Підготовка до олімпіад з фізики
Довести, що сосиска при варінні частіше розривається вздовж, а не впоперек. Вважати, що оболонка сосиски має однакову міцність у різних напрямках.
Розв’язування:
Рішенням задачі є розрахунок і порівняння сил, що діють на одиницю довжини периметра перерізу вздовж і впоперек сосиски (див. рис.)
Сила, що діє на одиницю довжини периметра поздовжнього перерізу визначається: 
.
Сила, що діє на одиницю довжини периметра поперечного перерізу визначається: 
.
Співвідношення цих сил:
. Якщо 
>d, то сосиска (труба під тиском)розірветься вздовж, що і відбувається на практиці. За іншого співвідношення між і d лінія розриву може бути інакшою. (8 клас)
По колу стадіону бігають назустріч двоє хлопців. Швидкість одного з них в k разів більша від швидкості другого. Щоразу хлопці зустрічаються на відстані L від попереднього місця зустрічі. Визначте довжину кола стадіону. (8 клас)
Чому тріщини у трубах, що лопаються взимку, коли в них замерзає вода, завжди поширюються вздовж, а не поперек труби?
Розв’язування:
Якщо тиск у трубі дорівнює р, то на одиницю товщини поперечного перерізу труби діє сила 
де R – радіус труби. На одиницю довжини поздовжнього перерізу труби діє сила 
де l – довжина труби. Порівнявши вирази (1) і (2), дійшли висновку, що одинична сила тиску у поздовжньому перерізі труби вдвічі більше сили тиску у поперечному перерізі труби, отже труба розривається завжди вздовж. З цієї ж причини розриваються вздовж сосиски і сардельки, коли їх варять.
(8 клас.) У дві посудини, в кожній з яких знаходиться М = 300 г води при температурі t = 80 ºС, опускають по кип’ятильнику. Потужність першого кип’ятильника вдвічі більше потужності другого. Скільки води википить у першій посудині до початку кипіння води у другій посудині? Питома теплоємність пароутворення води L = 2,3·10-6 Дж/кг, питома теплоємність води с = 4200 Дж/кг·ºС.
Розв’язування:
За законом збереження енергії для першої посудини маємо: 
За законом збереження енергії для другої посудини маємо: 
У виразах (1) і (2) Р1 – потужність першого кип’ятильника, m1 – маса води, що буде випаровуватися у першій посудині до початку кипіння води у другій посудині. Прирівнявши праві частини виразів (1) і (2), знайдемо шукану величину 
(8 клас. Шкільна олімпіада з фізики. 2000 р.) Дві електрички довжиною L = 200 м кожна рухаються назустріч одна одній. Швидкість першої електрички менша, ніж другої, і дорівнює 1 = 40 км/год. Відстань між точкою зустрічі перших вагонів електричок і точкою розходження останніх вагонів електричок дорівнює d = 40 м. Визначити швидкість 2 другої електрички.
Розв’язування:
Протягом часу від моменту зустрічі електричок до моменту їх розходження перша електричка пройшла відстань (L – d), а друга – (L + d). Час руху першої електрички від моменту зустрічі з першим вагоном другої до моменту зустрічі останнього вагону першої електрички з останнім вагоном другої дорівнює t1 = 
Аналогічний час для другої електрички t2 = 
Так як t1 = t2, то 
= 
Розв’язавши рівняння (3) відносно 2, отримаємо шукану швидкість другої електрички: 
(8 клас.) На поверхні великого озера плаває крижина завтовшки 1 м. Якої найменшої довжини треба взяти мотузку, щоб дістати воду через ополонку в крижині? Густина льоду 900 кг/м3.
Розв’язування:
Відношення густини води і льоду становить 0,9, а це означає, що товщина крижини під водою становить 90 см. Тому відстань від поверхні крижини до води дорівнює 10 см. А це означає, що найменша товщина мотузки має бути 10 см.
(8 клас.) Браслет масою 80 г зроблено зі сплаву золота й срібла. Обчислити масу золота в браслеті, якщо густина золота 19300 кг/м3, срібла – 10500 кг/м3. Відомо, що під час занурення браслета в посудину з водою рівень води піднявся на 2 мм. Стінки посудини - вертикальні, площа основи – 25 см2.
