Логарифмическое дифференцирование.
Логарифмическое дифференцирование -в некоторых случаях целесообразнее функцию сначала прологарифмировать, а результат продифференцировать.
Однако производные степенных функций находят только логарифмическим дифференцированием.
Производная степенно-показательной функции равна сумме производно показательной функции, при условии U=const, и производной степенной функции, при условии V=const.
Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0 и / , который основан на применении производных.
Правило Лопиталя, при 0 / 0.
Пусть функции f(x) и (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращается в нуль в этой точке: .
Пусть (x) 0 в окрестности точки x0
Если существует предел
, то
Применим к функциям f(x) и (x) теорему Коши для отрезка [x0;x], лежащего в окрестности точки x0 , тогда
, где с лежит между x0 и х.
При xx0 величина с также стремится к х0; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:
Так как , то
.
Поэтому
(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)
Правило Лопиталя, при / .
Пусть функции f(x) и (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 (кроме точки x0), в этой окрестности
Если существует предел
, то
Неопределенности вида 0 ; - ; 1 ; 0 ; 00 сводятся к двум основным.
Например, 0
Пусть f(x)0, (x) при хх0
Дифференциалы высших порядков.
Пусть y=f(x) дифференцируема функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда дифференциал dy=f (x)dx есть также функция х, можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала есть второй дифференциал.
Производную можно рассматривать, как отношение дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Дифференциал n-ого порядка, есть дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка, т.е. производную функции можно рассматривать, как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Исследование условий и построение графиков.
- найти область определения функции
- найти точки пересечения графика с осями координат
- найти интервалы знака постоянства
- исследовать на четность, нечетность
- найти асимптоты графика функции
- найти интервалы монотонности функции
- найти экстремумы функции
- найти интервалы выпуклости и точки перегиба