Сызыты тедеулер жйесін шешу тсілдері.
Дріс.
Дріс таырыбы:Матрицалар жне анытауыштар.
Дріс жоспары:
§ Матрицалар.
§ Матрицалара амалдар олдану.
§ Матрицалара олданылатын амалдар асиеттері.
§ Анытауыштар.
§ Анытауыштыасиеттері.
§ дебиеттер.
§ Баылау сратары.
Матрица деп, m- жол жне n- бааннан тратын сандар немесе ріптерден рылан тік брышты кестені айтады.
Матрица латынны лкен ріптерімен белгіленеді A,B,C,… жне былай жазылады:
немесе ысаша 
, мндаы 
(яни 
) – жолды нмірі, 
(яни 
) – баанны нмірі.
А матрицасын 
лшемді матрица дейді жне оны 
деп жазады. Матрицаны райтын 
сандарын сол матрицаны элементтері дейді. 
элементтері бас диагоналді райды. 
- 
- лшемді матрица.
Бір жолдан тратын матрицаны жол-матрица дейді. Бір бааннан тратын матрицаны баан-матрица дейді. Егер матрицаны жолдарыны саны баандарыны санына те болса, ондай матрицаны квадрат матрицадейді. Оны лшемі 
болады.
Егер квадрат матрицаны бас диагональдан тыс элементтері нлге те болса, онда ондай матрицаны диагональ матрица дейді.
Егер диагональ матрицаны бас диагоналі бір сандарынан трса, онда ондай матрицаны бірлік матрица дейді жне оны Е деп белгілейді.
Егер квадрат матрицаны бас диагоналіні бір жаына орналасан элементтері тгелдей нлге те болса, онда оны шбрышты матрица дейді.
Егер матрицаны барлы элементтері нлге те болса, онда ондай матрицаны
нлдік матрица дейді. Мысалы. а) квадрат; б) диагональ; в) бірлік; г) нлдік матрицалар:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
А матрицасыны жолдарын сйкес баандар етіп алмастыраннан пайда болан матрицаны транспонирленген матрица деп атайды жне оны 
деп белгілейді. Транспонирлеу амалыны асиеттері: 
1-мысал. 
Матрицалара амалдар олдану.осу амалы амалы лшемдері бірдей матрицалар шін ана енгізіледі. Екі жне 
матрицаларыны осындысы деп, элементтері
болатын 
матрицасын айтады жне оны 
деп белгілейді.
2-мысал. 
матрицасын 
санына кбейту деп рбір элементі 
болатын матрицасын айтады.
3-мысал. 
-А=(-1)А матрицасын А матрицасына арама-арсы матрица деп атайды. Олай болса, матрицаларды айырымын былай анытауа болады: 
Матрицаларды осу жне матрицаны сана кбейту амалдарыны асиеттері:
мндаы 
матрицалар, 
жне 
- сандар.
Екі матрицаны кбейту амалы бірінші матрицаны баандарыны саны екінші матрицаны жолдарыны санына те боланда ана енгізіледі. 
матрицасыны 
матрицасына кбейтіндісі деп элементтері
, , 
болатын 
матрицасын айтады. Схемалы трде былай крсетуге болады:
 |
4-мысал. 
, 
, осыдан 
Егер 
болса, онда А жне В матрицалары алмастырылатын матрицалар деп аталады.
Матрицаларды кбейту амалыны асиеттері:
Анытауыштар.Анытауыш сатылы трде аныталады.
1) Кезкелген сан бірінші ретті анытауыш.
2) лшемділігі 2-ге те квадрат матрица 
шін 
саны (мндаы 
- наты сандар) А матрицасыны анытауышы немесе 2-ші ретті анытауыш деп аталады жне ол 
, 
, 
, 
деп белгіленеді. Сонымен
5-мысал. 
3) 
- 3-ші ретті матрица болсын.
А матрицасыны анытауышы немесе 3-ші ретті анытауышы деп, тменгі формуламен есептелінетін санды айтады:
.
Бл формуланы жеіл есте сатау шін алашы о табалы ш осылышты 
схемасы бойынша, ал алан ш теріс табалы осылыштарды схемасы бойынша есептелетіндігін ескеру ажет.
4) 
квадрат матрицасыны элементіні миноры деп, осы элемент орналасан жол мен баанды сызып тастааннан шыатын 3-ші ретті анытауышты айтады жне оны 
деп белгілейді. Ал 
саны элементіні алгебралы толытауышы деп аталады. Онда 
саны 4-ші ретті анытауыш деп аталады жне ол 
трінде белгіленеді. Дл осылай 5-ретті анытауыш аныталады:
(1.1)
Осылайша кезкелген 
-ші ретті анытауышты 
-ші ретті анытауыштар арылы анытаймыз.
(1.1) формуласы анытауышты кез келген жолды элементтері арылы жіктеу деп аталады.
6-мысал. 
Анытауышты асиеттері:
1. Анытауышты жолдарын сйкес баандармен алмастыраннан анытауышты мні згермейді.
