Типы экономического развития. Трендовые модели

 

Сглаживание динамических рядов и трендовые модели. Всоставе динамического ряда в принципе можно выделить четыре компоненты: 1) главную ("вековую") тенденцию, или тренд; 2) регулярные колебания относительно тренда (типа циклов); 3) сезонные колебания; 4) остаток, или случайную компоненту, отражающую влияние разнообразных факторов стохастического характера. Не обязательно, чтобы конкретный динамический ряд включал все указанные компоненты; это зависит от сущности процесса, выражаемого динамическим рядом. Для рядов, характеризующих динамику макропроцессов социалистической экономики, типично присутствие по крайней мере первой и четвертой компонент.

Одной из важнейших задач исследования динамических рядов является установление общих закономерностей или тенденций развития. Для решения этой задачи используются разнообразные приемы уменьшения колеблемости динамического ряда (сглаживающие фильтры), среди которых можно выделить два основных метода: сглаживание ряда с помощью скользящей средней и аналитическое выравнивание.

Метод скользящей средней состоит в том, что средние показатели рассчитываются последовательно по периодам (1, l), (2, l +1), (3, l + 2) и т.д. Если период равен пяти годам (l = 5), то среднегодовые величины условно приписываются к третьему году соответствующего пятилетия. Метод скользящей средней используется при определении базы контрактных цен на основе усреднения предшествующего пятилетнего ряда цен мирового рынка, а также в других областях планово-экономических расчетов, требующих сглаживания сильных колебаний. Ограниченность метода скользящей средней в том, что он слабо учитывает специфику заключающихся в динамических рядах трендов и колебаний.

Аналитическое выравнивание динамического ряда — это метод выражения тенденций развития в виде функции изучаемого показателя от времени, называемой моделью тренда. Возможность построения и сравнения различных моделей тренда облегчает задачу отражения специфических черт инерционности (эволюционное) развития разнообразных экономических процессов.

Типы экономического развития и их трендовые модели.Различные экономические процессы и один и тот же процесс, но в разные промежутки времени могут существенно различаться по характеристикам развития. За основу типизации экономического развития удобно взять динамику абсолютных приростов. В этом случае можно выделить как минимум четыре типа экономического роста:

I — постоянный рост (характеризуемый постоянным или близким к нему абсолютным приростом);

II — увеличивающийся рост (характеризуемый увеличивающимся абсолютным приростом);

III — уменьшающийся рост (характеризуемый уменьшающимся абсолютным приростом);

IV — рост с качественным изменением характеристик на протяжении рассматриваемого периода[1].

Рассмотрим трендовые модели, отражающие основные особенности типов экономического роста. Поскольку важным свойством тренда является гладкость, при выборе трендовых моделей предпочтение отдается непрерывным и дифференцируемым функциям. В отличие от показателя фактического динамического ряда значения трендов будем обозначать .

Тип роста I. Экономический рост с постоянным абсолютным приростом описывается линейной функцией

(9.14)

где а — теоретический уровень базисного года; b — постоянный ежегодный абсолютный прирост ( )

Темп прироста монотонно убывает и асимптотически приближается к нулю. Заметим, что если аппроксимируется динамика прошлого развития, то параметры а и b могут не совпадать с фактическим уровнем базисного года Q_o и средним абсолютным приростом .

Тип роста II. Характерный случай развития с увеличивающимся абсолютным приростом описывается показательной или экспоненциальной функциями:

(9.15)

(9.16)

где а — теоретический начальный уровень (а > 0) ; b — постоянный темп прироста.

В (9.15) b — дискретный темп ежегодного прироста (b = ), в (9.16) — непрерывный темп прироста (b = ). Абсолютные приросты рассматриваемых функций непрерывно возрастают.

Из сравнения двух эквивалентных представлений (9.15) и (9.16) одной и той же траектории x_t следует:

(9.17)

В соответствии с формулой разложения экспоненты в степенной ряд

откуда следует, что и . Только при достаточно малых и и ограниченном t можно считать ).

Например, b =0,05 и t =5; тогда

(1+b)^t= 1,276, e^bt= 1,284,

т.е. разность меньше одного процентного пункта. Но, например, если b = 0,10 и t = 20, то

(1+b)^t< = 6,724, е^bt = 7,389,

а разность превышает 56 процентных пунктов.

