Векторы, операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
[2], гл.1; [8], гл.2; [10]
При решении задач на эту тему необходимо знать определения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов, уметь вычислять и применять эти произведения. Скалярным произведением векторов и
называется число
Зная координаты перемножаемых векторов
а = ах + ay
+ az
=(ax;ay ;az);
=
+ by
+ bz
=(bx;by;bz), можно вычислить скалярное произведение ab=axbx+ayby+azbz. Условием ортогональности (перпендикулярности) векторов а и b является равенство нулю их скалярного произведения
Векторным произведением вектора на вектор
называется вектор
, который
1) перпендикулярен векторам и
,
2) образует с ними правую тройку ,
,
и
3) длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и В, как на сторонах, т.е. Если известны координаты перемножаемых векторов, то векторное произведение
вычисляется по формуле:
Смешанное произведение векторов есть скалярное произведение вектора
на векторное произведение
и
и вычисляется по формуле:
Абсолютная величина смешанного произведения векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Если -правая тройка векторов, то
, если левая, то
;
–условие компланарности трех векторов
Пример 4.На векторах и
построен треугольник ABC. Найти площадь треугольника ABC и его высоту, опущенную на сторону ВС, если длины векторов
равны соответственно 1 и
, а угол, образованный векторами
, равен 135°.
Решение:1) Найдем площадь S треугольника ABC. Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине модуля их векторного произведения, то есть
Вычислим векторное произведение векторов . Для этого применим распределительное свойство векторного произведения:
30
Векторное произведение вектора самого на себя равно нулевому вектору, следовательно ; при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный, значит
. Отсюда,
30
Находим модуль полученного вектора
Следовательно,
2) Найдем сторону ВС треугольника АВС, то есть длину вектора . Согласно правилу треугольника сложения векторов,
, откуда
Найдем длину полученного вектора по формуле:
Над корнем стоит скалярное произведение вектора самого на себя. Найдем его
С учетом того, что ,
,
, получаем
3) Найдем высоту h треугольника ABC, опущенную на сторону ВС. По формуле площади треугольника имеем откуда
Площадь треугольника S и сторона ВС найдены ранее: S = 26, ВС =13. Следовательно,
4.1.4. Приложение векторной алгебры к задачам аналитической геометрии[2],гл.2,3; [8],гл.3,§1
Задачи на прямую и плоскость в пространстве рекомендуется решать средствами векторной алгебры. При решении задач необходимо уметь использовать различные формы уравнений прямых и плоскостей, а также умен, переходить от одной формы уравнения к другой.
Задачи на прямую и плоскость в пространстве, рекомендуется решать средствами векторной алгебры. При решении задач необходимо уметь использовать различные формы уравнений прямых и плоскостей, а также уметь переходить от одной формы уравнения к
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1,-2,3),M2(2,-1,0) и точку пересечения прямой с плоскостью xOy.
Решение: Найдём координаты точки М3(х,у,z) - точки пересечения заданной прямой с плоскостью хОу. Для этого от канонических уравнений прямой перейдем к параметрическим и, добавив уравнение плоскости хОу z =0, получим систему для определения координат искомой точки:
Из третьего и четвертого уравнений получим t = 2, тогда х = 7; у = 2; 2 = 0. Таким образом, М3(7,2,0) - точка пересечения, заданной прямой с плоскостью хОу.
Составим уравнение плоскости, проходящей через точки М1,М2,М3, Если точка М (х,у,z) - текущая точка плоскости, то векторы
и
компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю:
или в координатной форме
Раскрыв этот определитель по элементам первой строки, получим уравнение искомой плоскости:
9(х-1)-15(у + 2)-2(z-3) = 0 или 9х-15у – 2z - 33 = 0.
Пример 6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A(2;-1;1) и прямую
Решение: Приведем общие уравнения прямой к каноническому виду где
– направляющий вектор прямой, а
– точка, лежащая на этой прямой. Так как прямая лежит в обеих данных плоскостях, в плоскости х - у + 22z + 1 = 0 и в плоскости 3х - у - 2 + 1 =0, то ее направляющий вектор
перпендикулярен нормальным векторам этих плоскостей N1 = (1; -1;2) и N2= (3; -1; -1), поэтому можно выбрать
![]() |
Координаты точки








Выберем произвольную точку искомой плоскости М(х,у,z), тогда три вектора компланарны, (см.рис.1), значит
Т. о. уравнение искомой плоскости 11х + у – 20z -1=0.