Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения.

По заданным уравнениям движения точки М в координатной форме определить: траекторию ее движения в заданный момент времени t=1c, найти скорость и ускорение.

(см), (см).

Решение:

1. Определим траекторию движущейся точки М.

Для получения уравнения траектории движущейся точки исключим из заданных уравнений параметр времени t:

Полученные уравнения возведем в квадрат и суммируем.

Данное выражение представляет собой траекторию движущейся точки М – уравнение эллипса с центром в точке с координатами (9; -4). Построим траекторию в координатных осях ху (рис.9).

Укажем положение точки М на траектории в заданный момент времени, для этого подставим время t=1с в уравнения

см,

см.

Тогда точка М с координаты (12; -1,4).

Для указания положительного отсчета по траектории определим положение точки М в начальный момент времени при t=0 с

см,

см.

Рис.9.

Тогда точка М_о имеет координаты (15; - 4).

Точки М и М₀ принадлежат траектории эллипса, следовательно, решение верно.

Направление положительного отсчета по траектории идет от точки М₀ в момент времени t = 0 c к точке М, когда t =1с (против движения часовой стрелки) (см. рис.9).

2. Определим скорость точки М в заданный момент времени t.

Известно, что скорость можно разложить по проекциям на координатные оси

Определим проекцию скорости точки М на ось Ох

В заданный момент времени t =1с проекция скорости составит

см/с.

Так как < 0, то вектор скорости направлен из точки М параллельно оси 0х в сторону отрицательных значений х, данный вектор требуется отложить в соответствующем масштабе скоростей, указанно на схеме (рис.10).

Определим проекцию скорости точки М на ось Оу.

В заданный момент времени t =1с проекция скорости составит

см/с

Рис.10.

Так как >0, то вектор скорости направлен из точки М параллельно оси 0у в сторону положительных значений у, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор (рис.10).

Геометрическая сумма векторов и (по правилу параллелограмма) представляет собой вектор скорости точки М в заданный момент времени, этот вектор должен быть направлен по касательной к траектории движения (рис.10). Численное значение скорости можно измерить, согласно указанному масштабу для векторов скоростей (см. рис.10), либо определить по теореме Пифагора (так как вектора и взаимно перпендикулярны):

см/с.

3. Определим ускорение точки М в заданный момент времени t.

Известно, что ускорение можно разложить по проекциям на координатные оси

Определим проекцию ускорения точки М на ось Ох

В заданный момент времени t =1с проекция ускорения составит

см/с².

Так как <0, то вектор ускорения направлен из точки М параллельно оси 0х в сторону отрицательных значений х, данный вектор требуется отложить в соответствующем масштабе ускорений, указанно на схеме (рис.11).

Определим ускорение скорости точки М на ось Оу

В заданный момент времени t = 1с проекция ускорения составит

см/с².

Рис.11.

Так как <0, то вектор ускорения направлен из точки М параллельно оси 0у в сторону отрицательных значений у, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор (рис.11).

Геометрическая сумма векторов и (по правилу параллелограмма) представляет собой вектор ускорения точки М в заданный момент времени (рис.11). Численное значение ускорения можно измерить, согласно указанному масштабу для векторов ускорений на схеме чертежа, либо определить по теореме Пифагора (так как вектора и взаимно перпендикулярны):

см/с².

Определим касательное ускорение точки М в заданный момент времени t, зная проекции скорости и ускорения на оси координат

см/с².

Так как > 0, то вектор ускорения направлен из точки М по касательной к траектории движения в сторону направления вектора скорости (движение точки будет ускоренным), данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений (рис.12).

Определим нормальное ускорение точки М в заданный момент времени t, зная полное и касательное ускорения

см/с².

Вектор ускорения направлен из точки М по нормали п к траектории движения к центру кривизны траектории, данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений (рис.12).

Так как векторная сумма ускорений справедлива (рис.12), то решение верно.

Рис.12.

Определим радиус кривизны траектории в заданный момент времени c учетом нормального (центростремительного) ускорения в заданный момент времени

см.