ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
ПОЯСНЕНИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ
Механика – это наука о простейших формах движения материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между телами. Движение всегда существует в пространстве и во времени. Пространство и время являются основными формами существования материи. Предметом классической механики является движение макроскопических материальных тел, совершаемое со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света в вакууме. Механика подразделяется на 1) кинематику; 2) динамику; 3) статику.
При решении задач по кинематике студент должен уметь записывать закон движения материальной точки, определяющий ее положение в любой момент времени. Используя математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления, студент должен научиться определять мгновенные скорость и ускорение по заданной зависимости координаты от времени и решать обратные задачи.
Для решения задач динамики материальной точки и поступательного движения твердого тела студент должен уметь составлять их уравнение движения, выражающее второй закон Ньютона. Для этого необходимо: 1) сделать чертеж и изобразить на нем все силы, действующие на тело; 2) записать уравнение движения в векторной форме; 3) выбрать оси координат и найти проекции уравнения на выбранные оси; 4) если в задаче рассматривается движение системы связанных между собой тел, то уравнение движения надо записать для каждого тела в отдельности; кроме того, надо записать уравнения, выражающие кинематические условия, связывающие ускорения отдельных тел системы; 5) число полученных уравнений должно быть равно числу неизвестных.
Задачи на динамику охватывают также такие вопросы, как закон движения центра масс механической системы, закон сохранения количества движения, работа силы и ее выражение через интеграл, связь кинетической энергии механической системы с работой сил, приложенных к этой системе, закон сохранения и изменения механической энергии. Тщательного изучения и понимания требуют вопросы о поле как форме материи, осуществляющей взаимодействие между частицами вещества или телами, о потенциальной энергии материальной точки во внешнем поле и потенциальной энергии механической системы.
В задачах на кинематику и динамику вращательного движения твердого тела главное внимание необходимо уделить изучению соотношений между линейными и угловыми характеристиками, понятий момента силы, момента инерции тела, закона сохранения момента количества движения и механической энергии.
Задачи на механические колебания охватывают такие вопросы, как определение амплитуды, скорости, ускорения, энергии при механических колебаниях. Волновые процессы представлены задачами, в которых определяются период, длина, скорость распространения, энергия и объемная плотность энергии механических волн.
В контрольную работу включены задачи по элементам теории относительности, которые охватывают следующие вопросы: относительность одновременности, длин и промежутков времени, релятивистский закон сложения скоростей, зависимость релятивистской массы от скорости, соотношение между релятивистской массой и полной энергией. Решая эти задачи, студент должен усвоить, что законы классической механики имеют границу применимости, и что они получаются как следствие теории относительности.
Основные законы и формулы
Мгновенная скорость | ![]() ![]() |
Мгновенное ускорение | ![]() |
Тангенциальное ускорение | ![]() |
Нормальное ускорение | ![]() |
Полное ускорение | ![]() ![]() |
Уравнения равнопеременного поступательного движения | ![]() ![]() |
Угловая скорость | ![]() |
Угловая скорость для равномерного вращательного движения | ![]() |
Угловое ускорение | ![]() |
Уравнения равнопеременного вращательного движения | ![]() ![]() |
Связь между линейными и угловыми характеристиками вращательного движения | S=jR, u=wR
![]() ![]() |
Второй закон Ньютона для поступательного движения | ![]() |
Второй закон Ньютона для поступательного движения при m=const | ![]() |
Импульс материальной точки массы m, движущейся со скоростью u | ![]() |
Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел | ![]() |
Сила трения (скольжения) | Fтр=kN |
Работа переменной силы на пути s | ![]() |
Мощность | ![]() |
Сила упругости | Fупр=-kDx |
Сила гравитационного взаимодействия | ![]() |
Потенциальная энергия упруго- деформированного тела | ![]() |
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела, находящегося в однородном поле тяжести | П=mgh |
Кинетическая энергия тела | ![]() |
Закон сохранения механической энергии | Е=К+П=const |
Момент инерции материальной точки | ![]() |
Моменты инерции некоторых тел массой m: | |
сплошного цилиндра (диска) радиуса R относительно оси вращения, совпадающей с осью цилиндра | ![]() |
полого цилиндра радиуса R относительно оси вращения, совпадающей с осью цилиндра | ![]() |
шара радиуса R относительно оси вращения, проходящей через центр масс шара | ![]() |
тонкого стержня длиной l , если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через центр масс стержня | ![]() |
тонкого стержня длиной l , если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через один из концов стержня | ![]() |
тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера) | ![]() |
Момент силы относительно оси вращения | ![]() |
Основное уравнение динамики вращательного движения | ![]() |
Основное уравнение динамики вращательного движения при J=const | ![]() |
Момент импульса твердого тела относительно оси вращения | ![]() |
Закон сохранения момента импульса для изолированной системы | ![]() |
Кинетическая энергия вращающегося тела | ![]() |
Работа при вращательном движении | dA=Mdj |
Зависимость длины тела и времени от скорости в релятивистской механике | ![]() ![]() |
Зависимость массы частицы от скорости u, сравнимой со скоростью света | ![]() |
Энергия покоя частицы | ![]() |
Полная энергия частицы, движущейся со скоростьюu, сравнимой со скоростью света | ![]() |
Кинетическая энергия релятивистской частицы | ![]() |
Теорема сложения скоростей в теории относительности | ![]() |
Уравнение гармонического колебания | ![]() |
Скорость колеблющейся материальной точки | ![]() |
Ускорение колеблющейся материальной точки | ![]() |
Период колебаний пружинного маятника | ![]() |
Период колебаний математического маятника | ![]() |
Полная энергия при гармоническом колебании | ![]() |
Длина волны | ![]() |
Уравнение бегущей волны | ![]() |
Примеры решения задач
1. Частица движется вдоль прямой по закону x=A+Bt+Ct3 , где А=3 м, В=2,5 м/с, С=0,25м/c3. Найти средние значения скорости и ускорения за интервал времени от t1=1 с до t2=6 с.
Дано: | Решение: |
x=A+Bt+Ct3 А=3 м В=2,5 м/с С=0,25м/c3 t1=1 с t2=6 с | Средняя скорость это отношение перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло, тогда модуль средней скорости равен:
![]() ![]() |
Найти: <u> - ? <а> - ? | ![]() ![]() |
Среднее ускорение это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, тогда модуль среднего ускорения равен:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону . Найти по величине и направлению полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r=0,1 м от оси вращения, для момента времени t=4 с.
Дано: | Решение: |
![]() | Угловая скорость w вращающегося тела равна первой производной от угла поворота от времени:
![]() |
Найти:а - ? | В момент времени t=4 с: w=20-4×4=4 рад/с |
![]() | Угловое ускорение e вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени:
![]() ![]() ![]() ![]() |
Тангенциальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой:
аt=e×r, (2)
где e - угловое ускорение тела.
Нормальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой:
аn=w2r, (3)
где w - угловая скорость тела.
Подставив выражения (2) и (3) в формулу (1), получаем
![]() | |
Подставив найденные значения w и e и заданное значение
r в формулу (4), получим:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Пользуясь тригонометрическими таблицами или калькулятором, найдем значение угла a: a»14°. Ответ: a=1,65 м/с2, a»14°. |
3. Автомашина массой m=1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути, и за 5 мин преодолевает путь S=5 км. Определить: 1) работу, совершаемую двигателем автомашины, если коэффициент трения равен 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность.
Дано: | Решение: |
m=1,8 т=1800 кг h=3 м l=100 м t=5 мин=300 с S=5 км=5000 м m=0,1 | ![]() |
Найти: A-? P-? | Уравнение движения автомашины в векторной форме:
![]() |
Запишем это уравнение в проекциях на оси x и y (см. рис.):
ox: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Максимальная мощность, развиваемая двигателем автомашины:
![]() ![]() ![]() |
4. Шар массой m1=3 кг движется со скоростью u1=2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m2=5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.
Дано: | Решение: |
m1=3 кг u1=2 м/с m2=5 кг | Работа будет равна изменению кинетической энергии системы: ![]() |
Найти: A - ? | где кинетическая энергия шаров до столкновения:
![]() |
Она равна кинетической энергии первого шара, т.к. второй шар покоится.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
5. Камень брошен со скоростью u0=15 м/с под углом a=60° к горизонту. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергии камня: а) через 1 с после начала движения; б) в высшей точке траектории. Масса камня m=0,2 кг.
Дано: | Решение: |
u0=15 м/с a=60° t=1 с m=0,2 кг | Движение камня сложное, криволинейное: вдоль оси OX равномерное с постоянной скоростью
![]() |
Найти: Wк - ? Wп - ? W - ? | ![]() |
![]() | |
Через t=1 с скорость камня будет равна:
![]() | |
Кинетическая энергия камня через t=1 с будет равна:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Для этого найдем время подъема. В верхней точке траектории ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() ![]() |
6. Две гири с массами m1=2 кг и m2=1 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m=1 кг. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силы натяжения нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.
Дано: | Решение: |
m1=2 кг m2=1 кг m=1 кг | Запишим уравнения движения гирь:
![]() |
Найти: a - ? Т1 - ? Т2 - ? | ![]() |
![]() | Запишим эти уравнения в проекциях на ось Y:
![]() ![]() ![]() |
где ![]() ![]() ![]() | |
Подставляя (4) в (1) и (2), получим
![]() ![]() |
7. Платформа в виде диска радиусом R=1,5 м и массой m1=180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая n=1/6 с-1. В центре платформы стоит человек массой m2=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Дано: | Решение: |
R=1,5 м m1=180 кг n=1/6 с-1 m2=60 кг | По закону сохранения момента импульса:
![]() |
Найти: u - ? | человеком, стоящим в ее центре; ![]() ![]() |
Момент инерции платформы определим как для диска:
![]() ![]() ![]() | |
Угловая скорость платформы до перехода человека из центра на край платформы: w=2pn.
Заменив в формуле (3) величины Jпл, Jчел, ![]() | |
![]() ![]() ![]() |
8. К пружине подвешен груз массой m=10 кг, который совершает колебания с амплитудой 5 см. Зная, что пружина под влиянием силы F=9,8 Н растягивается на l=1,5 см, найти: частоту, период и циклическую частоту вертикальных колебаний пружины, жесткость пружины, полную энергию, максимальную скорость и максимальное ускорение.
Дано: | Решение: |
m=10 кг А=5 см=0,05 м F=9,8 Н l=1,5 см=0,015 м | Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника имеет вид:
![]() |
Найти: n - ? T - ? w - ? k - ? W - ? umax - ? amax - ? | А – амплитуда колебаний; w=2pn – циклическая частота; ![]() |
Из закона Гука F=kl найдем коэффициент жесткости пружины: ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() ![]() | |
Скорость колебаний:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
9. Волна распространяется в упругой среде со скоростью 150 м/с. Определить частоту колебаний, если минимальное расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны равно 0,75 м.