Тедікте квадрат жашаны ішінде тран
(28)
матрицасыны
(29)
тріндегі айын максималды рангты нлдік блгіші болады, яни
(30)
блар канонды деп аталады.
Тікелей есептеулер жргізу арылы (26) матрицаны о жа нлдік блгіші мына трге ие болады:
(31)
ал (26) А матрицасыны сол жа нлдік блгіші
(32)
тріне ие болады.
Осылайша берілген тік брышты матрицаны нлдік блгіштерін табу шін (26) бойынша 
базистерді трлендіру матрицасын рса жеткілікті, ал содан кейін (31) жне/немесе (32) формулалар бойынша нлдік блгіштерді ру керек.
Мысал 7. (канонды матрицаны нлдік блгіштері). 6-мысалдаы 
матрицасыны рылымына сйкес (27) тедікті о жаында (бір нлдік жол жне екі нлдік баан) 5-мысалдаы 
матрицасы екі нлдік блгіші болады. Оларды канонды трі мынадай:
Бдан рі (31) жне (32) формулалары бойынша о жа жне сол жа нлдік блгіштерді аламыз:
(33)
нлдік блгіші алдында крсетілген бааннан тратынын ескере кетейік. (5 мысал)
(25) тріндегі формулалар бойынша алынан матрицаларды кез келген матрицаа кбейтіндісі эквивалентті нлдік блгіштер жиынын рады:
жне 
трлендіру базистеріні матрицаларын ру шін матрицаларды элементар трлендіруге негізделген екі дісті олдануа болады.
Матрицаны жолына (баанына) кез келген элементар трлендіру жргізу бл матрицаны сол жаынан (о жаынан) элементар деп аталатын андай да бір P(Q) матрицасына кбейтумен тепе – те.
Элементар трлендіру матрицалары бірлік матрицадан алынады, егер оан сйкес элементар трлендіру жргізсе.
Сол жа жне о жа элементар амалдарды жне сйкес матрицаларды символды белгілейік:
сол жа амалдар:
1. матрицаны 
-ші жолын нлден згеше 
санына кбейту: 
;
2. матрицаны -ші жолына нлден згеше санына кбейтілген 
-шы жолын осу: 
;
3. -ші жне -шы жолдарыны орнын ауыстыру: 
;
о жа амалдар:
1. Матрицаны -ші баанын нлден згеше санына кбейту: 
;
2. Матрицаны матрицаны -ші баанына нлден згеше санына кбейтілген -шы баанына осу: 
;
3. Матрицаны -ші жне -шы баандарыны орнын ауыстыру: 
.
Бірінші діс 
элементар матрицалар арылы эквивалентті трлендіру матрицаларын растыру.
А матрицасыны жол жне баандарына элементар трлендіру жргізгенде матрицалы жазылуы мына трге ие болады:
(34)
Мысал 8. (нлдік блгіштерді растыруды бірінші дісі). (21) матрицаа кез келген дрыс элементар трлендіру тізбегін олданып канонды базиске келтіреміз (сонымен атар элементар амалдара символды белгілеулерді олданамыз)
олданылан элементар трлендіруді наты варианттары мен тізбегі соы нтижеге еш сер етпейді.
рбір элементар трлендіруге сйкес элементар трлендіру матрицасын сйкес ойып, жолдара орындалан элементар амалдарды оларды ретін сатай отырып, матрицалы трде жазып жне оларды бір – біріне кбейтеміз. Нтижесінде 
координатыны трлендіру матрицасын аламыз:
Матрицаны баандарына да осындай элементар трлендіру жргізіп, 
координатыны трлендіру матрицасын аламыз:
Координаттарды трлендіру матрицасыны екеуі де жалыз еместік асиетіні негізінде алдыы жазылан варианттардан згеше болады. (6-мысал). Сонымен оса, оларды (31) жне (32) формулаларда олдану (33) нлдік блгіштерді сол мнін береді.
