Динамика вращательного движения

Момент силы относительно какой-нибудь оси вращения определяется формулой

где l – расстояние от прямой, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Основной закон динамики вращательного движения (закон сохранения момента импульса) выражается уравнением

где - момент сил, приложенных к телу, - момент импульса тела, - момент инерции тела, – его угловая скорость.

Твердое тело, находящееся под действием вращающего момента , движется с угловым ускорением

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел:

тонкостенной круглой трубы (обруча) относительно оси совпадающей с осью трубы (обруча) , - радиус трубы (обруча),
тонкого стержня длиной относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей сквозь его середину ,
сплошного однородного круглого цилиндра (диска) относительно оси, совпадающей с его осью ,
сплошного однородного шара, относительно оси совпадающей с его диаметром .

Соотношение Штейнера:

где - момент инерции тела относительно оси, проходящей сквозь центр инерции, - момент инерции относительно оси, параллельной первой, - расстояние между осями.

Кинетическая энергия вращающегося тела .

146. Однородный цилиндр массы и радиуса вращается без трения вокруг горизонтальной оси под действием веса груза , прикрепленного к легкой нити, намотанной на цилиндр. Найти угол поворота цилиндра в зависимости от времени, если при .

147. Однородный сплошной шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению (рад). Определите вращающий момент M в момент времени t = 3 c.

148. Однородный стержень длиной и массой вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если на него действует момент сил ?

149. Две гири с массами и соединены нитью, перекинутой через блок массой . Найти ускорение , с которым движутся гири, и силы натяжения и нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.

150. Диск массой катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью . Найти кинетическую энергию диска.

151. Вентилятор вращается с частотой . После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки . Работа сил торможения . Найти момент инерции вентилятора и момент сил торможения .

152. Груз, подвешенный на нити длиной , равномерно вращается по кругу в горизонтальной плоскости. Найти период обращения груза, если при его вращении нить отклонена от вертикали на угол .

153. Оценить, с какой минимальной скоростью нужно выпустить на экваторе Земли снаряд массы , чтобы изменить продолжительность земных суток на ?

154. Однородный диск радиуса

имеет круглый вырез как показано на рис. 8. Масса оставшейся (заштрихованной) части диска

. Найти момент инерции такого диска относительно, оси, проходящей через точку O и перпендикулярной к плоскости диска.

Рисунок 8

155. Найти момент инерции диска, описанного в предыдущей задаче, относительно оси, проходящей через центр круглого выреза и перпендикулярной к плоскости рисунка.

Колебания

Колебания это повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы.

Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид

где – смещение колеблющейся точки от положения равновесия, – амплитуда, – циклическая частота, – начальная фаза.

Циклическая частота связана с периодом колебаний соотношением

Период колебания (T) это время в течении которого система совершает одно полное колебание

· математический маятник , l – длина нити;

· физический маятник , b – расстояние от точки подвеса маятника до центра инерции, J – момент инерции маятника относительно оси проходящей через точку подвеса маятника;

· пружинный маятник , k – жесткость пружины.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой

где , - амплитуды слагаемых колебаний, , их начальные фазы.

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний, одинакового периода, уравнение траектории результирующего колебания имеет вид

В случае затухающих колебаний смещении точки со временем подчиняется уравнению

где - амплитуда колебаний в начальный момент времени.

Логарифмический декремент затухания

156. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению . Определите: амплитуду, период, начальную фазу колебаний, максимальную скорость точки, максимальное ускорение точки. Через сколько времени после начала отсчета точка будет проходить через положение равновесия?

157. Определите максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой и периодом .

158. Найти период колебания стержня, подвешенного так, что ось подвеса проходит через точку, находящуюся на расстоянии от одного из концов стержня. Масса стержня , длина .

159. Найти период колебания диска, подвешенного так, что ось подвеса проходит через точку, находящуюся на расстоянии от центра диска. Масса диска , диаметр .

160. Физический маятник, который представляет собой шар, радиус которого подвешен на нити длиной . Определить во сколько раз мы ошибемся, если будем, рассчитывая период, такого маятника, считая его математическим с длиной .

161. Частица массой совершает гармонические колебания с периодом . Полная энергия колеблющейся частицы . Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F_max, действующей на частицу.

162. Каков логарифмический декремент затухания маятника длиной , если его начальная амплитуда 10^o, а через амплитуда равна 0,3^o.

163. Через сколько времени энергия колебаний камертона с частотой уменьшится в , если логарифмический декремент затухания равен .

164. Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями и где . Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.

165. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых и , где , , . Написать уравнение траектории и построить ее. Показать направление движения точки.

166. Складывается два колебания одинакового направления и одинакового периода: и , где , , , . Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Написать его уравнение. Построить векторную диаграмму для момента времени t = 0.

167. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых: где , , . Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.