Системы линейных уравнений.

Линейная алгебра

Действия с матрицами.

Выполнить действия: m=1 n=5

а) ;

б) .

Вычисление определителей.

Вычислить определитель двумя способами:

а) по правилу «треугольников»; б) по правилу Сарруса

а) по правилу «треугольников» 0+(-150)+(-2)-0-20-12=-184.

б) по правилу Сарруса

Заметим, что это одно и тоже – поэтому так больше вычислять не будем.

Самым эффективным методом вычисления определителей 3-го и более порядка с целыми числами является применение свойств определителя, позволяющее обнулять его элементы с последующим разложением по разреженной строке (столбцу).

Умножим первый столбик на 6 и сложим с последним:

Системы линейных уравнений.

Решить систему уравнений методом Гаусса . Сделать проверку.

Решим систему методом Гаусса с модификацией Жордана и с контрольным столбцом:

Проверка.

Примеры решения некоторых задач.

1. Даны два вектора и Найти их модули, скалярное произведение и cos угла между ними.

2. Решить систему

а. метод Крамера.

Следовательно,

б. Метод Гаусса.

в. Метод обратной матрицы.

Найдем обратную по отношению к матрице системы матрицу методом Гаусса-Жордана.

Таким образом, обратная матрица вычислена и равна

Решение получим умножением обратной матрицы на столбец правых частей:

3.Решить систему методом Гаусса

Здесь мы поменяли второй и четвертый столбцы. Теперь неизвестные идут в таком порядке:

Теперь выпишем решение: или

Привести к каноническому виду.

Заменим переменные по формулам:

Приведем подобные:

Для обнуления члена, содержащего решим уравнение

и найдем угол поворота . Тогда, подставив значение этого угла в уравнение, найдем:

или или или Получили уравнение эллипса.

Вычислить определитель Умножим третью строку на -1 и сложим счетвертой:

Умножим четвертую строку на -1 и сложим с пятой: Теперь умножим пятую строку на -1 и сложим с шестой: Теперь будем умножать четвертую строку на -7, -5, -3 и складывать соответственно с третьей, второй и первой строками: Получили определитель, содержащий не такие большие целые числа, как в первоначальном виде. Оставим пятую строчку неизменной, но умножая ее на необходимые множители будем складывать полученную с другими строками, чтобы получить нули в первом столбце: Разлагая этот определитель по первому столбцу, получим: Здесь мы учитывали, что алгебраическое дополнение имеет множитель -1 или 1 в зависимости от нечетности или четности суммы номера строки и номера столбца ненулевого элемента столбца разложения, а сам элемент равен единице. Оставим пятую строчку неизменной, но умножая ее на необходимые множители будем складывать полученную с другими для получения нулей в четвертом столбце: Разлагая определитель по первому столбцу, получим: Здесь мы также учитывали, что алгебраическое дополнение имеет множитель -1 или 1 в зависимости от нечетности или четности суммы номера строки и номера столбца ненулевого элемента столбца разложения, а сам элемент равен единице. Из третьей строки вынесем 2 и получим: Умножим третий столбец на -1 и сложим с четвертым, чтобы получить единицу: Оставим третью строчку неизменной, но умножая ее на необходимые множители будем складывать полученную с другими для получения нулей в четвертом столбце: Разлагая полученный определитель по четвертому столбцу, получим: Здесь мы учитывали, что алгебраическое дополнение имеет множитель -1 или 1 в зависимости от нечетности или четности суммы номера строки и номера столбца ненулевого элемента столбца разложения, а сам элемент равен минус единице. Сумма в данном случае нечетная = 3+4. Второй столбец, оставляя неизменным, умножим на -5 и сложим с первым, а также умножим на -2 и сложим с третьим: Вынесем множитель 2 из первого столбца и получим: Умножим первую строку на 8 и на -5 и сложим со второй и третьей соответственно: Вынесем -2 из третьей строки: Разложим определитель по первому столбцу и вычислим его: 280