Розв’язування:
Позначимо масу золота у браслеті m1, а срібла – m2. Маса браслета визначається M = m1 + m2 (1). Враховуючи, що об’єм браслету дорівнює об’єму води, що ним витісняється, маємо, з геометричних міркувань 
а з фізичних міркувань – V = 
. Прирівняємо праві частини рівнянь (2) і (3): 
Об’єднаємо рівняння (1) і (4) в систему та розв’яжемо її відносно маси золота m1: 
.
(8 клас.) Крижина сталої товщини плаває, виступаючи над рівнем води на h = 3 см. Знайдіть масу крижини, якщо площа її основи дорівнює S = 250 см2. Густина льоду 1 = 900 кг/м3, густина води 2 = 1000 кг/м3.
Розв’язування:
За законом плавання тіл FА = mg (1), де сила Архімеда FА визначається:
З урахуванням виразу (1) та зробивши певні перетворення, отримаємо шукану масу крижини:
(9 клас.) При підключенні до освітлювальної мережі трьохлампової люстри з двома вимикачами було допущено помилку. Внаслідок цього під час замикання одного з вимикачів всі три лампочки світились тьмяно. При замиканні другого вимикача світилась нормально лише одна лампочка (дві інші не світилися). Той самий ефект давало замикання обох вимикачів одночасно. При розімкнених вимикачах всі три лампи не світилися. Накреслити можливу схему монтажу, який було виконано, та пояснити ефекти, що спостерігалися.
Розв’язування:
Схема монтажу має вигляд, зображений на рисунку: 
(9 клас.) Якщо температура на вулиці t0 = -20 ºC, батарея опалення підтримує в кімнаті температуру t1 = 16 ºC. Коли крім батареї увімкнули електроплитку потужністю Р1 = 1 кВт, то в кімнаті встановилася температура t2 = 22 ºC. Визначити теплову потужність батареї опалення. Врахувати, що теплопередача від одного тіла до другого пропорційна різниці температур цих тіл.
Розв’язування:
За умовою задачі теплопередача від одного тіла до другого пропорційна різниці температур цих тіл, тому потужність батареї опалення Р2 пропорційна різниці температур: Р2 = k (t1 – t0) (1).
Також Р1 + Р2 = k (t2 – t0) (2). Об’єднаємо рівняння (1) і (2) в систему і розв’яжемо її відносно шуканої величини Р2. Отримаємо: 
(9 клас.) За лисицею, що біжить прямолінійно та рівномірно зі швидкістю 1, женеться собака, швидкість якої 2 постійна за абсолютною величиною і спрямована весь час на лисицю. В той час, коли швидкості 1 і 2 стали взаємно перпендикулярними, відстань між собакою та лисицею дорівнювала . Яким було прискорення собаки у цей момент?
Розв’язування:
Відповідно до умови задачі прискорення руху лисиці дорівнює 0. Протягом малого проміжку часу t собака біжить по дузі кола радіусом R. Прискорення руху собаки – доцентрове і дорівнює 
Розглянемо трикутники CAD та CPO, вони прямокутні. В CPO 
В CAD 
Порівнявши (2) і (3), маємо 
Підставимо (4) в (1) та отримаємо шукану відповідь: 
(9 клас. Шкільна олімпіада з фізики. 2000 р.) Яка кількість теплоти виділяється при перевертанні до половини зануреного у воду бруска, що вільно плаває на поверхні води, квадратного перерізу з нестійкого вертикального положення у більш стійке горизонтальне? Маса бруска m = 10 г, довжина 
= 20 см, переріз d x d = 1 х 1 см2.
Вважати g = 10 м/с2.
Розв’язування:
Відповідно до умови плавання тіл mg = gводиV, тобто маса бруска m дорівнює масі води gводи, що витіснена. О1 і О2 – положення центру мас води, що витіснена. Центр маси бруска знаходиться на поверхні води як у вертикальному положенні (стані нестійкої рівноваги), так і у горизонтальному положенні (стані стійкої рівноваги). Положення центру мас витісненої води змінюється на величину О1О2 = 
, як наслідок, потенціальна енергія води змінюється на величину mg .