2. Егер анытауышты андай да бір жолы (бааны) тек нлден трса, онда анытауыш нлге те.
3.Егер анытауышты екі жолы (бааны) пропорционал болса, онда анытауыш нлге те.
4. Жолды (баанны) орта кбейткішін анытауышты алдына шыарып жазуа болады.
5.Егер анытауышты екі жолын (баанын) алмастырса, онда анытауышты табасы згереді.
6. Егер андай да бір жолды (баанны) элементтеріне кез келген сана кбейтілген баса жолды сйкес элементтерін осаннан анытауыш згермейді.
дебиеттер: 1 нег.[5-20], 11 ос. [92-115]
Баылау сратар:
1. Екінші ретті анытауыш деген не? 4-ретті анытауыш деген не? Анытауыштарды
негізгі асиеттерін атаыз.
2. Матрицаны анытауыштан айырмашылыы неде? Матрицалара олданылатын амалдарды атаыз.
3. Екі матрицаны кбейту ай кезде орындалады?
Дріс.
Дріс таырыбы:Сызыты алгебралы тедеулер жйесі.
Дріс жоспары:
§ Матрицаны рангі.
§ Матрицарангін табу дістері.
§ Сызыты алгебралытедеулержйесі.
§ Сызытытедеулержйесін шешу тсілдері.
§ дебиеттер.
§ Баылау сратары.
А матрицасыны рангі деп осы матрицаны нлге те емес минорларыны е лкен ретін айтады жне оны 
, 
немесе 
деп белгілейді. 
болады, мндаы 
- m жне n сандарыны кішісі.
1-мысал. 
матрицасыны рангін табыыз.
1-діс. Минорлар дісі. Бл матрицаны рангі 3-тен аспайды. Сондытан 3-ші ретті минорлар рамыз. Егер 3-ші ретті минорларды ішінде бір нлге те емес минор табылса, онда ранг 3-ке те болады. Ал 3-ші ретті минорларды брі нлге те болса, онда минор 2-ге не 1-ге те болады. Оны білу шін таы 2-ші ретті минорлар рамыз. Оларды ішінде бір нлге те емес минор табылса, онда ранг 2-ге те болады. Ал 2-ші ретті минорларды брі нлге те болса, минор 1-ге те.
, 
, 3-ші ретті минорларды брі нлге те. Олай болса, 2-ші ретті минорлар рамыз: 
. Демек ранг 2-ге те, яни 
2-діс. Элементар трлендіру дісі. Матрицаны элементар трлендіру деп:
1. матрицаны екі жолын (баанын) ауыстыру;
2. матрицаны жолын (баанын) нлге те емес сана кбейту;
3. бір жол (баан) элементтеріне баса жолды (баанны) сйкес андай да бір сана кбейтілген элементтерін осу амалдарын айтады.
Элементар трлендіру арылы алынан матрицаны бастапы матрицаа эквивалентті матрица дейді жне орталарына ~ белгісі ойылады. Матрицаны рангін табу шін элементар трлендіруді пайдаланып, матрицаны сатылы трге келтіреміз.
Теорема. Матрицаны элементар трлендіргеннен оны рангі згермейді.
2-мысал. ~ 
~ 
. Демек ранг 2-ге те, яни .
Кері матрица.Егер 
шарты орындалса, онда 
матрицасын 
матрицасына кері матрица дейді жне оны 
трінде белгілейді. Мндаы , , 
матрицалары бірдей лшемді квадрат матрицалар.
Ескерту: Егер 
матрицасы бар болса, онда ол жалыз болады.
Теорема. КвадратА матрицасына кері матрица табылуы шін 
болуы ажетті жне жеткілікті. боланда кері матрица былайша есептелінеді 
.
Мндаы 
алгебралы толытауыштардан тзілген матрица.
3-мысал. 
матрицасына кері матрица табыыз. 
.
Олай болса,
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Сонда кері матрица былай болады: 
= 
.
Сызыты алгебралы тедеулер жйесі.n белгісізі бар m тедеулер жйесі былай жазылады:
мндаы 
жйені коэффициенттері, ал 
- бос мшелер деп аталады. 
жйені матрицалы трде былай жазуа болады 
немесе
, мндаы А= 
жйе матрицасы
A X B
деп аталады.
Егер 
сандар жиыны тедеулер жйесін тепе-тедікке айналдырса, онда бл сандар жиыны осы жйені шешімі деп аталады.
Егер тедеулер жйесіні кемінде бір шешімі бар болса, онда жйе йлесімді деп аталады, ал жйені бір де шешімі болмаса, онда жйе йлесімсіздеп аталады.
Егер А матрицасын бос мшелерден тратын баанмен толытырса, онда пайда болан матрицаны кеейтілген матрица дейді жне оны 
деп белгілейді. Сонымен
Сызыты тедеулер жйесін шешу тсілдері.
