Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1. Определение матрицы размера m×n.
2. Определения квадратной, треугольной, диагональной и единичной матриц.
3. Определение равенства матриц.
4. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число.
5. Операция умножения матриц.
6. Операция транспонирования матрицы.
7. Определение перестановки и инверсии в ней.
8. Теорема о числе перестановок.
9. Определение транспозиции в перестановке.
10. Четные и нечетные перестановки.
11. Терема об изменении четности перестановки при транспозиции.
12. Вычисление определителя 2-го порядка.
13. Вычисление определителя 3-го порядка.
14. Определение определителя порядка n.
15. Как изменится определитель при транспонировании матрицы?
16. Чему равен определитель, имеющий строку или столбец, целиком состоящий из нулей?
17. Как изменится определитель, если его строку или столбец умножить на число?
18. Как изменится определитель, если в нем переставить две строки или два столбца?
19. Как изменится определитель, если к какой-либо его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число?
20. Чему равен определитель, имеющий две пропорциональные строки?
21. Как связаны между собой определители матриц А и А?
22. Чему равен определитель произведения квадратных матриц А и В?
23. Определение минора порядка k.
24. Определение минора 
элемента 
.
25. Определение алгебраического дополнения 
элемента .
26. Теорема Лапласа о вычислении определителя порядка n.
27. Теорема о сумме произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки.
28. Определение обратной матрицы.
29. Условие существования обратной матрицы.
30. Правило вычисления обратной матрицы.
31. Решение матричного уравнения А·Х = В, если det А 0?
32. Решение матричного уравнения Y·А = В, если det А 0?
33. Определение арифметического вектора.
34. Операции над арифметическими векторами.
35. Определение ортогональных векторов.
36. Определение линейной комбинации векторов.
37. Определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов.
38. Теорема о необходимом и достаточном условии линейной зависимости системы векторов.
39. Теорема о линейно зависимой подсистеме векторов.
40. Теорема о подсистеме линейно независимой системы векторов.
41. Определение линейного пространства.
42. Примеры линейных пространств.
43. Определение базиса линейного пространства.
44. (*)Канонический базис n-мерного линейного пространства.
45. Определение подпространства.
46. Теорема о разложении вектора по базису в линейном пространстве.
47. Определение координат вектора в линейном пространстве.
48. Определение ранга матрицы через миноры.
49. Определение базисного минора, базисных строк и столбцов матрицы.
50. Теорема о базисном миноре.
51. Теорема о необходимых и достаточных условиях равенства нулю определителя.
52. Элементарные преобразования матрицы.
53. Определение ранга матрицы через линейную зависимость строк (столбцов) матрицы.
54. Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторов.
55. (*)Матрица перехода от одного базиса к другому.
56. (*)Формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в двух базисах.
57. (*)Определение ортонормированного базиса.
58. (*)Свойства матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
59. Определение системы линейных уравнений.
60. Определение решения системы линейных уравнений.
61. Определения совместных, несовместных, определенных и неопределенных систем.
62. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений.
63. Правило Крамера решения системы линейных уравнений.
64. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
65. Определение общего и частного решений системы линейных уравнений.
66. Условие существования нетривиальных решений системы линейных однородных уравнений.
67. Свойства решений системы линейных однородных уравнений.
68. Определение фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений.
69. Число решений в Ф.С.Р.
70. Определение линейного оператора А: RnRm.
71. Матрица линейного оператора А: RnRm.
72. Определение собственного числа и собственного вектора линейного оператора А: RnRn.
73. Характеристическое уравнение матрицы линейного оператора А.
74. Нахождение собственных векторов матрицы линейного оператора А.
75. Теорема о линейной комбинации собственных векторов линейного оператора, отвечающих одному и тому же собственному числу.
76. Теорема о системе собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным числам.
77. Определение квадратичной формы. Общий вид квадратичной формы при n=3.
78. Понятие канонического вида и главных осей квадратичной формы.
Векторная алгебра(Тема на самостоятельное изучение — вопросы 79–104)
79. Определение геометрического вектора 
, его модуля.
80. Определение коллинеарности двух векторов.
81. Определение равенства векторов.
82. Операции сложения и вычитания векторов.
83. Операция умножения вектора на число.
84. Определение базиса во множестве геометрических векторов. Понятие координат вектора.
85. Определение компланарности трех векторов.
86. Нахождение координат вектора, если известны координаты его начала и конца.
87. Определение деления отрезка АВ в отношении .
88. Вычисление координат точки М, делящей отрезок АВ в отношении .
89. Вычисление координат середины отрезка.
90. Понятие проекции точки на ось и проекции вектора на ось.
91. Формула вычисления проекции вектора на ось.
92. Определение скалярного произведения двух векторов.
93. Свойства скалярного произведения.
94. Формулы вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в декартовой системе координат.
95. Формулы вычисления длины вектора и расстояния между двумя точками (через скалярное произведение).
96. Вычисление угла между векторами (через скалярное произведение).
97. Формула вычисления проекции вектора на ось (через скалярное произведение).
98. Определение векторного произведения двух векторов.
99. Свойства векторного произведения.
100. Геометрический смысл векторного произведения.
101. Формула вычисления векторного произведения векторов, заданных своими координатами в декартовой системе координат.
102. Определение смешанного произведения трех векторов.
103. Геометрический смысл смешанного произведения.
104. Формула вычисления смешанного произведения векторов, заданных своими координатами в декартовой системе координат.
Аналитическая геометрия(Тема на самостоятельное изучение — вопросы 105–126)
105. Уравнения прямой проходящей через точку М0(х0, у0) перпендикулярно вектору 
.
106. Общее уравнение прямой на плоскости.
107. Каноническое уравнение прямой на плоскости.
108. Параметрические уравнения прямой на плоскости.
109. Уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки.
110. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
111. Формулы для вычисления угла между прямыми на плоскости.
112. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.
113. Формула вычисления расстояния от точки М0(х0, у0) до прямой Ах+Ву+С=0 на плоскости.
114. Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0, у0, z0) перпендикулярно вектору 
.
115. Общее уравнение плоскости.
116. Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0, у0, z0) параллельно двум векторам 
и 
.
117. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
118. Угол между плоскостями А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0.
119. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
120. Общее уравнение прямой в пространстве.
121. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве.
122. Уравнение окружности с центром в точке (х0, у0) радиуса R.
123. Определение сферы. Уравнение сферы с центром в точке, М0(х0, у0, z0) радиуса R.
124. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса.
125. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы.
126. Определение параболы. Каноническое уравнение параболы.
Математический анализ
Введение в анализ
1. Понятие множества, его элемента.
2. Определение модуля действительного числа, его свойства.
3. Определение множества ограниченного сверху, снизу и ограниченного множества.
4. Определение верхней границы множества А; точной верхней границы множества А.
5. Определение нижней границы множества А; точной нижней границы множества А;
6. Понятие функции f : х Í Rn y Í Rm.
7. Понятие области определения и области значений функции.
8. Классы функций f : х Í Rn yÍ Rm при различных значениях m и n.
9. Понятие графика функции.
10. Определение композиции функций (сложной функции).
На самостоятельное изучение (вопросы 11–17)
11.– 16. Для скалярной функции скалярного аргумента
11. Определение монотонно возрастающей функции.
12. Определение монотонно убывающей функции.
13. Определение четной, нечетной функции и функции общего вида.
14. Определение ограниченной сверху (снизу), ограниченной функции.
15. Определение неограниченной сверху (снизу), неограниченной функции.
16. Определение периодической функции.
17. Основные элементарные функции, их области определения и области значений. Графики элементарных функций.
18. Понятие обратной функции.
19. Виды окрестностей конечной точки х0 на прямой, их обозначения и запись в виде неравенств.
20. Понятия шаровых окрестностей и окрестностей параллелепипедов на плоскости и в пространстве.
21. Окрестности бесконечно удаленной точки в пространстве 
, их запись в виде неравенств.
22. Понятие предельной точки, внутренней и граничной точки множества.
23. Понятие границы множества, открытые и замкнутые множества.
24. Понятие числовой последовательности. Виды числовых последовательностей.
25. Определение предела числовой последовательности.
26. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности.
27. Теорема о единственности предела последовательности.
28. Теорема о пределе суммы, произведения и частного двух последовательностей.
29. Определение предела функции в точке на языке –.
30. Определение предела функции в точке в пространстве на языке –.
31. Определение предела функции на языке последовательностей.
32. Определение на языке окрестностей и неравенств (графическая иллюстрация) для понятий предела функции:
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
33. Теорема о единственности предела функции в точке.
34. Теорема о пределе суммы, произведения и частного двух функций.
35. Теорема о переходе к пределу в неравенстве.
36. Теорема о зажатой функции.
37. Определение односторонних пределов скалярной функции в точке х0.
38. Теорема о связи предела скалярной функции в точке и ее односторонних пределов в этой точке.
39. Определения непрерывности функции в точке х0 (через пределы и через приращения).
40. Теорема о непрерывности сложной функции.
41. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций.
42. Теоремы Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке [a,b] функции.
43. Первая теорема Вейерштрасса о непрерывной на отрезке [a,b] функции.
44. Вторая теорема Вейерштрасса о непрерывной на отрезке [a,b] функции.
45. Первый замечательный предел и его следствия.
46. Второй замечательный предел.
47. Следствия второго замечательного предела.
48. Классификация точек разрыва (скалярной) функции у = f (х).
49. Понятие функции, бесконечно малой в окрестности точки х0.
50. Понятие функции, бесконечно большой в окрестности точки х0.
51. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой в окрестности точки х0 функции.
52. Определение порядка малости бесконечно малой функции a(х) относительно b(х).
53. Понятие эквивалентности двух бесконечно малых функций.
54. Понятие главной части бесконечно малой функции относительно другой бесконечно малой.