Виходячи з геометричних міркувань, = 
Згідно з законом збереження енергії mg =Q= mg 
.
(9 клас. Міська олімпіада з фізики. 2004 р.) В сферичну півкулю, що щільно лежить на столі, зверху через отвір наливають воду. Коли вода доходить до отвору, вона дещо піднімається півкулю і починає витікати знизу. Знайти масу півкулі, якщо її радіус дорівнює R, а густина води – .
Розв’язування:
Тиск р на стіл в той момент, коли вода починає витікати, дорівнює p = gR, а сила тиску, що діє на стіл, дорівнює F = pS = gR3(1). Ця ж сила дорівнює F = Mg, де М – загальна маса півкулі і води. Нехай m – маса півкулі. Тоді 
Отже, Порівнявши (1) і (2), маємо 
(9 клас.) Час відправлення електрички за розкладом 12-00. На годиннику пасажира 12-00, але повз нього починає проїжджати передостанній вагон, який рухається протягом 10 с. Останній вагон повз пасажира проходить за 8 с. Електричка рушила вчасно і рухається рівноприскорено. На скільки запізнюється годинник пасажира?
Розв’язування:
До того моменту, коли пасажир потрапив на платформу, електричка вже рухалася протягом часу запізнення tзап. і набула швидкості 0 = аtзап..
За законом рівноприскореного руху для передостаннього вагону справедливим є: L = 
, а для останнього вагону
L = 
Прирівняємо (1) і (2):
З рівняння (3) дістанемо час запізнення пасажира 
(9 клас.) В суміш води з льодом вмістили нагрівник потужністю 700 Вт і ввімкнули його в електричне коло. Через t1 = 5,5 хвилин температура почала зростати зі швидкістю t =10 градусів за t2 = 1 хвилину. Визначити масу льоду і води, що знаходилися спочатку у суміші.
Розв’язування:
Температура почне зростати після того, як увесь лід розтане. За законом збереження енергії Pt1 = mльоду (1), а Pt2 = своди(mльоду + mводи)t (2).
З рівняння (1) дістанемо mльоду = 
Підставивши (3) у (2), знайдемо масу води у суміші 
(9 клас.) Звук пострілу і куля одночасно досягають висоти h = 960 м. Постріл зроблено вертикально вгору. Чому дорівнює початкова швидкість кулі? Середня швидкість звука в повітрі u = 330 м/с.
Розв’язування:
Час рівномірного руху звука визначається: 
Рух кулі – рівносповільнений: 
З виразу (2) знайдемо початкову швидкість кулі 
З урахуванням (1) 
Остаточно, підставивши числові значення величин, отримаємо шукану швидкість u0 =344,3 м/с.
(9 клас.) Після припинення дії сили, що утримує коркову кульку на глибині H = 1 м, кулька зринула з води і піднялася на висоту h = 0,5 м над поверхнею. Визначити середню силу опору води рухові кульки. Опір повітря не враховувати. Маса кульки m = 100 г, густина корка 1 = 200 кг/м3, густина води 2 = 1000 кг/м3.
Розв’язування:
З урахуванням всіх сил, що діють на кульку, маємо записати наступну рівність: 
Рух кульки у воді рівноприскорений з прискоренням 
, яке можна визначити з кінематичного співвідношення: 
так як початкова швидкість кулі дорівнює нулю.
Рух кульки у повітрі відбуваються за умови дії тільки сили тяжіння, так як опором повітря нехтуємо. Висота, на яку піднімається кулька у повітрі, визначається кінематичним співвідношенням 
так як кулька вилітає з води зі швидкістю u, а на висоті h вона на мить зупиняється. Порівняємо вирази (2) і (3) та отримаємо прискорення кульки у воді: 
Остаточно, 
(10 - 11 класи.) Два однакові каркаси, що являють собою коло з діаметрами СЕ і FD (див. рис.), виготовлені з високоомного дроту. Обидва каркаси в точках Е і F дотикаються до поверхні, яка є добрим провідником. Що покаже вольтметр, підключений до точок C і D, якщо до точок А і В підключили джерело напругою 1 В? Опір між точками Е і F не враховувати.
Розв’язування:
Нехай опір дроту довжиною в один радіус дорівнює R. Складемо еквівалентне коло:
; 
; 
; 
; 
;
Так як схема є симетричною, то 
. Тому шукане 
.
Зробимо розрахунки:
.
(10 - 11 класи.) Один моль гелію виконує роботу 
в замкненому циклі (див. рис.), що складається з адіабати 1-2, ізотерми 2-3 та ізобари 3-1. Визначити роботу, виконану в ізотермічному процесі, якщо різниця максимальної і мінімальної температур в циклі становить Т градусів?
Розв’язування:
Точки 2 і 3 належать одній ізотермі, тому Т2 = Т3. Точка 1 розташована вище точок 2 і 3, тому Т1 > Т2 (Т1 > Т3). Тобто Т = Т1 – Т2.
= 12 + 23 + 31.
Для процесу (1-2): 0 = U + 12. Звідки - U = 12 = 
.
Для процесу (2-3): Q = 23.
31= 
. Остаточно 23 = - - 
= - 
.
(10 - 11 класи.) В кулі радіусом R і масою М зробили кулястий виріз радіусом 
, центр якого лежить на середині радіуса кулі. На прямій, що проходить через центр кулі і центр вирізаної частини, на відстані d від центра кулі розташована точкова маса m. Обчислити силу взаємного тяжіння між кулею з вирізом і точковою масою m.
Розв’язування:
Силу взаємного тяжіння між кулею з вирізом і точковою масою m, розташованою на відстані d > R, можна визначити як різницю сил тяжіння між суцільною кулею і масою m і масою в об’ємі вирізаної частини кулі і масою m, тобто застосувавши метод від’ємної маси.
Розглянемо випадок, коли маса m розташована з боку вирізу:
Об’єм порожнини дорівнює 
об’єму кулі. Якщо маса кулі з порожниною М, а її об’єм дорівнює 
об’єму суцільної кулі, то маса об’єму кулі дорівнює 
, звідки маса суцільної кулі (без порожнини) дорівнює 
.
Сила тяжіння між суцільною кулею та масою m визначається так:
. Сила тяжіння між „від’ємною” масою порожнини та масою m визначається так: 
. Сила тяжіння між кулею з порожниною та масою m визначається як різниця
.
(10 - 11 класи.) У циліндрі, заповненому газом, переміщується поршень зі швидкістю 
(див. рис.). Визначити частину енергії, яка втрачається молекулою при зіткненні з поршнем, якщо швидкість молекули перпендикулярна до поверхні поршня і дорівнює 
(>>u). Зіткнення молекули з поршнем вважати абсолютно пружним.
Розв’язування:
Швидкість молекули відносно поршня дорівнює ( – u) і напрямлена вправо. Після абсолютно пружного удару молекула рухається вліво з такою ж швидкістю відносно поршня. Відносно циліндра швидкість молекули на u менша. Після удару швидкість молекули дорівнює ( - 2u). Втрачена енергія дорівнює 
. Членом 4mu2, враховуючи, що >>u. Отже, втрачена частина енергії молекули становить 
.
(10 клас.) Два вагони, маси яких М1 і М2, рухаються на зустріч один одному зі швидкостями відповідно 1 і 2. При зіткненні відбувається стискування чотирьох однакових буферних пружин, після чого вагони розходяться. Знайдіть максимальну деформацію кожної пружини, якщо її жорсткість дорівнює k.
Розв’язування:
Застосуємо закон збереження енергії, взявши до уваги те, що сили тертя малі, а пружини – ідеальні. Шукана величина x ввійде до потенціальної енергії пружно деформованих пружин: 
. Крім цієї енергії слід врахувати кінетичну енергію вагонів, тому що максимального зближення вагони не зупиняються згідно з законом збереження імпульсу: 
. Звідки 
Особливість моменту полягає в тому, що за умови максимальної деформації пружин швидкості вагонів однакові: 
. Закон збереження енергії виглядає так:
Остаточно, 
(10 клас. Міська олімпіада з фізики. 1992 р.) У відрі знаходиться суміш води і льоду. Маса суміші дорівнює m = 10 кг. Відро занесли до кімнати і почали вимірювати температуру суміші. Отримали графік залежності зміни температури суміші від часу. Чому дорівнювала маса льоду у відрі у той момент, коли його занесли до кімнати? Питома теплоємність води с = 4200 Дж/кг·ºС, питома теплоємність плавлення льоду = 3,2·105 Дж/кг
Теплоємністю відра знехтувати.
(11 клас.) Камінь падає з висоти h. Якою має бути експозиція для зйомки моменту удару об землю, якщо допустима розмитість зображення не повинна перевищувати , відстань до фотоапарату L, фокусна відстань об’єктива F.
Розв’язування:
Збільшення об’єктиву 
де f – відстань від об’єктива до фотоплівки, h – довжина траєкторії падіння каменя, що відповідає розмитості зображення , d – відстань від траєкторії польоту каменя до об’єктива. Так як час експозиції дуже короткий, то рух каменя на траєкторії польоту довжиною h можна розглядати як рівномірний.
Тому швидкість каменя в момент падіння на землю визначається: 
Використовуючи закон збереження енергії, знаходимо 
Враховуючи (1), (2), (3), дістанемо 
Використовуючи формулу лінзи, знаходимо 
За умовою задачі d= F. Остаточно, 
(10 клас. Шкільна олімпіада з фізики. 2000 р.) Джерело струму з ЕРС, що дорівнює 100 В, і внутрішнім опором r = 10 Ом підключили до електричного чайника. Знайдіть швидкість, з якою виривається з носика чайника пара, коли вода кипить, якщо потужність, що виділяється у чайнику, максимальна. Площа перерізу носика чайника S = 4 см2. Пару вважати ідеальним газом. Тиск пари на кінці носика нормальний.
Розв’язування:
Потужність, що виділяється у чайнику, дорівнює 
Так як потужність максимальна, то R = r і потужність 
Згідно із законом збереження енергії Q1=Q2= 
Q2=Lm – енергія, яку витрачено на утворення пари. Маса пари, що виривається з носика, визначається: 
У виразі (3) – шукана швидкість пари, що виривається з носика чайника. Так як пара вважається ідеальним газом, застосуємо рівняння Менделєєва-Клапейрона для знаходження густини пари: 
тоді Q2= 
З виразу (5) 
З урахуванням виразу (2) остаточно маємо 
Підставивши числові значення величин, дістанемо u = 0,47 м/с.
(11 клас. Шкільна олімпіада з фізики 2000 р.) Робочим тілом теплової машини є одноатомний ідеальний газ. Знайдіть ККД циклу, графік якого показано на рисунку:
Розв’язування:
ККД визначається 
Виходячи з геометричного смислу роботи, маємо 
За першим законом термодинаміки 
Виходячи з геометричного смислу роботи, маємо 
Зміна внутрішньої енергії визначається: 
Запишемо рівняння Менделєєва - Клапейрона для стану 1:
Для стану 2: 
Підставивши (6) і (7) в (5), знайдемо зміну внутрішньої енергії ідеального газу, виражену через параметри Р0 та V0: 
З урахуванням (4) та (8) 
Остаточно, 
(11 клас. Шкільна олімпіада з фізики 2000 р.) Тонкій сферичній оболонці радіуса R1 = 5 см і маси m = 0,0152 г передають заряд доти, поки за досягнення потенціалу j = 10 кВ оболонка не розлітається на маленькі уламки внаслідок електростатичного відштовхування її частинок. Знайдіть швидкість u уламків сфери у той момент, коли вони опиняться на сферичній оболонці радіуса R2 = 12 см.
Розв’язування:
У той момент, коли потенціал сфери досягне значення j, енергія зарядженої сфери дорівнюватиме 
де С1 – ємність сферичної оболонки радіуса R1. Енергія сферичної оболонки, що розлітається і має радіус R2, складається з кінетичної енергії уламків 
та енергії електростатичного відштовхування на сферичній оболонці 
.
Потенціали сферичної оболонки радіусів R1 та R2 визначаються відповідно
та 
Поділивши (4) на (3), дістанемо 
Згідно з законом збереження енергії 
Розв’язавши останнє рівняння відносно u та врахувавши, що 
, отримаємо шукане значення швидкості уламків 
.
