Матричный способ решения системы. Формулы Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n переменными:

или в матричной форме .

Определение. Определитель матрицы A обозначим и назовем определителем системы:

.

Определение.Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае .

Умножив обе части уравнения слева на матрицу А^-1, получим . Поскольку и , то

.

Определение. Отыскание решения системы по формуле называют матричным способом решения системы.

Таким образом, чтобы решить систему уравнений матричным способом, нужно:

1. Найти обратную матрицу А^-1.

2. Найти произведение обратной матрицы А^-1 на матрицу-столбец свободных членов B, т.е. .

3. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при на столбец свободных членов, то получим n определителей (для n неизвестных):

, ,…, .

Тогда получим формулы для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными:

.

Определение. Формулы называются формулами Крамера.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов.

I этап (прямой ход).

С помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (треугольного) вида:

где , , i = 1,…, k. Коэффициенты называются главными элементами системы.

II этап (обратный ход).

Из ступенчатой системы последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное через остальные неизвестные ( ,…, ). Затем подставляем значение в предпоследнее уравнение системы и выражаем через ( ,… , ); затем находим ,…, . Придавая свободным неизвестным ( ,…, ) произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.

Замечание.Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е. , то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим , из предпоследнего уравнения , далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные ( ,…, ).

Решение типового задания.

Пример 1. Решить матричным способом систему уравнений

Решение.

Составим матричное решение , где

, ,

тогда . Вычислим обратную матрицу А^-1.

Находим

.

Вычислим алгебраические дополнения A_ij элементов матрицы A:

;
;	;	;
;	;	.

Составим матрицу и транспонируем ее .

Запишем обратную матрицу . Следовательно,

.

Ответ:

Пример 2. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

 

Решение.

Вычислим определитель системы:

, а также

,

Подставляя найденные значения определителей в формулы Крамера, получаем искомое решение системы:

.

Ответ:

Пример 3. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение.

Переставим третье уравнение на место первого:

Запишем расширенную матрицу:

.

Чтобы в 1-м столбце получить a₂₁ = a₃₁ = 0, умножим 1-ю строку сначала на 2, а затем на 3 и вычтем результаты из 2-й и 3-й строк:

.

Умножим 2-ю строку на 8, а 3-ю строку умножим на 3, затем полученные результаты вычтем из 3-й строки 2-ю строку:

.

Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица:

Выразим переменную z из 3-го уравнения, у – из 2-го уравнения, переменную x из 1-го уравнения:

Ответ: x = 1, y = 2, z = 3.

Задачи №1-30:

Решите систему линейных уравнений тремя способами: а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.