 

Другой характерный случай в рамках типа II — рост с постоянным абсолютным ускорением . Этот случай описывается параболой второго порядка с положительными параметрами:

(9.18)

для которой

,

Темп прироста функции (9.18) - переменная величина:

Она может изменяться двояким образом: 1) либо монотонно убывает; 2) либо на начальном интервале времени возрастает, а затем убывает (подробнее см. ДМНХ, с. 21).

Функция (9.18) хорошо отражает тенденции развития многих экономических процессов, когда абсолютные приросты продолжают увеличиваться, а темпы прироста снижаются. Более широкими аппроксимационными возможностями обладают параболы высших порядков. Но их общим недостатком является необходимость оценивания большего числа параметров.

Для анализа динамики типа II удобна также обобщенная экспоненциальная функция, исходящая из предположения переменных темпов прироста:

Проинтегрировав это выражение в интервале от 0 до t, получаем

(9.19)

В качестве функций могут использоваться анализировавшиеся выше линейная, экспоненциальная, параболическая и другие функции.

Тип роста III. В рамках данного типа целесообразно различать: IIIa — уменьшающийся рост, не имеющий предела; IIIб — уменьшающийся рост, имеющий предел (насыщение).

Моделями тренда, отражающими тип экономического роста Шa, могут служить, например, следующие функции с положительными параметрами: линейно-логарифмическая

, (9.20)

степенная

, , (9.21)

Функции, служащие моделями роста типа IIIб, имеют предел. Это, например, гипербола первого порядка (при a, b > 0):

, , (9.22)

Тип роста IV. Характерным свойством трендовых моделей, описывающих данный тип развития, является наличие точки перегиба t^*, в которой абсолютное ускорение равно нулю и меняет свой знак:

Этим свойством обладает ряд функций, рассматривавшихся выше, но имеющих параметры разного знака. Ограничимся ситуацией, когда увеличивающийся рост сменяется уменьшающимся ростом. Для этой ситуации применимы следующие функции: линейно-логарифмическая второго порядка при с < 0( ); парабола третьего порядка при .

К этому классу трендовых моделей относится также логистическая функция

(9.23)

имеющая

, ,

(предел роста).

Более общие задачи анализа динамики с меняющимися тенденциями развития решаются с помощью квазиполиномов и сплайн-функций.

Построение трендовых моделей.Методика построения трендовых моделей экономического развития представляет собой сочетание качественного экономического анализа и формальных математико-статистических процедур. Построение трендовой модели включает ряд этапов.

1. Выбор класса функций тренда . Разработанные пакеты программ построения и анализа трендовых моделей включают много десятков временных функций. Для построения модели определенного экономического показателя целесообразно ограничить множество испытываемых функций, отобрав те, которые отражают главные особенности динамики исследуемого показателя.

2. Оценивание параметров функций . Оценка параметров трендовых моделей проводится методами регрессионного анализа. Для линейных и линеаризуемых моделей широко используются модификации метода наименьших квадратов. Разработаны также более сложные методы нелинейного оценивания.

3. Расчет значений формальных критериев аппроксимации. Для характеристики близости тренда к аппроксимируемому динамическому ряду применяется несколько формальных критериев: сумма квадратов отклонений значений тренда от фактических значений, значение коэффициента детерминации и т.д. Предпочтительны те функции тренда, которые имеют лучшие значения критериев.

4. Анализ остаточной компоненты динамического ряда. Остаточная компонента динамического ряда e(t) должна удовлетворять ряду формальных требований (независимость, постоянство дисперсии, подчинение нормальному закону распределения).

5. Выбор функции тренда. Результатом предшествующих этапов является построение, как правило, нескольких функций тренда для одного показателя. Выбор "лучшей" функции проводится путем сопоставления значений формальных критериев аппроксимации, процедур оценивания параметров по их сложности, свойств остаточной компоненты, а также возможностей экономической интерпретации и использова­ния той или иной функции в ретроспективном анализе и прогнозировании. Таким образом, данная задача является по своей сути компромиссной, полностью неформализуемой.

При выборе функции тренда важно учитывать, будет ли она использоваться только для ретроспективного анализа или также для прогнозирования (т.е. за границей периода, для которого оценены параметры функции). В первом случае требуется, чтобы функция хорошо сглаживала весь исходный динамический ряд. Если же функция тренда предназна­чается для проведения прогнозов, то предпочтение отдается функции, имеющей лучшие характеристики аппроксимации для последней части динамического ряда. Это объясняется тем, что тенденции развития, скла­дывающиеся в конце ретроспективного периода, оказывают, как правило, наибольшее воздействие на будущее развитие.

Пример построения и анализа трендовых моделей. Рассмотрим задачу построения и выбора трендов произведенного национального дохода СССР за 1975 — 1985 гг., имея в виду их использование не только для анализа прошлых тенденций, но и для прогнозирования.

В табл. 9.5 даются характеристики шести моделей, имеющих достаточно хорошие значения стандартной ошибки сглаживания ( ) и коэффициента детерминации (R²). Заметно хуже они только у экспоненциальной функции, имеющей постоянный темп прироста ( = 0,037). Линейная, линейно-гиперболическая, параболическая и обобщенная экспоненциальная функции отражают примерно постоянный абсолютный прирост и плавное снижение темпов прироста (например, обобщенная экспонента - примерно на 0,1 процентных пункта в год). Логистическая кривая имеет предел роста (а = 978,65). Из функций с четырьмя параметрами выделим параболу третьего порядка с параметрами: а = 374,30, b = 24,78, с=-1,29, d = = 0,07 ( = 4,19, R² =0,9989).

Таблица 9.5

Параметры и основные статистические характеристики функций тренда произведенного национального дохода СССР за 1975-1985 гг..

(в сопоставимых ценах, млрд. руб., = 1960 г.)

 

Функция	а	b	с		R2
Линейная	382,47	18,21	-	7,29	0,9980
Линейно-гиперболическая	387,03	17,76	-6,879	7,52	0,9979
Экспоненциальная	391,51	0,037	—	18,15	0,9950
Парабола	381,99	18,422	-0,0182	7,26	0,9980
Обобщенная экспоненциальная при	383,75	0,047	-0,0008	8,21	0,9978
Логистическая	978,65	1,551	0,0750	10,07	0,9972

Прогнозирование на основе трендовых моделей.Сущность методики экономического прогнозирования с помощью трендов заключается в их временной экстраполяции. При этом исходят из предположения, что выявленная для прошлого периода тенденция сохранится и в будущем, хотя бы ближайшем. Более конкретные условия допустимости и правомерности экстраполяции трендов могут быть сформулированы следующим образом: а) период, для которого построен тренд, достаточен для выявления тенденции развития; б) анализируемый процесс устойчиво динамический (а не скачкообразный) и обладает инерционностью; в) не ожидается сильных внешних воздействий на изучаемый процесс, которые могут серьезно повлиять на тенденцию развития. Важное значение имеет нахождение доверительного интервала прогноза. Расчет доверительного интервала позволяет определить область (интервальный прогноз), в которой с определенной вероятностью следует ожидать прогнозируемую величину.

В 70-х и первой половине 80-х гг., когда в экономическом развитии СССР преобладали инерционные тенденции, кратко- и среднесрочные прогнозы на основе трендовых моделей имели вполне приемлемую точность. Ускорение экономического развития в 1985-1986 гг. сделало невозможным механическое применение трендовых моделей с параметрами, рассчитанными по прошлому динамическому ряду.

Результаты прогноза произведенного национального дохода на 1981-1983 гг. по четырем трендовым моделям, построенным по статистике 1970—1980 гг., приводятся в ДМНХ, с. 29. Фактические значения объема национального дохода находятся внутри доверительных интервалов прогнозов (при доверительной вероятности 95%): 1981 г. - по всем четырем моделям, 1982 г. - по двум моделям (параболе второго порядка и линейно-логарифмической функции второго порядка). Ошибки прогноза за три года находятся в интервале 1,5-3,2%.

Прогноз объема национального дохода на 1986 г. по трендам, приведенным в табл. 9.5, дает следующие результаты: по линейной функции — 600,9 млрд. руб. (в тех же неизменных ценах), по параболе второго порядка - 600,5 млрд., по обобщенной экспоненте с линейной функцией темпа - 598,8 млрд. руб. Фактический же объем национального дохода в 1986 г. составил 608,3 млрд. руб. Эта величина не "попала" даже ни в один доверительный интервал (с вероятностью 95%) прогноза по всем шести функциям.

Прогнозирование с помощью трендов — один из простейших методов статистического прогнозирования. Его использование, безусловно, оправданно при недостаточности знаний о природе изучаемого процесса или отсутствии статистических данных, необходимых для применения более совершенных (и, как правило, более сложных) методов прогнозирования. Экстраполяция по трендам может применяться также как начальный, отправной этап комплексной методики прогнозирования, отвечающий на вопрос о последствиях продолжения прежних тенденций развития. В этом случае экстраполяционный прогноз интерпретируется как один из гипотетических вариантов, с которым сопоставляются другие варианты прогноза, полученные с помощью более совершенных методов.

Сплайн-функции.Одно из важных требований к функции тренда — это ее гладкость. Однако не всегда удается подобрать гладкую функцию с небольшим числом параметров и приемлемой точностью аппроксимации динамического ряда для всего анализируемого временного интервала. В такой ситуации задачу сглаживания динамического ряда можно решить с помощью интерполяционной, или сглаживающей, сплайн-функции, представляющей собой кусочно-гладкую функцию, отдельные куски которой склеены гладким образом.

В качестве кусков сплайн-функции обычно выбираются многочлены (полиномы). Полиномиальным сплайном степени п называется составленная из кусков полиномов степени не выше п непрерывная кусочно-полиномиальная функция, все производные которой до порядка п — 1 включительно непрерывны.

Методику построения и применения сплайн-функций проиллюстри­руем на примере кубического сплайна.

Если ось времени разделяется на k частей: 1,..., k—1, где то на каждом из интервалов сплайн является кубической параболой

,

а на интервале ( ) — кубической параболой

где — коэффициенты разложения сплайна.

Значения соответствующих коэффициентов параболы третьего порядка показывают: - сглаженное значение динамического ряда в точке — абсолютный прирост в точке ; - абсолютное ускорение в точке ; — прирост абсолютного ускорения на интервале .

Применение сплайнов вместо обычных функций тренда эффективно, когда внутри анализируемого периода меняется характер развития. При этом сплайн помогает выделить подпериоды, внутри которых динамика показателя не претерпевает сильных изменений.

Сглаживающий кубический сплайн произведенного национального дохода СССР за 1960-1985 гг. при условии сглаживания имеет пять подпериодов: 1960-1961, 1961-1963, 1963-1968; 1968-1973, 1973-1985 гг. (см. табл. 9.6).

До 1968 г. динамика национального дохода СССР характеризовалась положи­тельным и увеличивающимся абсолютным приростом.

Таблица 9.6

Параметры сглаживающего кубического сплайна произведенного национального дохода СССР за 1960—1985 гг.

(в млрд. руб.)

k	tk	a0k	a1k	a2k	a3k
		158,76	10,37	-0,00	0,85
		180,64	12,08	1,71	-0,20
		258,13	18,06	0,69	-0,14
		354,17	19,78	0,00	0,00

 

В подпериоде 1968—1973 гг. преобладала тенденция к уменьшению абсолютного ускорения (за эти годы абсолютный прирост увеличился всего на 1,7 млрд. руб.). Наконец, самый длинный под-период (с 1973 г.) - когда абсолютный прирост национального дохода в среднем стабилизировался.

Сплайн может соединять как куски одинаковых функций, различающихся только значениями параметров, так и разные виды функций. С помощью сплайнов удобно "восстанавливать" отсутствующие (из-за пробелов в статистике) элементы динамического ряда. Для прогнозирования проще всего использовать последний кусок сплайн-функции. И в этом случае использование сплайна предпочтительнее простой экстраполяции по трендовой модели, построенной по информации последней части ретроспективного периода, поскольку при оценке последнего куска сплайна улавливается переход от более раннего этапа развития к "современному" этапу.

 

[1] Аналогичную классификацию можно построить для динамики с систематическим снижением абсолютного прироста.