(10 клас. Заочна обласна олімпіада. 2003 р.) Горизонтальна посудина місткістю V= 30 л поділена на три рівні частини тонкими напівпроникними перегородками, що витримують перепади тисків р = 1 МПа. Ліву частину заповнюють воднем, середню – киснем, праву – m = 70 г азотом. Через ліву перегородку може перетікати тільки водень, через праву – водень й азот. Якою найбільшою масою кисню можна заповнити середню частину посудини, щоб перегородки залишилися цілими? Температура стала і дорівнює Т = 300 К. Молярна маса кисню М1 = 32 г/моль, азоту – М2 = 28 г/моль.
Розв’язування:
Оскільки обидві перегородки є проникними для водню, то він не буде здійснювати на них тиск. Як наслідок, при розв’язуванні задачі водень можна не враховувати. Аналогічно азот також не створює тиск на праву перегородку. Так як тиск на ліву перегородку будуть здійснювати кисень й азот, а на праву тільки кисень, то для розв’язування задачі достатньо розглянути тільки ліву перегородку.
Запишемо рівняння стану кисню в об’ємі 
й азоту в об’ємі 
:
де m1 і m маси кисню й азоту у посудині;
р1, р2 – їх парціальні тиски.
За законом Дальтона тиск суміші визначається сумою парціальних тисків р = р1 + р2 або з урахуванням (1) 
Так як тиск на ліву перегородку зліва дорівнює 0, а справа – р, то перепад тисків на неї р = р. Тоді з (2) отримаємо 
Звідки 
(10 клас. Міська олімпіада з фізики. 1995 р.) Циліндричну посудину з площею дна 100 см2 заповнюють водою. В неї вставляють поршень з отвором, в який вставлено трубку. Визначити, на яку висоту підніметься вода у трубці, коли поршень перестане рухатися вниз, якщо маса поршня з трубкою дорівнює 2,4 кг, а площа внутрішнього перерізу трубки 20 см2. Тертя не враховувати.
Розв’язування:
Тиск поршня з трубкою на воду у посудині врівноважується гідростатичним тиском води у трубці:
(11 клас. Міська олімпіада з фізики. 1993 р.) В посудину налито дві рідини, які не змішуються, що мають густину 1 і 2 та товщини шарів h1 і h2 відповідно. На поверхню верхньої рідини поклали маленьке тіло, яке ідеально обтікається. Тіло, падаючи, досягає дна у той момент, коли його швидкість дорівнює нулю. Визначити густину речовини, з якої виготовлено тіло. В’язке тертя в системі не враховувати.
Розв’язування: 
При падінні сила Архімеда виконує від’ємну роботу на першій ділянці: 
на другій ділянці 
З іншого боку, внаслідок цієї роботи потенціальна енергія тіла зменшується, тобто мають місце рівності: 
та 
Повна робота сили Архімеда визначається сумою 
Відомо, що 
а 
Також відомо, що 
Отже, остаточно маємо:
(11 клас. Міська олімпіада з фізики. 1993 р.) Між горизонтальними пластинами плоского конденсатора з висоти Н вільно падає незаряджена металева кулька масою М. На яку висоту підніметься вона після абсолютно пружного удару об нижню пластинку, якщо в момент удару на кульку переходить заряд q? Конденсатор підключений до батареї з Е.Р.С., що дорівнює . Відстань між пластинами конденсатора d.
Розв’язування:
Згідно із законом збереження енергії 
– швидкість кульки при досягненні ним нижньої пластини конденсатора.
З (1) 
Після абсолютно пружного удару і набуття позитивного заряду q згідно з другим законом Ньютона кулька рухалася вгору рівносповільнено з прискоренням 
У виразі (3) величина Е – напруженість електричного поля конденсатора. Для знаходження висоти, на яку підніметься кулька після абсолютно пружного удару, скористаємося кінематичною залежністю рівноприскореного руху: 
Враховуємо, що, підскочивши, заряджена кулька на мить зупиняється, тобто 
Підставимо (2) і (3) в (4):