рбір элементар матрица элементар трлендірулер жргізгеннен кейін бірлік матрицадан алынандытан, онда 
трлендіру матрицаларын сондай-а келесі трде руа болады: А матрицасын 
тріне келтіретін бірнеше элементар трлендірулерді тауып, 
бірлік марицаны жолдарына элементар трлендіруді сол ретпен жргізіп, ал баандара жргізілетін барлы элементар трлендірулерді дл сол ретпен 
бірлік матрицасына олдану. Бл трлендірулерді келесі схемаларды олданып жргізу ыайлы.
Екінші діс. Нлді блгіші аныталатын матрица сол жаынан жне астынан бірлік матрицамен толырылады, сонда мынадай конструкция алынады:
(35)
Бл формальді трде матрица болып табылмайды, ал оны трі ашылан планшетке сас.
Енді А матрицасыны жолдары мен баандарына, сонымен атар оан осылан бірлік матрицалара элементар трлендіру олданайы. Трлендіруді масаты А матрицасын канонды базис трінде жазылуа келу. Трлендіруді нтижесінде мынадай конструкция алынады:
(36)
мндаы
(37)
Сонымен атар, матрицасыны нлдік блоктарына арсы алашы бірлік матрицаны блоктары максималды рангты нлдік блгіштен трады. матрицасыны сол жаында сол жа блгіш ал асында – о жа блгіш орналасан:
(38)
(38) о жа жоары брышында тран матрицасында нлдік жолды немесе нлдік баанны болмауы, А матрицасында сол немесе о жа нлдік блгіш жо дегенді білдіреді.
Мысал 9. (Нлдік блгішті руды екінші дісі (планшет)). арасырылан (21) мысал шін (35) конструкция мына трге ие болады:
Бл планшетті жолдары мен баандарына элементар трлендіру жргізу нтижесінде мынаны аламыз:
(39)
Мнда алдында (21) матрица шін аныталан максималды рангты нлдік блгішке те блоктар белгіленген.
Матрицаларды канондау
(28) тедікті (37) ескері п блоктар бойынша жазайы:
Анытама 4. Рангы r –а те о жаынан жне сол жаынан тмендегі формула бойынша біруаытта кбейтілген, рангы r –а те А матрицасын 
бірлік матрицасына келетін , 
жне 
тік брышты матрицаларын сйкесінше сол жа жне о жа канонизаторы деп атаймыз:
(40)
Сол жа жне о жа канонизаторлар жол жне баанны сйкесінше барлы сызыты туелсіз комбинациясын сипаттайды.
(24) асиетке сйкес нлдік блгіштерді тапанда канонизаорларды райсысы сйкес канонизаторлар жиыныны элементі болып табылады, яни
мндаы 
- кез келген элементтері бар ажетті лшемді матрицалар.
Мысал 10. (сан матрицасыны канонизаторы). (39) олданып жне сйкес есептеулерді орындап, арастырылып отыран (21) марица шін (40) тедікті анааттандыратындыына кз жеткізуге болады, яни
Анытама 5. 
лшемді жне рангы r –а те тік брышты А матрицасыны жинатылы канонизаторы деп А матрицасыны о жа жне сол жа канонизаторыны кбейтіндісіне те 
лшемді матрицаны айтады:
(42)
Жинатылы канонизатор жолдар мен баандар жиынтыыны барлы сызыы туелсіз комбинациясын сипаттайды.
Мысал 11. (Санды матрицаны сводный канонизаторы). 5-мысалдаы (21) матрица шін сводный канонизатор (39), (42) –ге сйкес мына трге ие болады:
.
Осылайша, кез келген А матрицасына жалпы жадайда, рамында максималды рангты 
сол жа жне 
о жа нлдік блгіштер жне сондай-а 
сводный канонизатор болатын, жалыз емес матрицалар штігін, яни
(43)
жне (ажет болан жадайда) матрицалар трттігін
(44)
сйкес оюа болады.
Кез келген матрицаны блай берілуін матрицаны канондау деп атаймыз.
Дріс 15,16
ТЙІНДЕС БЕЙНЕЛЕУ