбіртектіматрицаларыналушін Д-Х сынысынолданамыз.

7-суреттекинематикалыжптзетін і жне і-1 буындарыкрсетілген. БуындардырайсысыменДенавит-Хартенбергбойыншакоординаталаржйесібайланысан.

Егер рбір жадайда, келесі арапайым озалыстар кмегімен і-1 жйені і-нші жйемен беттестірсек, онда р озалыс біртекті трлендіру матрицасы арылы сипатталады:

 

 

7-сурет. Координаталаржйелері осьтерінтадау

 

1. X_i-1 осі X_i осіне параллель боланша і-1 жйесін Z_i-1 осін айнала q_i брышына бру. Блозалысарапайымайналудыбіртектіматрицасыменсипатталуыммкін

 

(2.1)

 

(Мнда жне рі арай С жне S арылы сйкесінше Cos жне Sin тригонометриялы функциялары белгіленген);

2. X_i жне X_i-1 осьтері бір тзуді бойында жатпайынша немесе параллель боланша алынан жйені Z_i-1 осіні бойымен s_i шамасына орын ауыстыру. Сонда, арапайымыысудыбіртектіматрицасы

 

(2.2)

тріндеболады;

3. Екі координаталар жйелеріні басы осыланша жоарыда алынан жйені X_i-1 осіні бойымен а_i лшеміне ыыстыру. Блжадайдаарапайымыысудыбіртектіматрицасы

 

(2.3)

те болады;

4. Координаталар жйелері толыымен осыланша координаталар жйесін X_i-1 осін айнала брышына бру. Бл озалыс біртекті айналу матрицасымен сипатталады

 

 

. (2.4)

Сонымен, жоарыда крсетілген трт арапайым озалыстарды райсысына трт тік тртбрышты біртекті трлендіру матрицасы сйкес келеді.

Толы біртекті трлендіру матрицасы A_i келешекте і-нші жне і-1-нші буындардан тратын кинематикалы жпты матрицасы деп аталынады. Осы матрица алынан матрицаларды (2.1-2.4) кбейтіндісі ретінде аныталады:

 

. (2.5)

Кбейтулер нтижесінде і-ші кинематикалы жпты матрицасы алынды

 

. (2.6)

 

Егер r_i=(x_i, y_i, z_i, 1)^T – і-ші буынны координаталар жйесіндегі бір нктені біртекті координатасыны кеейтілген векторы, ал r_i-1=(x_i-1,y_i-1,z_i-1,1)^T – і-1 буыныны координаталар жйесіне атысты сол нктені біртекті координатасыны кеейтілген векторы болса, онда келесі трдегі матрицалы тедік дрыс болады:

 

r_i-1 = A^i-1_i r _i . (2.7)

 

A_i (2.6) матрицасы элементтеріні ішінде бірозалысты кинематикалы жп шін тек бір ана элемент айнымалы болып табылады, ал баса шеуі кинематикалы жпты траты геометриялы крсеткіштерін сипаттайды. Механизм буындары нктелеріні жылдамдытары мен деулері (2.7) тедікті дифференциалдау арылы аныталады. Сондытан, A_i матрицасын дифференциалдау кезінде олданылан кейбір рнектер тменде келтірілген.

Жалпы трде еркін жалпыланан координата q_i бойынша A_i матрицасынан туынды

(2.8)

те болады.

Мндаы W_I Z_i-1 осіні бойымен ілгерілемелі кинематикалы жп болан жадайда мына трде аныталады:

 

(2.9)