Примеры решения типовых задач
1. Найти длину вектора , если А(1;2;3); В(2;-5;4).
Решение:
Найдем координаты вектора :
{2-1;-5-2;4-3}; АВ{1;-7;1}.
Найдем длину вектора :
.
Ответ: .
2. Найти длину радиус-вектора точки А(2;3;-1).
Решение:
Координаты радиус-вектора точки А совпадают с координатами самой точки: {2;3;-1}.
Найдем длину радиус-вектора :
.
Ответ: .
3. Найти длину вектора , если
{1;-1;0},
{3;-1;4}.
Решение:
Найдем координаты вектора :
{1+33;-1+3(-1);0+34};
{10;-4;12}.
Найдем длину вектора :
.
Ответ: =
.
4. Найти направляющие косинусы вектора , если А(1;-1;3), В(2;-3;4).
Решение:
Найдем координаты вектора :
{2-1;-3-(-1);4-3},
{1;-2;1}.
Найдем длину вектора :
.
Итак, ;
;
.
Проверка: .
Ответ: ;
;
.
Скалярное произведение двух векторов
Свойства |
Определение |
Применение |
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |

k( ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
Работа силы F на перемещение S А= ![]() |
Вычисление в прямоугольных координатах: если
![]() ![]() ![]() |
Скалярное произведение ортов
![]() ![]() |
Примеры решения типовых задач
1. Даны векторы =3
и
. Найти: а)
;
б) ; в)
.
Решение:
а) =32+(-1)3+2(-1)=6-3-2=1;
б) ;
в) .
Ответ: а) 1; б) ; в)
.
2. Даны векторы {3;-1;4},
{-2;2;2}. Проверить, являются ли они ортогональными.
Решение:
=3(-2)+(-1)2+42=-6-2+8=0. Следовательно, векторы
ортогональны.
3. Вычислить работу силы ={3;2;4}, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2;4;6) в положение В(4;2;7).
Решение:
А= . Найдем координаты вектора
=
:
{4-2;2-4;7-6};
={2;-2;1}.
Найдем работу А:
А=32+2(-2)+41=6-4+4=6.
Ответ: 6.
4. Найти длины диагоналей параллелограмма (рис.1), построенного на векторах , где
=60.
![]() |
![]() |

![]() |
Рис.1 |
Решение:
Выразим диагонали параллелограмма и
по правилу
параллелограмма: ,
.
Так как векторы не единичные, следовательно,
заданы в произвольном базисе, то
и
можно найти по определению:
=
=
.
=
=
.
Ответ: =
.
A. Векторное произведение двух векторов
Свойства |
Определение |
Применение |
Площадь треугольника
S= ![]() |
Векторным произведением двух векторов называется вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() |

Вычисление
![]() |
Условие коллинеарности
![]() |
Момент силы ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
Примеры решения типовых задач
1. Раскрыть скобки и упростить выражение:
а) ;
б) (2 .
Решение:
а) +
=2
б) (2 =2
.
2. Даны векторы и
. Найти
.
Решение:
.
Ответ: .
3. Найти площадь АВС, если А(1;2;0); В(3;0;-3); С(5;2;6).
Решение:
SАВС= . Найдем координаты векторов
:
{3-1;0-2;-3-0}={2;-2;-3};
{5-1;2-2;6-0}={4;0;6}.
Найдем векторное произведение :
= .
.
SАВС= .
Ответ: .
4. Сила приложена в точке М(2;-1;1). Найти ее
момент относительно начала координат.
Решение:
. Найдем координаты вектора
: О(0;0;0), М(2;-1;1), следовательно,
{2;-1;1}.
=
= .
Ответ: .
Смешанное произведение трех векторов
Свойства |
Определение |
Применение |
![]() ![]() |
Объем параллелепипеда
V= ![]() |
Смешанным произведением трех векторов называется произведение вида
( ![]() ![]() |

![]() ![]() ![]() ![]() |
Объем пирамиды
V= ![]() |
Условие компланарности трех векторов:
![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() |