Некоторые эталонные пределы

1. 4.

2. 5.

3. 6.

7. 9.

8. 10.

Нарушение ограничений, накладываемых на функцию при вычислении пределов, приводит к неопределённостям вида .

Элементарными приёмами раскрытия неопределённостей являются:

1) сокращение на множитель, создающий неопределённость;

2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при );

3) применение эквивалентных;

4) использование замечательных пределов.

Примеры. Найти пределы:

1. .

Разделим числитель и знаменатель дроби на в старшей степени, т.е. на :

2. .

3. .

Таким образом,

если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен 0;

если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен ;

если степень числителя равна степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

4. .

5. .

Последовательность ограниченная, а последовательность бесконечно малая, т.к. степень числителя меньше степени знаменателя. Значит, по теореме о произведении бесконечно малой на ограниченную.

7. .

способ. Здесь имеем неопределённость . Устраним неопределённость тождественным преобразованием – домножим числитель и знаменатель на сопряжённые выражения.

II способ. Положим , тогда . Если , то .

9. .

Разложим многочлены в числителе и знаменателе на множители

10. .

Иногда полезно воспользоваться формулами тригонометрии:

11.

12. .

Заметим, что аналогично можно доказать:

;

13. .

Для раскрытия неопределённости используем метод замены бесконечно малых эквивалентными:

14. .

I способ. Имеющуюся неопределённость устраним тождественным преобразованием с последующим использованием замечательных пределов и теоремы о пределе произведения:

II способ. Так как при ,

то

15. .

I способ. Имеющуюся неопределённость устраним тождественными преобразованиями с последующим использованием второго замечательного предела:

II способ. Используя тождество и непрерывность показательной функции, сведём неопределённость к неопределённости :

;

Таким образом, исходный предел равен .

Непрерывность функции

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и в некоторой окрестности точки и если .

Геометрически непрерывность функции в данной точке означает, что разность ординат графика функции в точках и будет мала, если достаточно мало.

Определение. Если функция непрерывна в каждой точке интервала , то она непрерывна на этом интервале.

Если функция определена при и при этом , то говорят, что функция непрерывна в точке справа.

Если функция определена при и при этом , то говорят, что функция непрерывна в точке слева.

Если функция непрерывна на интервале , и непрерывна в точках соответственно справа и слева, то функция непрерывна на отрезке .

Если в точке для функции не выполняется какое-либо условие непрерывности, т.е. функция не определена в точке или не существует , или , то функция разрывна при . Точка называется точкой разрыва.

Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения.