Нахождение уравнений регрессии для других элементарных функций
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
1. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Пусть в результате экспериментов (например, измерений) найдены значений аргумента
и
соответствующих им значений функции
:
Таблица 1
![]() | ![]() | ![]() | ... | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ... | ![]() |
Найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически и принимающую значения, близкие к табличным.
Одним из распространенных методов нахождения приближающей аналитической функции является метод наименьших квадратов, который формулируется следующим образом: для функции , заданной таблицей, найти функцию
определенного вида, такую, чтобы сумма квадратов расстояний между точками
и
была наименьшей:
(1.1)
Уравнение называется уравнением регрессии
на
.
На рис. 1 показана приближающая функция для заданных табличных значений (они изображены точками). Из рисунка видно, что приближающая функция представляет гладкую кривую
Рассмотрим метод нахождения приближающей функции на примере приближающей функции с параметрами:
(1.2)
Пусть ,
. Сумма квадратов разностей соответствующих значений функций
и
имеет вид
(1.3)
Эта сумма является функцией от параметров Задача сводится к отысканию минимума функции
. Используем условие экстремума:
,
, …,
,
или
(1.4)
………………………………………………………
Решив эту систему уравнений относительно неизвестных
, найдем функцию
.
Значения разностей
(1.5)
называются отклонениями экспериментальных значений от вычисленных по формуле (1.2). Для найденной приближающей функции сумма квадратов отклонений
(1.6)
в соответствии с принципом наименьших квадратов должна быть наименьшей.
Формулы для функции с параметрами будем использовать для приближающих функций, содержащих два и три параметра.
Приближающие функции с двумя параметрами
В качестве приближающих функций в зависимости от характера экспериментальных данных часто используют следующие функции:
1) 5)
2) 6)
3) 7)
4) 8)
Линейная и квадратичная регрессия
Рассмотрим линейную регрессию
(2.1)
Найдем частные производные по параметрам
,
Составим систему уравнений вида (1.4)
,
После алгебраических преобразований перепишем систему в виде
Введем обозначения
,
,
(2.2)
,
Тогда последняя система примет вид
(2.3)
Найдем параметры и
, решив систему уравнений (2.3)
(2.4)
Нахождение уравнений регрессии для других элементарных функций
Степенная функция (геометрическая регрессия)
(2.5)
Полагая, что и
, прологарифмируем формулу (2.5)
(2.6)
Введем новую функцию , новую переменную
и новые постоянные
и
,
(2.7)
,
(2.8)
Введенная функцию запишется в виде:
(2.9)
т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной.
Для нахождения степенной приближающей функции следует
1) пересчитать исходную таблицу и
в новую таблицу значений
и
по формулам,
2) для новой таблицы значений и
найти постоянные
и
,
3) после определения постоянных и
(см. п.1.1) , найдем постоянные
и
по формулам
,
(2.10)
Показательная функция
(2.11)
Логарифмируя показательную функцию (2.11), получим
(2.12)
Приняв обозначения ,
, перепишем (2.12) в виде
(2. 13)
где , а
и
определяются по формулам
,
.
Для нахождения показательной приближающей функции следует
1) заменить в исходной таблице ,
значения
на
,
2) для новой таблицы значений и
найти постоянные
и
,
3) после определения постоянных и
(см. п.1.1) , найдем постоянные
и
по формулам
,
.
Дробно-линейная функция
(2.14)
Введем новую приближающую функцию по формуле
,
(2.15)
Из последнего равенства видно, что для нахождения параметров и
по заданной таблице 1 следует составить новую таблицу, у которой значения аргумента оставить прежними, а значения функции заменить обратными числами, после чего для полученной таблицы найти приближенную функцию
. Найденные значения параметров
и
подставить в формулу функции (2.14).
Логарифмическая функция
(2.16)
Очевидно, что для перехода к линейной функции следует сделать замену аргумента по формуле
(2.17)
Новая приближающая функция примет вид
(2.18)
Из формул (2.16), (2.17) видно, что для нахождения значений и
нужно составить новую таблицу, в которой значения аргумента определяются по формулам (2.17) путем логарифмирования заданных
, а значения функции те же, что в исходной таблице. Для линейной функции (2.18) описанным ранее способом найдем коэффициенты
и
, затем подставим их в искомую формулу (2.16).
Гипербола
(2.19)
Для перехода к линейной функции сделаем замену переменной
(2.20)
Новая приближающая функция запишется в виде
Для нахождения функции (2.19) следует вычислить значения нового аргумента по формулам (2.20) и найти для новой таблицы линейную приближающую функцию. Полученные значения
и
подставим в искомую формулу (2.19).