Задания к контрольной работе и методические указания по ее выполнению по дисциплине «Теория игр» для студентов направления 080100

Номер варианта определяется по последней цифре в зачетке.

Задание I. Найти нижнюю и верхнюю цену игры, заданной матрицей. Определить, имеет ли игра седловую точку. Найти оптимальные чистые стратегии и цену игры.

 

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

 

Указания к решению задач

Задание I. Найти нижнюю и верхнюю цену игры, заданной матрицей. Определить, имеет ли игра седловую точку. Найти оптимальные чистые стратегии и цену игры.

 

Минимальные значения в строках матрицы равны соответственно: , , . Максимальное значение из этих чисел равно . Следовательно, - нижняя цена игры. Максимальные значения в столбцах матрицы равны: , , , . Минимальное из них: , т.е. - верхняя цена игры. Таким образом, - чистая цена игры. Игра имеет седловую точку , следовательно для игрока - оптимальной стратегией будет стратегия , а для игрока стратегия .

 

Задание II. Найти решение игры, заданной платёжной матрицей:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

 

Указания к решению задач

Задание II. Найти решение игры, заданной платёжной матрицей:

Легко проверить, что седловая точка игры отсутствует, поэтому задача должна решаться в смешанных стратегиях.

Действительно, нижняя цена игры , верхняя цена игры , .

Для определения оптимальных стратегий игрока и игрока составим две взаимно-двойственных задачи линейного программирования:

 

 

Задача 1.

,

Задача 2.

,

Задача для игрока решается симплексным методом, оптимальное значение достигается при базисном решении .

Задача для игрока решается двойственным симплекс-методом, оптимальное значение достигается при базисном решении . Её решение достигается при оптимальном базисном решении .

Цена игры .

Оптимальная стратегия ,

, , .

Оптимальная стратегия определяется аналогично .

 

Задание III. Решить матричную игру итерационным методом:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Указания к решению задач

Задание III. Решить матричную игру итерационным методом:

Пусть игра задана матрицей . Минимальные значения в строках матрицы равны соответственно: , . Максимальное значение из этих чисел равно . Следовательно,
- нижняя цена игры. Максимальные значения в столбцах матрицы равны: , , . Минимальное из них: , т.е. - верхняя цена игры. Седловой точки нет.

Предположим, что игрок начинает стратегией - ; игрок выбирает стратегию так, чтобы выигрыш был минимален. Ход игрока - стратегия - .

Игрок выбирает свою стратегию так, чтобы его выигрыш (при стратегии игрока ) был максимален. Ход игрока - стратегия - ; игрок выбирает стратегию так, чтобы суммарный выигрыш игрока при стратегиях и , был минимален. Ход игрока - стратегия - .

Игрок выбирает свою стратегию так, чтобы его суммарный выигрыш при стратегиях и игрока , , был максимален. Ход игрока - стратегия
- . Игрок выбирает свою стратегию так, чтобы суммарный выигрыш игрока при стратегиях , и , , был минимален. Ход игрока - стратегия - и т.д.

Разобьём последовательные ходы игроков и на пары , и запишем результаты в таблице, требующей пояснений:

 

					0,00				3,00	1,50
					0,00				1,50	0,75
					1,00				1,00	1,00
					0,75				1,50	1,12
					0,60				1,20	0,90
					1,00				1,00	1,00
					0,86				1,44	1,15
					0,75				1,13	0,93
					1,00				1,00	1,00
					0,90				1,20	1,05
					0,82				1,09	0,96
					1,00				1,00	1,00
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Описание таблицы

1-й столбец номер шага (пары последовательных ходов игроков и ,

2-й столбец номер стратегии, выбранной игроком ,

3-й столбец «накопленный» суммарный выигрыш игрока

минимальный из этих выигрышей выделяется полужирным шрифтом,

за первые шагов при выборе игроком

стратегии ,

4-й столбец «накопленный» суммарный выигрыш игрока

за первые шагов при выборе игроком

стратегии ,

5-й столбец «накопленный» суммарный выигрыш игрока

за первые шагов при выборе игроком

стратегии ,

6-й столбец минимальный средний выигрыш игрока , равный минимальному

накопленному им выигрышу за первые шагов, деленному на число

этих шагов,

максимальный из этих выигрышей выделяется полужирным шрифтом,

7-й столбец номер стратегии, выбранной игроком ,

8-й столбец «накопленный» суммарный выигрыш игрока

за первые шагов при выборе игроком

стратегии ,

9-й столбец «накопленный» суммарный выигрыш игрока

за первые шагов при выборе игроком

стратегии ,

10-й столбец максимальный средний выигрыш игрока , равный максимальному

накопленному им выигрышу за первые шагов, деленному на число

этих шагов,

11-й столбец среднее арифметическое минимального среднего выигрыша и

максимального среднего выигрыша игрока .

 

Решение игры определяется приближенно по окончании любого из шагов.

Например, за приближенную цену игры можно взять среднее арифметическое , полученное на -м шаге. Смешанные стратегии противников определяются частотами появления чистых стратегий.

После девятого шага имеем . При этом игрок - раз использовал стратегию и раза стратегию . В свою очередь игрок - раз применял стратегию и и раза стратегию , а стратегией не пользовался вообще. Отсюда получаем, что:

,

Соответственно, после 10-го шага получаем

, ,

Задание 4. Двусторонняя игра задана платежной матрицей Q.

а) Упростите матрицу Q, исключив доминируемые стратегии игрока А (строки) и доминируемые стратегии игрока В (столб­цы), приведя ее к виду Q'.

б) Найдите нижнюю и верхнюю цены игры. Решается ли данная игра в «чистых» стратегиях? Если не решается, то най­дите оптимальные смешанные стратегии игроков.

в) Считая, что игроком В является природа, составьте по упрощенной матрице Q' матрицу рисков R' игрока А и найдите его оптимальную стратегию по правилу Сэвиджа (минимально­го риска) и по критерию Лапласа (равновозможных состояний).

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

 

Список литературы

 

Основная литература

1. Исследование операций в экономике. под ред. Н.Ш. Кремера. М.: Юрайт, 2012
2. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. Г.П. Фомин. М: Инфра-М, 2009
3. Исследование операций. Задачи, примеры, методология, Е.С. Вентцель, Высшая школа, 2008
4. Математические методы в программировании. В.П. Агальцов, И.В. Волдайская М.: ИД Форум-Инфра-М, 2006
5. Экономико-математические методы и модели в логистике. Процедуры оптимизации. Г.Л. Бродецкий, Д.А. Гусев. М.: Академия, 2012

Дополнительная литература