Векторы. Основные определения.
Вектором называется направленный отрезок. К векторам относится также нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Вектор характеризуется своей длиной (модулем) и направлением.
B
A
Линейные операции над векторами:
1). Сложение векторов.
Складывают два вектора по правилу параллелограмма или треугольника. Правило треугольника можно обобщить на n-слагаемых. Если каждый раз соединять начало последующего вектора с концом предыдущего, то получим ломаную линию. Вектор, соединяющий начало первого с концом последнего и есть сумма.
2). Умножение вектора на число.
При умножении вектора на число
его модуль увеличивается (если
) или уменьшается (если
) в
раз, а направление не изменяется, если
и меняется на противоположное, если
.
В любом случае векторы и
лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарные.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.
Свойства линейных операций:
1). Коммутативность
2). Ассоциативность
,
3). Дистрибутивность
, где
Рассмотрим систему векторов . Выражение вида
, где
называется линейной комбинацией векторов
. Если в линейной комбинации все
, то система векторов линейно независима. Если существуют
, то система – линейно зависима.
Любая упорядоченная линейно независимая тройка векторов называется базисом в пространстве. Векторы
называются базисными. Если базисные вектора взаимно перпендикулярны, то базис называется ортогональным. Если базисные векторы имеют единичную длину, то они называются ортами. Базис называется ортонормированным, если базисные векторы единичные и взаимно перпендикулярные. Декартова система координат – ортонормированная, орты прямоугольной декартовой системы координат обозначают
.
Пусть - некоторый базис в пространстве. Пусть
- произвольный вектор пространства. Рассмотрим линейную комбинацию
Так как любая четвёрка векторов линейно зависима, то не все коэффициенты линейной комбинации равны 0.
Эта формула даёт разложение вектора по базису (
). Коэффициенты
- координаты вектора
в этом базисе. Разложение вектора по базису единственное, т.е. координаты вектора однозначно определяют сам вектор.
В связи с этим можно записать следующие свойства:
Пусть даны векторы и
1). Равные векторы имеют одинаковые координаты, т.е. если , то
.
2). При умножении вектора на число, его координаты умножаются на это число .
3). При сложении двух векторов складываются их соответствующие координаты .
Проекцией вектора на вектор
называется число
, где
.
Координаты вектора в прямоугольном базисе совпадают с проекциями вектора
на базисные орты
, а длина вектора равна
Числа
называются направляющими косинусами вектора .
Скалярное произведение.
Скалярным произведением двух векторов и
называют число равное
, где
- угол между векторами
и
.
Свойства скалярного произведения:
1).
2).
3).
4).
Если известны координаты векторов ,
, то скалярное произведение можно найти по формуле:
Скалярный квадрат вектора вычисляют по формуле:
Геометрические свойства скалярного произведения:
1).
2). Если , если
3). Формула для определения угла между векторами:
Векторное произведение.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если поворот вектора
к вектору
на наименьший угол в плоскости векторов
и
виден из конца вектора
происходящим против движения часовой стрелки.
В случае, если поворот по часовой стрелке, тройка называется левой.
Векторным произведением называется вектор
, определяемый следующими условиями:
1). Тройка векторов правая
2). Вектор перпендикулярен
и
3). Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах
и
, т.е.
Из определения векторного произведения следует, что
Свойства векторного произведения:
1).
2).
3).
4).
В координатной форме векторное произведение вычисляется по формуле:
Смешанное произведение.
Смешанным произведением трёх векторов называют число равное .
Геометрические свойства:
1). Если V – объём параллелепипеда, построенного на векторах , то
. Если
- правая тройка, то
, если левая, то
.
2). Вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.
Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка не меняет его величины, т.е.
Это свойство позволяет ввести обозначение:
(результат не зависит от того, как расставить скобки в правой части)
Смешанное произведение через координаты записывается в виде:
Примеры:
1. Доказать, что векторы образуют базис и найти разложение вектора
в этом базисе.
Решение: Векторы в пространстве образуют базис, если они не- компланарны. Найдём смешанное произведение этих векторов.
Следовательно, векторы образуют базис. Пусть вектор
имеет в этом базисе координаты
.
Тогда .
Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты.
Решив эту систему, найдём .
Таким образом, .
2. Даны точки .
Найти: а). длину отрезка АВ,
б). в
,
в). ,
г). направляющие и единичный вектор направления
.
Решение: а).
б). угол B в есть угол между векторами
и
.
в).
г).
Направляющие .
3. Найти , если
.
Решение:
.
4. При каком векторы
и
перпендикулярны?
Решение:
Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
.
5. Найти угол между векторами и
.
.
6. Найти угол между векторами и
, где
и
- единичные векторы и угол между ними равен
.
.
7. Найти векторное произведение векторов и
.
8. Вычислить площадь треугольника с вершинами .
Решение:
.
9. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и
, если
.
10. Даны точки .
Найти: а). высоту , опущенную из вершины А на сторону ВС;
б). объём пирамиды ABCD.
а). С одной стороны , с другой стороны
.
Таким образом, .
B
h
A C
б). Объём пирамиды ABCD равен объёма параллелепипеда, построенного на векторах
.
.
.
11. Доказать, что точки лежат в одной плоскости.
Рассмотрим векторы .
Найдём их смешанное произведение:
Значит, векторы компланарны, следовательно, точки A,B,C,D лежат в одной плоскости.
12. Дана пирамида, вершины которой имеют координаты: . Найти высоту, опущенную на грань BCD.
Решение: С одной стороны с другой
.
Таким образом, .
Следовательно, .
.
.
Прямая на плоскости.
Прямая на плоскости может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1). - общее уравнение прямой;
2). - уравнение с угловым коэффициентом.
- угловой коэффициент и он равен тангенсу угла наклона прямой с положительным направлением оси
;
3). - уравнение прямой, проходящей через точку
перпендикулярно нормальному вектору
;
4). - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно направляющему вектору
;
5). - параметрические уравнения прямой;
6). - уравнение прямой, проходящей через две точки
;
7). - уравнение прямой в отрезках на осях, где a и b величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях;
8). - нормальное уравнение прямой, где
- угол, который образует нормальный вектор, направленный из начала координат к прямой, p – расстояние от начала координат до прямой.
Общее уравнение (1) приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель:
.
Если прямая l задана нормальным уравнением, а - некоторая точка плоскости, то выражение:
называется отклонением точки
от прямой l.
Знак указывает на взаимное расположение точки
, прямой l и начала координат. Если точка
и начало координат лежат по разные стороны от прямой l, то
, а если по одну, то
. Расстояние от точки
до прямой l находится по формуле:
.
Угол между двумя прямыми.
1). Пусть заданы две прямые:
и
Нормальные векторы прямых имеют координаты:
Угол между прямыми можно найти как угол между нормальными векторами:
.
Условие параллельности двух прямых:
.
Условие перпендикулярности:
т.е.
.
2). Если прямые заданы каноническими уравнениями:
и
,
то их направляющие векторы: .
Аналогично с п.1). имеем:
Условие параллельности:
.
Условие перпендикулярности:
.
3). Если две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:
,
тогда угол между прямыми можно вычислить по формуле:
,
при этом угол отсчитывается в направлении от первой прямой ко второй.
Условие параллельности:
.
Условие перпендикулярности:
.
Примеры:
1. Дано общее уравнение прямой: . Напишите различные типы уравнений этой прямой.
а). Уравнение прямой в отрезках;
б). Уравнение прямой с угловым коэффициентом;
в). нормальное уравнение прямой;
.
2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
.
Решение: Воспользуемся уравнением
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и начало координат.
Решение: Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:
4. Написать уравнение прямой с направляющим вектором и проходящей через точку
Решение:
5. Найти угол между прямыми и
Решение:
6. Показать, что прямые и
перпендикулярны.
Решение:
Найдём скалярное произведение и
, следовательно, прямые перпендикулярны.
7. Даны вершины треугольника . Найти уравнения медианы, высоты, биссектрисы, проведённых из вершины С.
С
А Н М К В
а). медиана СМ
точка М – середина отрезка АВ.
Найдём координаты точки М:
Итак, точка
Найдём уравнение СМ как прямой, проходящей через 2 точки М(3,3) и С(12,-1)
б). высота СН
Так как , то вектор
, значит он является нормальным для прямой СН, также известны координаты точки С, через которую проходит прямая СН.
в). биссектриса СК
Воспользуемся следующим свойством биссектрисы: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.
Возьмём на биссектрисе СК текущую точку . По свойству имеем:
. Но
и
есть расстояния от точки N до АС и ВС соответственно.
C
N
A K B Составим уравнения АС и ВС:
АС:
ВС:
Нормируем эти уравнения:
, следовательно, АС:
,
тогда ;
, следовательно, ВС:
,
тогда .
Так как
Для того, чтобы снять модули в этом соотношении, установим положение начала координат относительно прямых АС и ВС. Так как нормали из точки О в сторону АС и ВС сонаправлены, то соотношение
примет вид:
СК: .
8. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку и составляющих с прямой
угол
.
Будем искать уравнение прямой в виде . Так как прямая проходит через точку А, то её координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е.
. Угол между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами можно найти по формуле:
.
Так как угловой коэффициент данной прямой равен , а угол
, то
Имеем два значения k:
.
Найдём соответствующие значения b:
Получили две искомые прямые: .
9. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного прямой и осями координат равна 8.
Будем искать уравнение прямой в отрезках
, так как
, то
10. При каких значениях параметра t прямые и
параллельны?
Прямые, заданные общими уравнениями параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е.
11. Найти уравнение общей хорды двух окружностей:
Решение: Найдём точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:
Соответственно, .
Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки , через которые проходит эта прямая:
12. Найти расстояние от точки до прямой
.
Решение: Нормируем уравнение прямой .
.
Плоскость в пространстве.
Плоскость в пространстве может быть задана одним из следующих уравнений:
1). - общее уравнение плоскости;
2). - уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно нормальному вектору
;
3). - уравнение плоскости в отрезках,
- отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат;
4). - уравнение плоскости, проходящей через точки
;
5). - уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно двум неколлинеарным векторам
;
6). - нормальное уравнение плоскости, где
- направляющие косинусы нормального вектора
, направленного из начала координат к плоскости,
- расстояние от начала координат до плоскости.
Общее уравнение приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель
.
Если плоскость задана нормальным уравнением и точка
- некоторая точка пространства, то выражение
называется отклонением точки
от плоскости
.
Расстояние от точки до плоскости
определяется равенством
.
Две плоскости и
параллельны, если
, т.е.
и
коллинеарны, перпендикулярны, если
, т.е.
и
.
Угол между плоскостями есть угол между нормалями:
.
Прямая в пространстве.
Прямая в пространстве может быть задана:
1). Общими уравнениями
,
что равносильно её заданию как линии пересечения двух плоскостей;
2). Каноническим уравнением
,
прямая проходит через точку параллельно направляющему вектору
;
3). Параметрическими уравнениями
.
Заметим, что направляющий вектор прямой можно найти как векторное произведение нормальных векторов
и
, т.е.
.
Угол между прямыми есть угол между направляющими векторами
.
Угол между прямой и плоскостью
определяется по формуле:
.
Условие параллельности прямой и плоскости:
.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .
Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:
и
.
Две прямые лежат в одной плоскости, если компланарны векторы , т.е. их смешанное произведение равно 0, т.е.
.
Если , то прямые являются скрещивающимися.
Примеры:
1. Составьте уравнение плоскости, зная что точка служит основанием перпендикуляра, проведённого из начала координат к этой плоскости.
Решение: По условию задачи вектор является нормальным вектором плоскости и точка
принадлежит плоскости.
Воспользуемся уравнением:
2. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки: и
и перпендикулярной плоскости
.
Решение: Вектор нормали к плоскости параллелен искомой плоскости.
Выберем на плоскости текущую точку . Векторы
- компланарны. Тогда
3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось и образующей с плоскостью
угол
.
Решение: Плоскость, проходящая через ось задаётся уравнением
, где А и В одновременно в ноль не обращаются. Пусть
, тогда
. Обозначим
, тогда уравнение плоскости примет вид
.
Нормальный вектор данной плоскости , искомой плоскости
.
По формуле косинуса угла между двумя плоскостями имеем:
.
Откуда получаем две плоскости:
4. В пучке, определяемом плоскостями и
, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку
.
Решение: Уравнение пучка плоскостей имеет вид:
или
.
Для того, чтобы выделить из пучка плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты этой точки в уравнение пучка
откуда имеем .
Тогда уравнение плоскости, содержащей точку М, найдём, подставив соотношение в уравнение пучка
Так как (иначе
, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение:
.
Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности нормальных векторов:
.
Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:
или (в силу того, что )
5. Даны координаты вершин пирамиды
Найти угол между ребром и гранью
.
Решение: Найдём вектор нормали к грани , как векторное произведение
и
.
.
Найдём координаты вектора .
Найдём угол между вектором нормали и
:
Искомый угол между вектором и плоскостью равен .
6. Даны плоскость , прямая
и точка
.
а). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и параллельной плоскости .
В качестве вектора нормали к искомой плоскости можно взять - нормаль
. Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:
.
б). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М и параллельной . В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять
- направляющий вектор
. Тогда уравнение прямой:
в). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной .
В качестве вектора нормали к исходной плоскости можно взять - направляющий вектор
и уравнение плоскости будет
г). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной .
Направляющим вектором искомой прямой можно взять - нормаль
. Отсюда получим уравнение прямой
д). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и прямую .
Запишем уравнение в параметрической форме:
Придав
два различных значения, например,
найдём две точки прямой.
Точки принадлежат искомой плоскости. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки:
.
е). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной плоскостям и
.
В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять векторное произведение и
- нормальных векторов
и
.
.
Зная точку М, через которую проходит плоскость, и вектор нормали , составим уравнение искомой плоскости:
.
ж). Найти точку пересечения прямой и плоскости
.