Свойства функции распределения
1. Значения функции распределения лежат между нулем и единицей, т.е.
.
Это свойство непосредственно следует из формулы (5.2) и свойства вероятности случайного события.
2. Функция F(x) является неубывающей функцией, т.е. для любых х1< х2 выполнено неравенство F(x1) F(x2).
Доказательство. Найдем F(x2):
,
т.к. второе слагаемое, как вероятность - неотрицательно, то F(x2) F(x1).
Свойство доказано.
3. Вероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал [а, b) равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах рассматриваемого полуинтервала, т.е.
(5.3)
Доказательство следует из доказательства свойства 2. В нем была получена формула
.
Положив х1=а и х2=b, получим 
. Перенеся значение F(a) в другую часть равенства, получим формулу (5.3).
Свойство доказано.
4. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то выполнены соотношения: F(x)=0 при ха и F(x)=1 при хb.
Доказательство. Пусть х1а. Тогда событие Х<x1 невозможно, так как по условию нет значений случайной величины, меньших х1. Следовательно, вероятность этого события равна нулю.
Пусть теперь х2b. Тогда событие Х<x2 достоверно, так как по условию все значения случайной величины меньше х2. Следовательно, вероятность этого события равна 1.
Свойство доказано.
Из последнего свойства вытекает утверждение.
Утверждение. Для функции распределения непрерывной случайной величины справедливы следующие предельные соотношения:
.
5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-нибудь одно конкретное значение, равна нулю, т.е. для непрерывной случайной величины Х выполнено Р(Х=а)=0.
Доказательство. Положим в формуле (5.3): b = а + h. Тогда
.
Перейдя в последнем равенстве к пределу при h0, получим
.
Свойство доказано.
Итак, для непрерывной случайной величины не имеет смысла говорить о вероятности ее отдельного значения (она все равно равна нулю), а имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее значений в некий интервал. Этот факт полностью согласуется с решением практических задач. Например, при изготовлении детали рабочий не стремится к тому, чтобы определенный размер был абсолютно точен (практически это невозможно), но он следит за тем, чтобы размер не вышел за пределы допуска.
Используя свойство 5 для непрерывной случайной величины, можно доказать справедливость следующих формул:
.
Докажем, например, первую. Для этого применим теорему сложения вероятностей, получим
.
Таким образом, формула (5.3) для непрерывной случайной величины может быть записана в следующем виде
(5.4)
Рассмотрим более конкретно построение функции распределения для дискретной случайной величины.