Возможные и действительные перемещения. Обобщенные координаты. Идеальные связи.

Лекция №8. Элементы аналитической статики.

Связи. Уравнения связей. Классификация связей.

Тело называется свободным, если его перемещения ничем не ограничены.

Тело, перемещения которого ограничены другими телами, называются несвободным.

Тела, ограничивающие перемещения другого тела, называются связью.

Уравнение линии или поверхности, по которым совершает движение точка, называется уравнением связи.

Если точка вынуждена оставаться в некоторой области пространства, то связь аналитически задается в виде неравенств.

Для плоского движения уравнение связи имеет вид

. (8.1)

Например, если точка движется по параболе , то уравнение связи .

При движении по поверхности уравнение связи имеет вид

. (8.2)

Например, при движении точки по поверхности шара

Если шар, закрепленный в некоторой точке с помощью гибкой нерастяжимой нити, вращается вокруг этой точки, то он имеет возможность совершать движение и внутри сферы. В этом случае связь задается неравенством

Таким образом, если какая-либо поверхность, определяемая уравнением , ограничивает область движения точки, то вместо уравнений движения следует взять одно из неравенств:

или (8.3)

Связь называется удерживающей, если она задается в виде равенства (8.1), (8.2). Связи, которые задаются в виде неравенств (8.3) называются неудерживающими.

Если связь со временем не изменяется, т.е. время явно в уравнения связи не входит, то связь называется стационарной.

Если же связь изменяется со временем, то связь называется нестационарной.

(8.4)

Например, если длина стержня, на которой закреплен шар изменяется по закону , то уравнение такой связи будет иметь вид

.

Связи, налагающие ограничения на положения (координаты) точек, называются геометрическими, а связи, налагающие ограничения на скорости, называются кинематическими или дифференциальными.

Если дифференциальную связь можно представить как геометрическую, т.е. если зависимость между скоростями можно свести к зависимости между координатами, то такая связь называется интегрируемой, в противном случае – неинтегрируемой.

Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи называются голономными, а неинтегрируемые дифференциальные связи - неголономными.

- голономная, стационарная, удерживающая связь.

- неголономная, нестационарная, удерживающая.

Например, если тело движется по параболе, то для того, чтобы оно не «отрывалось» от линии, оно должно удовлетворять уравнению

.

Возможные и действительные перемещения. Обобщенные координаты. Идеальные связи.

Возможным перемещением механической системы будем называть любую совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями.

Действительным перемещением называется перемещение, которое совершает точка за элементарный промежуток времени. (В отличие от виртуального, при котором точка не совершает перемещение, а только могла бы совершить.)

Число независимых между собой возможных перемещений называется числом степеней свободы.

Обобщенными координатами называются независимые координат, однозначно определяющие положение механической системы.

У механической системы с геометрическими связями число обобщенных координат совпадает с числом ее степеней свободы.

Связи называются идеальными, если сумма работ всех реакций связей на любом виртуальном (возможном) перемещении системы равна нулю.

Обозначим через равнодействующую всех реакций связей, приложенных к точке с номером . Тогда условие идеальности связи будет иметь вид:

(8.5)

Для одной материальной точки и одной связи условие (5) упрощается:

т.е. реакция идеальной связи перпендикулярна к любому возможному перемещению точки и, следовательно, она направлена по нормали к поверхности связи . Это означает, что при идеальной связи точка движется по поверхности без трения. Этот вывод остается справедливым и при движении точки по линии.

Примеры идеальных связей:

1. Связь - жесткая неизменяемая система

Такая связь реализуется в абсолютно твердом теле, жестких, недеформируемых стержнях.

Рассмотрим две материальные точки, связанные жестким невесомым и нерастяжимым стержнем. Покажем, что такая связь идеальная.

Рис. 8.1

Реакции стержня на материальные точки направлены по стержню: .

Условие нерастяжимости стержня:

, ( )

Варьируя это уравнение связи, получим:

Т.е. векторы и перпендикулярны.

Найдем сумму работ реакций связей на виртуальных перемещениях точек

Т.е. векторы и перпендикулярны, следовательно, связь идеальная.

Свойство возможных перемещений точек твердого тела.

Проекции возможных перемещений точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны:

Т.к. , то , а, следовательно, .

2. Связь – шарнир без трения.

Пусть рычаг укреплен шарнирно в неподвижной точке. При отсутствии трения виртуальная работа . Т.к. точка неподвижна, то , а ,следовательно, и связь идеальная.

3. Связь при качении без скольжения

Пусть по абсолютно твердой поверхности катится без скольжения абсолютно твердое тело. Т.к. оба тела твердые, то трение качения отсутствует и возможное перемещение точки равно 0. А значит, , т.е. связь идеальная.