Тйіндес кеістікті базисі

Анытама 3. векторы жне ковекторы бір-біріне ортогональ деп аталады, егер болса.

Айталы, кеістігінде базисі берілсін. векторыны Е базисі бойынша (2) – жіктелуіндегі векторыны -шы координатын арастырайы. (2) жіктелуді бірмнділігінен кеістігінен бір бекітілген базисті тадап аланда координаты – бл сан, векторымен бірмнді аныталады.

(8)

формуласымен аныталатын бейнелеуін арастырайы.

Векторларды осанда оларды координаты Е базисінде осылады, ал векторды сана кбейткенде, оны координаттары осы сана кбейтіледі. Бдан жоарыда аныталан бейнелеу сызыты болады: Ендеше, кеістігінде рбір базисін тадау кеістігінен алынан андай да бір функционалдар жиынтыымен байланысады. функционалдары базисіні координатты функционалдары деп атайды. Олар шін

(9)

(9) атынасты биортогональды атынасы деп, ал (9) атынасты анаатандыратын жне векторлар жйесі биортогональды деп аталады, жне деп белгіленеді.

Теорема 1. координатты функционалдары сызыты туелсіз жне кеістігінде базис райды.

Длелдеу. базисінде нлге те координатты функционалдарды сызыты комбинациясын арастырайы:

(10)

(10) сол жа блігі нлдік функционал болып табылады. Ендеше, оны мні базистік векторында нлге те:

(11)

осылыштан тратын (9) биортогональды атынасты негізінде (11) сол жа блігінде тек ана -ші осылыш ана алады, сонымен атар . Сондытан да, (11)-ден болады. кез келген боландытан, енді (10) сызыты комбинацияны тривиальдыы жне координатты функционалдарды сызыты туелсіздігі шыады.

Теореманы длелдеуді аятау шін кез келген функционалы координатты функционалды сызыты комбинациясына жіктелуі ммкін.

кеістігінен кез келген векторын арастырайы. Онда (3) жіктеуден векторында функционалыны мні шін (8) ескеріп мынаны аламыз:

(12)

Мнда – тан алынан сандар жиынтыы. векторы кез келген боландытан алынан тедікті функционалдар тедігі ретінде жазуа болады:

(13)

(13) формула кез келген функционалын координатты функционалдарды сызыты комбинациясына жіктелуі болып табылады. Мндай сызыты комбинацияны коэффициенттері базистік векторында функционалыны мніне те болады.

Салдар 1. кеістігіні кез келген Е базисі шін кеістігіне тиісті, болатындай жалыз ана базисі бар болады.

Анытама 4. кеістігінде базисіні координатты функционалдарынан ралан базисі Е шін тйіндес базис деп аталады.

Мысал 1. (Биортогональды базистер). кеістігін жне оны базисін арастырайы:

болатындай базисін табайы.

Кез келген сызыты функциясы

ережесі бойынша векторына рекет етеді. (9) биортогональды атынасын олданып, ізделінді функциялар шін белгісіз параметрлерін анытайы. функциясы шін бл шарт мына трге ие болады:

Дл осылай функциясы шін бл шарт мына трге ие болады:

Бл тедеулер жйесін шешейік:

Табылан парметрлермен ізделінді функцияларды жазайы:

Осылайша, ізделінді базис

скаляр кбейтіндіні мні биортогональды базисте баса базистерге араанда жеіл есептелетіндігін крсетейік.

Айталы жне – сйкесінше жне кеістіктеріндегі екі кез келген базис болсын. Е базисіндегі жіктелуі (2) трге ие болатын векторыны скаляр кбейтіндісін жне базисі бойынша жіктелген ковекторын арастырайы:

(14)

скаляр кбейтіндіні базисіндегі ковекторды жне Е базисінде векторыны координаты арылы рнектейік:

(15)

Егер жне базистері биортогональ болса, яни , онда (9) биортогональды атынасыны негізінде (15) тедік ышамдалып мына трге ие болады:

Осылайша,биортогональ базисте скаляр кбейтіндіні мні оай есептеледі.

Биортогональ базисте векторды жне ковекторды координаттарын анытайтын рнекті табайы. Ол шін мынаны есептейік:

Ендеше,

(16)

Ары арай мынадай есептеу жргізейік:

Онда,

(17)

Мысал 2. (векторды жне ковекторды координаттары). Е базисінде 1-мысалдаы векторыны координатын биортогональ базисін олданып анытайы. (16) сйкес мынаны аламыз:

1-мысалдаы базисінде ковекторды координатын Е биортогональ базисін олданып анытайы. (17) сйкес мынаны аламыз: