Псевдокері Мур – Пенроуз матрицасыны бар болуы жне жалыздыы

(6)

матрицалы тедеуді арастырайы.

Егер ерекше емес квадрат матрица болса, онда бл тедеуді жалыз шешімі болады: . Егер де кез келген -лшемді тікбрышты матрица болса, онда ізделінді шешіміні лшемі болады, алайда бірмнді аныталмайды. Жалпы жадайда (6) тедеуді шектеусіз шешімдер жиыны болады.

Анытама 2. матрицасы псевдокері немесе матрицасы шін Мур-Пенроузды жалпыланан кері матрицасы деп аталады, егер тмендегі шарттар орындалса:

(7)

(8)

Мндаы , -андай да бір матрицалар.

(8) шарт матрицасыны жолы (бааны) матрицаны жолыны (бааныны) сызыты комбинациясы болатындыын білдіреді.

Лемма 5. Кез келген матрицасы шін келесі тедік орындалады:

(9)

Длелдеуі. Біріншіден, боландытан, онда матрицаларды кбейту ережесі бойынша мен матрицаларыны диагональды элементтері те болатындыын оай тексеруге болады.

(10)

Онда матрицаны ізіні анытамасынан (10) ескеріп мынаны аламыз:

Бдан (9) дрыс болатындыы шыады.

Салдар 1. матрицасы шін кез келген тедіктерінен болатындыы шыады.

Теорема 1. Кез келген матрицасы шін Мур – Пенроузды псевдокері матрицасы бар, жалыз болады жне келесі формуламен рнектеледі:

(12)

мндаы жне - матрицасыны (1) скелеттік жіктелуіні компоненттері.

Длелдеуі. матрицасыны бар болуын длелдейік. Егер болса, онда деп ояйы. Айталы, болсын. (1) жіктеуді арастырайы жне алдымен іздейік. Псевдокері матрицаны анытамасынан мынаны аламыз:

Соы тедікті сол жаынан -а кбейтіп, мынаны аламыз:

Енді соы тедікті о жаынан -а кбейтіп, мынаны аламыз:

Дл осылай

аламыз.

(12) матрицаны арастырайы жне ол (7), (8) шарттарды анааттандыратындыын крсетейік, яни псевдокері болатыдыын.

Белгілеу енгізейік:

Онда (1) жне (12) олданып мынаны аламыз:

Мндаы

Енді берілген матрицасы шін екі ртрлі жне псевдокері матрицаны болмайтындыын длелдейік. Расында да:

бдан

Белгілеу егізейік

(13)

Онда келесі тедіктер орындалады:

Ал бдан

бл (13) сйкес мынаан тепе – те

Осылайша, псевдокері матрицаны жалыз болатындыы, жне 1-теорема да длелденді.

1-теорема псевдокері матрицаны матрицасын скелеттік жіктеу бойынша есептеу дісін береді.

Мысалы 2. (Псевдокері матрица). 1-мысалдаы матрицасы шін оны 1-мысалда олданылан скелеттік жіктеуін жне (12) олданып, псевдокері матрицасын табайы.

Біз рбір матрицасы шін жалыз ана Мур-Пенроузды псевдокері матрицасы болатындыын длелдедік, жне де егер матрицасы зіні (1) скелеттік жіктелуімен берілсе , онда (6) трге ие болады.