Теоретический материал и примеры применения производной к исследованию функции.
Общая схема исследования функции и построения её графика.
- Находят область определения функции;
- Проверяют функцию на четность и нечетность (заметим, что графики четных функций симметричны относительно оси (ОУ), а нечетных – относительно начала координат); проверяют функцию на периодичность;
- Находят точки пересечения графика с координатными осями (ось ОХ имеет уравнение
, ось ОУ имеет уравнение
);
- Находят асимптоты графика функции;
- Исследуют функцию на монотонность и находят точки экстремума;
- Находят интервалы выпуклости графика функции и точки его перегиба;
- Строят график.
Для применения данной схемы, вспомним некоторые основные понятия и определения. Прямая называется наклонной асимптотой для графика функции
, если
(1)
Числа k и b в уравнении асимптоты находятся из условий:
(2)
Если , то прямая у=b называется горизонтальной асимптотой.
Прямая х =а называется вертикальной асимптотой графика функции , если
.
Заметим, что при нахождении вертикальных асимптот графика функции в качестве точки а, через которую может проходить вертикальная асимптота, следует рассматривать точку разрыва данной функции.
Правило нахождения интервалов монотонности и точек экстремума:
1. Найти область определения функции.
2. Вычислить производную функции ;
3. Найти критические точки функции, т.е. точки в которых или не существует;
4. Исследовать знак производной функции в интервалах, на которые разбивается область определения функции этими критическими точками;
5. Если в рассматриваемом интервале
, то на этом интервале функция убывает;
, то на этом интервале функция возрастает.
6. Если - критическая точка и при переходе через нее
меняет знак с «+» на « - », то
- точка максимума; если же она меняет знак с « - » на «+», то
- точка минимума.
Правило нахождения интервалов выпуклости графика функции и точек перегиба:
- Вычислить вторую производную функции
;
- Найти у функции критические точки 2-го рода, т.е. точки в которых
или не существует;
- Исследовать знак второй производной функции в интервалах, на которые разбивается область определения функции критическими точками 2-го рода;
- Если в рассматриваемом интервале
, то на этом интервале график функции выпуклый вверх;
, то на этом интервале график функции выпуклый вниз;
- Если
- критическая точка 2-го рода и при переходе через нее
меняет знак, то
- точка перегиба.
Пример 1: Исследовать функцию и построить ее график.
Решение: исследуем функцию по схеме:
1. D(y)=R;
2. - функция не будет ни четной, ни нечетной; функция непериодическая;
3. Найдем точки пересечения с (ОХ): . Перебирая делители свободного члена, находим целые нули функции:
.
Найдем точки пересечения графика функции с осью (ОУ): если , то
;
4. Асимптот нет;
5. Для нахождения интервалов монотонности функции найдем ее производную: . Найдем критические точки функции:
. Получим:
. Найдем интервалы возрастания и убывания функции:
Из чертежа имеем, что функция возрастает на , убывает на
. Найдем экстремумы функции:
. Значит, точка максимума имеет координаты
. Значит, точка минимума имеет координаты
6. Для нахождения интервалов выпуклости графика функции вычислим вторую
производную: . Найдем критические точки 2 рода функции:
. Определим знак второй производной в интервалах, на которые разбивается область определения
Значит, график функции будет выпуклым вверх на и выпуклым вниз на
. Т.к. вторая производная меняет знак при переходе через точку
, то в ней график будет иметь перегиб. Вычислим:
. Значит, точка перегиба
.
7. Построим график:
Пример 2. Построить график функции у =
Решение:
1. Найдем область определения функции. Она задается условиями x 1, x -1 (при значениях x 1, x -1 знаменатель дроби обращается в нуль). Итак,
D(f)=(-;1)(-1:1)(1;+).
2. Исследуем функцию на честность:
f f(x)
Значит, заданная функция четна, ее график симметричен относительно оси ординат, а потому можно для начала ограничиться построением ветвей графика при x 0.
3. Точек пересечения графика функции с осью ОХ нет,
Найдем точки пересечения графика функции с осью ОУ: если
4. Найдем асимптоты графика. Вертикальной асимптотой является прямая x = 1, поскольку при этом значении x знаменатель дроби обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Для отыскания горизонтальной асимптоты надо вычислить f(x):
.
Значит, y = 1 – горизонтальная асимптота графика функции.
5. Найдем критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:
y .
Критические точки найдем из соотношения y´ = 0. Получаем –4x = 0, откуда находим, что х = 0. При х < 0 имеем y´ > 0, а при х > 0 имеем y´ < 0. Значит, х = 0 – точка максимума функции, причем уmax = f(0)= .
При х > 0 имеем y´ < 0, но следует учесть наличие точки разрыва х = 1. Значит, вывод о промежутках монотонности будет выглядеть так: на промежутке [0;1) функция убывает, на промежутке (1;+) функция также убывает.
- Вычислим вторую производную
нигде не обращается в ноль, критическими точками будут только точки
. Определим знак
в интервалах:
7. Отметим (0;-1) – точку максимума, построим прямые у = 1 – горизонтальную асимптоту, что x = 1 и x = - 1– вертикальные асимптоты,
Практическая работа №4
Вариант – 1.
1. Найти промежутки монотонности, точки экстремума, экстремум функции +9x+3.
2. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
Вариант – 2.
1. Найти промежутки монотонности, точки экстремума, экстремум функции +24x-4.
2. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
Вариант – 3.
1. Найти промежутки монотонности, точки экстремума, экстремум функции
-9x-4.
2. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
Вариант – 4.
1. Найти промежутки монотонности, точки экстремума, экстремум функции +15x+1.
2. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции