Примеры решения типовых задач
1. Найти объем пирамиды, вершинами которой служат точки
А(1;2;3); В(0;-1;1); С(2;5;2); D(3;0;-2).
Решение:
. Найдем координаты векторов 
:
;
;
.
.
=4.
Ответ: 4.
2. Доказать, что векторы 
=2 
, 
и 
компланарны.
Доказательство:
,следовательно, 
компланарны.
3. Проверить, лежат ли точки А(2;-1;-2), В(1;2;1), С(2;3;0), D(5;0;6) в одной плоскости.
Решение:
Для того чтобы доказать, что точки А, В, С, D лежат в одной плоскости, нужно доказать, что векторы 
компланарны. Найдем координаты векторов :
{1-2;2-(-1);1-(-2)}={-1;3;3};
{2-2;3-(-1);0-(-2)}={0;4;2};
{5-2;0-(-1);6-(-2)}={3;1;8}.
Проверим компланарность векторов :
, следовательно, векторы не компланарны, таким образом, точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости.
4. Даны координаты вершин пирамиды А(1;2;-3), В(1;0;-1), С(2;4; -6), D(0;-1;3). Найти а) VАВСD; б) SАВС; в) 
; г) 
.
Решение:
а)VАВСD= 
. Найдем координаты векторов :
{1-1;0-2;-1(-3)}={0;-2;-2};
{2-1;4-2;-6-(-3)}={1;2;-3};
{0-1;-1-2;3-(-3)}={-1;-3;6}.
Найдем смешанное произведение :
=2(6-3)=2(-3+2)=6-2=4.
Итак, VАВСD= 
(куб.ед.).
б) SАВС= 
. Найдем векторное произведение векторов 
:
.
.
SАВС= 
(кв.ед.)
в) 
.
Найдем скалярное произведение векторов :
=01+(-2)2+2(-2)=0-4-6=-10.
Найдем длину | |= 
.
Итак, 
.
г) 
.Найдем скалярное произведение 
:
=1(-1)+2(-3)+(-3)6=-1-6-18=-25.
Найдем длину :
| |= 
. Значит, 
.
Ответ: а) 2/3 куб.ед.; б) 
кв.ед. в) 
; г) 
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.Найти длину вектора 
, если: С(1;-3;4), D(0;-2;1).
Ответ: | |= 
.
2. Найти длину радиус-вектора точки М(2;-3;6).
Ответ: 7.
3. Найти длину вектора 
, если {2;-1;0}, 
{3;-1;4}.
Ответ: 
.
4.Найти направляющие косинусы вектора , если А(3;-5;4); D(2;-1;0).
Ответ: cos= 
: cos 
= 
: cos= 
.
5. Даны векторы =2 
и 
. Найти: а) 
; б) 
; в) 
.
Ответ: а) 5; б) 5/9; в) 
.
6. Даны векторы 
. Проверить, являются ли они ортогональными.
Ответ: не являются.
7. Вычислить работу силы 
, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из начала координат в положение М(1;-1;3).
Ответ: 16.
8. Раскрыть скобки и упростить выражение:
1) 
;
2) 
.
Ответ: 1) 2 
; 2) 3.
9. Даны векторы 
и 
. Найти 
.
Ответ: 
.
10. Найти площадь параллелограмма АВСD, если его вершины А(3;-2;4), В(0;-1;6), С(1;-3;6), D(1;-1;0).
Ответ: 
.
11. Сила 
приложена в точке А(1;-1;0). Найти ее момент относительно точки В(2;-1;3).
12. Проверить компланарность векторов 
,
, 
.
Ответ: компланарны.
13. Даны координаты вершин пирамиды А(4;4;10), В(7;10;2), С(2;8;4), D(9;6;9).
Найти: а) VАВСD; б) SАВС; в) 
; г) 
.
Ответ: а) 4; б) 
; в) 
; г) 
.
14. Найти угол между векторами 
, где 
единичные векторы и угол между ними равен 120.
Ответ: -1/2.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Прямая линия на плоскости
Уравнением линии на плоскости ХОУ называется такое уравнение F(x,y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на линии.
Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.
Простейшей из линий является прямая.
Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат различные виды ее уравнений (табл. 1).
Таблица 1
| № п/п | Вид уравнения | Смысл входящих в уравнение коэффициентов | Примечания |
| Уравнение с угловым коэффициентом y=kx+b | k – тангенс угла a наклона прямой к положительному направлению оси ОХ; b – отрезок, отсекаемый прямой от оси ОY | a/2 | |
| Общее уравнение прямойАх+Ву+С=0 | А,В – координаты вектора, перпендикулярного прямой (нормального вектора) N | А,В не равны нулю одновременно | |
| Уравнение прямой, про-ходящей через данную точку в данном направ-ленииу-у0=k(х-х0 ) | т.М(х0,у0) – заданная точка; k – угловой коэффициент прямой | При различных k уравнение называется уравнением пучка прямых с центром в точке М(х0,у0) | |
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки 
| т.М1(х1,у1), т.М2(х2,у2) – заданные точки | - | |
Уравнение прямой в отрезках на осях х 
| а,b – отрезки, отсекаемые прямой от координатных осей ОХ и ОY соответственно | а0, b0 | |
| Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору | т.М0(х0,у0) – заданная точка; m,n – координаты вектора, параллельного искомой прямой ( направляющего век-тора) 
| Такое уравнение часто называют каноническим | |
| № п/п | Вид уравнения | Смысл входящих в уравнение коэффициентов | Примечания |
| |||
| Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору А(х-х0)+В(у-у0)=0 | т.М0(х0,у0) – заданная точка, А,В – координаты нормального вектора искомой прямой 
|
Угол между двумя прямыми
Пусть прямые l1и l2 заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами: l1: y=k1х+b1, l2:y=k2x+b2, тогда острый угол между двумя прямыми определяется его тангенсом по формуле
.
Если прямые l1и l2 заданы общими уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0, то угол между ними можно найти как угол между их нормальными векторами
.
В случае задания прямых своими каноническими уравнениями
угол между прямыми находится как угол между направляющими векторами прямых
.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых (табл. 2)
Таблица 2
| № п/п | Способ задания прямых | Условие параллельности прямых | Условие перпендикулярности прямых |
| l1: y=k1х+b, l2: y=k2x+b2 | k1=k2 | k1k2= -1 | |
| l1: А1х+В1у+С1=0 l2: А2х+В2у+С2=0 | 
| A1A2+B1B2=0 | |
l1: 
l2: 
| 
| m1m2+n1n2=0 |