Элементы теории статистических игр
Комплекс внешних обстоятельств, при которых приходится принимать решение, называют «природа».
Игрока (группу лиц) называют статистиком, а игры, в которых одним участником является человек (игрок А), а другим – природа (игрок П), называют статистическими.
Статистик может использовать несколько стратегий А1, …, Аm.
Природа П также обладает множеством стратегий П1, …, Пn.
Под стратегией природы понимают полную совокупность внешних условий (или состояние природы), в которых статистику приходится выбирать свою стратегию.
Из прежнего опыта статистику обычно известны возможные состояния природы, а иногда и вероятности, с которыми природа их реализует.
Эти вероятности называют априорными.
Статистик может уточнить свои знания о состояниях Пj природы и вероятности qj их реализации путём проведения экспериментов.
Вероятности, установленные таким образом, называют апостериорными.
В своих взаимоотношениях с природой статистик может пользоваться как чистыми стратегиями Ai, так и смешанными стратегиями
р = (р1; …; рm),
где pi 0; i = 1, …, m;
Если он имеет возможность оценить последствия применения каждой своей чистой стратегии Ai, в зависимости от любого состояния Пj природы, т.е. если ему известен численный результат aij для каждой допустимой комбинации (Ai; Пj), то статистическую игру можно задать платёжной матрицей (табл. 5).
Таблица 5
Ai | Пj | рi | ||
П1 | … | Пn | ||
А1 … Аm | а11 … аm1 | … … … | а1n … аmn | р1 … рm |
j | 1 | … | n |
Пример.
За некоторый период времени на предприятии потребление исходного сырья S в зависимости от его качества составляет 10-12 единиц. Если для выпуска запланированного объёма основной продукции сырья S окажется недостаточно, то запас его можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в размере 5 единиц в расчёте на единицу сырья. Если же запас сырья превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатков составят 2 единицы в расчёте на единицу сырья. Придать описанной производственной ситуации игровую схему и составить платёжную матрицу игры.
Решение.
В качестве статистика (игрок А) выступает администрация предприятия, которая может заказать 10, 11 или 12 единиц сырья (стратегии А1, А2, А3).
Вторым игроком (природой П) будем считать фактический расход сырья в процессе производства, зависящий от качества сырья и составляющий 10, 11 или 12 единиц (состояния П1, П2, П3).
Элементы aij матрицы игры (табл. 6) будут характеризовать дополнительные затраты, вызванные доставкой сырья в случае недостачи или хранения его избытка.
Таблица 6
Ai | Пj | i = min aij | ||
П1(10) | П2(10) | П3(12) | ||
А1(10) А2(11) А3(12) | -2 -4 | -5 -2 | -10 -5 | -10 -5 -4 |
j = max aij |
Так в ситуации (A2; П1) придется хранить 11 - 10 = 1 единицу сырья, что вызовет затраты, равные двум единицам, а в ситуации (A1; П3) необходимо дополнительно приобрести 12 - 10 = 2 единицы сырья, и это сопряжено с дополнительными затратами , составляющими 5 * 2 = 10 единиц.