Метод Крамера для СЛАУ третьего порядка.
Рассмотрим СЛАУ:
 ~ 
| (7.1) |
По аналогии со СЛАУ второго порядка выпишем 
, 
, 
и 
.
 ,  ,
 ,  .
| (7.2) |
Тогда получим:
 ;  ;  .
| (7.3) |
Пример №7.1:
Решите систему линейных алгебраических уравнений третьего порядка методом Крамера.
Решение:
Решим данную СЛАУ методом Крамера. Для этого выпишем сначала расширенную матрицу этой:
Далее воспользуемся формулами Крамера (7.2):
Тогда используя формулы (7.3) получим:
;
;
.
Ответ: 
, 
, 
.
Решение СЛАУ методом Гаусса.
Рассмотрим СЛАУ:
~
Метод Гаусса это итерационный метод решения СЛАУ. Эти итерации основаны на равносильных преобразованиях СЛАУ. Для того чтобы дать представление о равносильных преобразованиях систем сформулируем несколько определений и правил. Для определенности перечисленные определения и понятия дадим для случая трех переменных.
Определение №1: Равенство 
будем называть линейным уравнением с тремя неизвестными.
Пусть 
, тогда 
, тоже линейное уравнение с тремя неизвестными.
Определение №2: Два линейных уравнения с тремя неизвестными и 
называются равносильными, если каждое решение 
первого есть решение второго, а каждое решение второго есть решение первого. При этом пишут: 
.
Правило равносильных преобразований систем.
Дадим несколько основных правил равносильных преобразований СЛАУ. Для простоты будем говорить о СЛАУ третьего порядка. Заметим, что все правила перечисленные здесь для СЛАУ третьего порядка справедливы и для СЛАУ второго порядка и порядка большего трех.
8.2.1°. Если в СЛАУ одно уравнение заменить на равносильное ему уравнение, то получим систему, равносильную данной.
8.2.2°. Система содержит уравнение вида 
, где 
– некоторое неизвестное, 
– функция, не зависящая от . Тогда, если во всех оставшихся уравнениях СЛАУ вместо подставить , то полученная таким образом система будет равносильна исходной.
8.2.3°. Допустим, что СЛАУ содержащей уравнение 
и 
. Если в этой СЛАУ уравнение заменить уравнением 
, где 
, то получим систему, равносильную данной.
Метод Гаусса.
Опишем теперь сам алгоритм метода Гаусса для нахождения решения СЛАУ.
1. Выписать расширенную матрицу СЛАУ.
2. В таблице в первом столбце выбрать ведущий элемент и эту строку поменять местами с первой строкой таблицы.
3. С помощью правил 3° сделать так, чтобы элементы выбранного столбца под ведущим элементом обратились в ноль.
4. Выбрать ведущий элемент в следующем столбце и поменять строку с выбранным элементом со строкой, стоящей ниже строки с прошлым выбранным элементом и снова повторить п.3, продолжая делать это, пока таблица не примет один из видов:
а. 1) В одной из строк все элементы 
, а 
система решений не имеет.
б. 2) Если в одной из строк все и 
, то поменять эту строку с самой нижней строкой, в которой хотя бы одно 
и снова перейти к п.3. Когда исчерпаются все такие строки, принимая неизвестные, которые находятся в конце таблицы, за независимые функции, по правилу 8.2.20, найдем решение СЛАУ. Заметим, число таких неизвестных равно числу нулевых строк. В этом случаи СЛАУ имеет бесконечное множество решений.
3) Если мы получим таблицу вида (в частности):
Тогда, используя правило 8.2.2°, получим, что 
. Подставляя, полученный 
в строку выше, снова используя правило 8.2.2°, найдем 
. Продолжая этот процесс далее, последовательно найдем оставшиеся 
. Очевидно, что в этом случаи СЛАУ имеет единственное решение.
Пример №8.3.1:
Решите систему линейных алгебраических уравнений третьего методом Гаусса.
Решение:
Решим данную систему методом Гаусса. Для этого выпишем сначала расширенную матрицу этой:
Далее начнем производить шаги метода Гаусса. Ведущий элемент будем обозначать квадратиком. Строки будем обозначать буквой С, а действия производимые над строками будем писать правее матрицы.
Сопоставив последней расширенной матрице СЛАУ, получим
Заметим, что решение данной СЛАУ, полученное с помощью метода Гаусса, совпадает с решением, полученным с помощью метода Крамера.
Ответ: , , .
9 Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными, когда одно линейное, а другое – второй степени.
Запишем еще одно правило равносильного преобразования систем:
9.4°. Система, содержащая уравнение вида 
, распадается на две системы: в одной это уравнение заменено на 
, а в другой – уравнением 
. При этом, если уравнение равносильно совокупности уравнений и , то данная система равносильна совокупности этих систем, то есть множество решений данной системы есть объединение множеств решений этих систем.
Пример №9.1:
Решить систему уравнений
Решение:
Для решения данной системы применим сначала правило 8.2.2о, тогда получим
Применив к последней системе правило 9.4о получим
Ответ:(5;0) и (0;-5).
10 Практические задания
1. По заданной системе линейных алгебраических уравнений постройте ее расширенную матрицу:
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
1.10 
1.11 
1.12 
1.13 
1.14 
1.15 
1.16 
1.17 
1.18 
1.19 
1.20 
1.21 
1.22 
1.23 
2. Найдите значение определителя методом разложения и графическим методом. Сравните результаты.
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
2.9 
2.10 
2.11 
2.12 
2.13 
2.14 
2.15 
2.16 
2.17 
2.18 
2.19 
2.20 
2.21 
2.22 
3. Найдите корни уравнения:
3.1 
3.2 
3.3 
3.4 
3.5 
3.6 
3.7 
3.8 
3.9 
3.10 
4. Приведите уравнения к каноническому уравнению эллипса, гиперболы, параболы или окружности и найдите для кривых второго порядка заданных данными уравнениями оси, фокусы, асимптоты, директрису и эксцентриситет:
4.1 
4.2 
4.3 
4.4
4.5 
4.6 
4.7 
4.8 
5. Решите систему линейных уравнений методом подстановки, методом Крамера и методом Гаусса:
5.1 5.2 5.3
5.4 
5.5 
5.6 
5.7 
5.8 
5.9 
5.10 5.11 5.12
5.13 5.14 5.15
5.16 5.17 5.18 
6. Найдите все значение параметра, при котором система алгебраических уравнений имеет единственное решение, бесконечно много решений и является несовместной:
6.1 
6.2 
6.3 
6.4 
6.5 
6.6 
6.7 
6.8 
6.9 
6.10 
7. Решите систему уравнений
7.1 
7.2 
7.3 
7.4 
7.5 
7.6 
7.7 