1. Крамер ережесі.n белгісізі бар n тедеулер жйесі берілсін
Мндай жйені А матрицасы квадрат матрица болады.
Теорема. Егер жйесі шін 
болса, онда жйені жалыз шешімі былайша табылады:
мнда 
- анытауышындаы 
белгісіздеріні коэффициеттерін бос мшелермен алмастыраннан пайда болан анытауыш. Крамер формуласы деп аталады.
4-мысал. 
жйесін Крамер ережесімен шешу керек.
, 
, 
, 
Жауабы: 
2. Матрицалы діс.n белгісізі бар n тедеулер жйесі, яни жйе берілсін. Жйені матрицалы трде былай жазамыз
Теорема.Егер болса, онда жйесіні 
тедігімен аныталатын жалыз шешімі бар.
5мысал. жйесін матрицалы діспен шешу керек.
, 
, 
, 
, Жауабы:
3. Гаусс дісі.n белгісізі бар m тедеулер жйесі, яни берілсін. Жйені Гаусс дісімен шешу екі кезенен трады. Бірінші кезеде (тік жріс) жйе трапеция тріздес трге келтіріледі.
– трапеция тріздес жйе.
Мнда 
коэффициенттері жйені негізгі элементтері деп аталады.
Екінші кезіде (кері жріс) ммкін болса, шыан жйеден біртіндеп белгісіздерді табады. Практикада жйемен емес кеейтілген матрицамен істеген ыайлы болады. Сондытан жйені Гаусс дісімен шешу шін кеейтілген матрица рып,оны элементарлы трлендіруді кмегімен трапеция тріздес трге келтіреді. Бл жадайда 
коэффициентіні 1-ге те боланы ыайлы. Ол шін тедеулерді орындарын ауыстыру керек немесе тедеуді екі жаын да 
блу керек. Содан со айтадан жйе рып, сол жйені шешеміз.
6-мысал. 
жйесін Гаусс дісімен шешу керек.
~ 
Екінші матрицаны екінші жолын алу шін бірінші жолды 
-ге кбейтіп, екінші жола осты, ал шінші жолын алу шін бірінші жолды 
ге кбейтіп, шінші жола осты. Жйе матрицасы шбрышты трге келді. Енді айтадан матрицадан жйеге кшейік жне соы жолдан бастап жазайы.
. Осыдан 
. Жауабы: 
Теорема (Кронекер-Капелли) жйе йлесімді болуы шін жйені матрицасыны рангі кеейтілген матрицаны рангіне те болуы ажетті жне жеткілікіті, яни 
.
дебиеттер: 1 нег.[ 20-41], 11 ос. [115-135].
Баылау сратар:
1. Матрицаны рангісіні анытамасын берііз.
2. Кері матрицаны анытамасын берііз.
3. Кері матрица алай есептелінеді?
4. Сызыты тедеулер жйесін шешуді дістерін айтыыз.
Дріс.
Дріс таырыбы:Векторлар. Скалярлы кбейтінді.
Дріс жоспары:
§ Векторлар.
§ Векторлара олданылатын сызыты амалдар.
§ Векторларды сызыты туелділігі.
§ Базис.
§ Векторларды координат стеріні орттары арылы жіктеу.
§ Координаттарымен берілген векторлара амалдар олдану.
§ Векторларды скаляр кбейтіндісі.
§ дебиеттер.
§ Баылау сратары.
Вектор деп баытталан кесіндіні айтады, яни кесіндіні белгілі бір зындыы жне баыты болады. Егер А – векторды басы, ал В –векторды шы болса, онда вектор 
немесе 
символымен белгіленеді. 
векторы векторына арама-арсы вектор деп аталады (оны басы В нктесінде, ал шы А нктесінде орналасан). векторына арама-арсы векторды 
деп белгілейді. векторыны зындыынемесе модулідеп кесіндісіні зындыын айтады жне оны 
немесе 
деп белгілейді. зындыы нлге те векторды нлдік вектор деп атайды жне ол 
деп белгіленеді. Нлдік векторды баыты болмайды.
зындыы бірге те векторды бірлік вектор деп атайды жне оны 
деп белгілейді. Егер бірлік векторды баыты векторыны баытымен сйкес келсе, онда ол векторыны орты деп аталады жне 
деп белгіленеді.
Параллель тзулерде немесе бір тзуді бойында жататын векторлар коллинеар векторлар деп аталады жне || 
деп белгіленеді. Коллинеар векторлар баыттас болуы да, арама-арсы баытта да болуы ммкін.
Егер екі жне векторлары коллинеар болып, баыттас жне зындытары бірдей болса, онда оларды те векторлар ( 
) дейді. Те векторлар еркін векторлар деп те аталады. Бл векторларды басталан нктесін кеістіктегі кез келген нктеге кшіруге болады. Аналитикалы геометрияда еркін (бос) векторлар арастырылады.
Егер кеістіктегі ш вектор бір жазытыта немесе параллель жазытытарда жатса, онда олар компланар векторлар деп аталады.