Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

Пример 1.

Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм³ воды, и массу m₁молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекулы.

Дано:	Решение: Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой m , равно произведению постоянной Авогадро N_А на количество вещества v: . Так как v = m/M, где М - молярная масса, то .
N, m₁, d - ?

Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим:

Произведем вычисления, учитывая, что для воды :

Массу m₁ одной молекулы можно найти по формуле

(1)

Подставив в (1) значения М и N_A , найдем массу молекулы воды:

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубической ячейки) V₁ = d³ ,где d – диаметр молекулы. Отсюда

. (2)

Объем V₁ найдем, разделив молярный объем V_m на число молекул в моле, т.е. на N_A:

(3)

Подставим выражение (3) и (2):

где . Тогда (4)

Проверим, дает ли правая часть выражения (4) единицу длины:

Произведем вычисления:

Пример 2.

В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением р₁= 1 МПа и при температуре Т₁ = 300 К. После того как из баллона было взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т₂= 290 К. Определить давление р₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Дано: р₁= 1·10⁶ Па Т₁ = 300 К Т₂= 290 К m = 0,01кг V=1·10^-2м³	Решение: Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа: (1)
р₂- ?

где m₂ – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; М – молярная масса гелия; R – молярная газовая постоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давления

(2)

Массу m₂гелия выразим через массу m₁, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:

(3)

Массу m₁ гелия найдем также из уравнения Менделеева – Клапейрона, применив его к начальному состоянию газа:

(4)

Подставив выражение массы m₁ в (3), а затем выражение m₂ в (2), найдем:

или (5)

Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них дает единицу давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых ( Т₂ / Т₁ ) – безразмерный, а второй – давление. Проверим второе слагаемое:

Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что , :

Пример 3.

Баллон содержит m₁=80 г кислорода и m₁=320 г аргона. Давление смеси p = 1 МПа, температура Т = 300 К. Принимая данные газа за идеальные, определить объем V баллона.

Дано: р= 1·10⁶Па m₁ = 0,08 кг m₂= 0,32 кг T = 300 K	Решение: По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. По уравнению Менделеева – Клапейрона, парциальные давления р₁ кислорода и р₂ аргона выражаются формулами:
V - ?

Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси газов

р = р₁ + р₂, или ,

Откуда объем баллона

Произведем вычисления, учитывая, что М₁ = 32·10^-3 кг/моль, М₂ = 40·10^-3 кг/моль, :

Пример 4.

Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию Е_к вращательного движения всех молекул кислорода массой m = 4 г.

Дано: m = 0,004 кг T = 350 K

Решение: На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия

, где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двух- атомной молекулы ( молекула кислорода -

, Е_к - ?

двухатомная) соответствует две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода = . (1)

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа (2)

Число всех молекул газа

(3)

где N_A – постоянная Авогадро, v – количество вещества.

Если учесть, что количество вещества v = m/M, где m – масса газа, М – молярная масса газа, то формула (3) примет вид

Подставив выражение N в формулу (2), получаем

. (4)

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода :

Пример 5.

Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давлении с_P и постоянном объеме c_V неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Решение:

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

где i – число степеней свободы молекулы газа, М – молярная масса. Для неона (одноатомного газа) i = 3 и M = 20·10^-3 кг/моль.

Произведем вычисления:

Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и M = 2·10^-3 кг/моль. Тогда

Пример 6.

Кислород массой m = 2 кг занимает объем V₁ = 1 м³ и находится под давлением р₁= 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂ = 3 м³, а затем при постоянном объеме до давления р₃ = 0,5 МПа. Найти изменение U внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

Дано: m = 2 кг V₁ = 1 м³ р₁= 0,210⁶ Па р₃= 0,510⁶ Па V₂ = 3 м³	Решение: Изменение внутренней энергии газа , (1) где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5), - разность температур газа в конеч-
U, А, Q - ?

ном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева - Клапейрона , откуда .

P P₃ • 3 1 P₁• • 2 0 V₁ V₂ V Рис. 6

Работа расширения газа при постоян- ном давлении выражается формулой

. Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю:

. Следовательно, полная работа, совершаемая газом,

. Согласно первому началу термоди- намики, теплота Q , переданная газу, равна сумме изменения внутренней

энергии U и работы А:

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода :

;

График процесса приведен на рис. 6.

Пример 7.

В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре T₁ = 300 K. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в n₁ = 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n₂ = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах.

Дано: m = 0,02 кг T₁ = 300 K n₁ = 5 раз n₂ = 5 раз	Решение: Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношениями , или ,
T₂, A₁, A₂ - ?

где – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме, .

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры

Работа А₁ газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

Где C_V – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа А₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

, или , где n₂ =V₂/V₃ .

Произведем вычисления, учитывая, что для водорода как двухатомного газа

Так как (находится логарифмированием), то

Знак минус показывает, что при сжатии газа работа совершается внешними силами.

Пример 8.

Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика T₁ = 500 K. Определить КПД цикла и температуру Т₂ теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А = 350 Дж.

Дано: T₁ = 500 K А = 350 Дж Q₁ = 1·10³ Дж	Решение: Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой
, Т₂ - ?

где Q₁ – теплота, полученная от теплоотдатчика, А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.

Зная КПД цикла, можно по формуле

Определить температуру охладителя Т₂

Произведем вычисления

Пример 9.

Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d = 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Дано: d = 10 см.	Решение: Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе по- верхности оказывают давление на воздух, заклю-
р - ?

ченный внутри пузырька. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление

где r – радиус пузыря. Так как r = d/2, то .

Работу, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на S , выражается формулой

В данном случае S – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря, S₀ – общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивающей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая S₀ , получаем

Произведем вычисления:

;