Дифференциалды есептеулерді негізгі теоремалары

Анытама.Егер нктесіні бір маайында тесіздігі орындалса, онда нктесін функциясыны жергілікті минимум (максимум) нктесі деп атайды. Жергілікті минимум жне жергілікті максимум нктелері жергілікті экстремум нктелері деп аталады. Ал осы нктелердегі функцияны мні функцияны экстремумы деп аталады. кесіндісінде аныталан функцияны тек ана бір е лкен жне е кіші мндері болады, ал максимумдар жне минимумдер бірнеше болуы ммкін. Функцияны кейбір максимумдары оны минимумдарынан кіші болуы да ммкін.

Ферма теоремасы. Егер функциясы интервалында дифференциалданатын болса жне нктесінде е лкен немесе е кіші мнін абылдайтын болса, онда функцияны туындысы бл нктеде нлге те, яни .

Геометриялы маынасы: функцияны максимум жне минимум нктелерінде жргізілген жанама сіне параллель болады.

Ролль теоремасы.Егер функциясы: кесіндісінде зіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса жне болса, онда е болмаанда бір нктесі табылып, болады.

Геометриялы маынасы: егер теорема шарттары толыымен орындалса, онда кесіндісінде жататын е болмаанда бір нктесі табылып, сол нктеде жргізілген жанама сіне параллель болады.

Kоши теоремасы.Егер жне функциялары кесіндісінде зіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса жне , онда е болмаанда бір нктесі табылып тедігі орындалады.

Лагранж теоремасы. Егер функциясы кесіндісінде зіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса онда интервалында жататын нктесі табылып, тедігі орындалады.

Геометриялы маынасы: мына атынас кесіндісінде функциясыны графигіні шеткі нктелерін осатын хорданы сіні о баытымен жасайтын брышты тангесіне те, ал нктесіне жргізілген жанаманы сіні о баытымен жасайтын брышыны тангенісіне те. Лагранж теоремасы бойынша нктесінде олар зара те болады, яни июшы мен жанама параллель болады.

Лопиталь ережесі.Бл ереже немесе аныталмаандытарын есептеуге ммкіндік береді.

Теорема.Айталы, нктесіні маайында жне функциялары аныталан жне дифференциалданатын болсын (нктені зінде бл шарттар орындалмауы да ммкін) жне , , . Егер шегі бар болса, онда шегі бар болады жне мына тедік орындалады: = . Осы сияты тжырымдар , , , , жадайларда да орынды.

1-мысал. ;

2-мысал. Лопиталь ережесін бірнеше рет олдануа да болады:

Лопиталь ережесін аныталмаандытарды мына трлеріне де олдануа болады . Ол шін оларды немесе трлеріне келтіру керек.

1. Егер кбейтіндісінде ш. а., ал ш.. шамалар болса, онда оларды тменгідей трлендіріп, немесе содан со Лопиталь ережесін олданады.

3-мысал. .

2. Екі ш.. функциялар айырмасы , яни аныталмаандыы былай трлендіріледі бл рнекке Лопиталь ережесі олданылады.

4-мысал.

= .

дебиеттер: 1 нег.[238-254], 11 ос. [375-377], [385-390].

Баылау сратар:

1. Жоары ретті туындыны анытамасын берііз.

2. Жоары ретті дифференциалды анытамасын берііз.

3. Ролл теоремасы жне оны геометриялы маынасы.

4. Лагранж теоремасы жне оны геометриялы маынасы.

5. Лопиталь ережесі андай аныталмаандытарды есептеуге ммкіндік береді?

 

Дріс.

Дріс таырыбы:Туындыны кмегімен функцияларды зерттеу жне графигін салу

Дріс жоспары:

§ Функцияны су жне кему аралытары.

§ Экстремумны ажетті жне жеткілікті шарттары.

§ Функцияны кесіндідегі е лкен жне екіші мндері.

§ Функцияны дестігі, ойыстыы жне иілу нктелері.

§ Функция графигіні асимптоталары.

§ Функцияны зерттеуді жалпы слбасы (схемасы) жне оны графигін салу.

§ дебиеттер.

§ Баылау сратары.

 

функциясы аралыында берілсін. Егер кез келген шін тесіздігінен ( ) тесіздігі шыатын болса, онда функциясы аралыында седі (кемиді) дейді.

Теорема. Егер аралыында дифференциалданатын функциясыны туындысы осы аралыта о (теріс) болса, онда ол осы аралыта седі (кемиді). Демек, су немесе кему интервалында функцияны туындысы табасын згертпейді.

1-мысал. функцияны су жне кему аралытарын табу керек. Ол шін функция туындысыны табасыны тратылы интервалдарын анытаймыз . Бл квадрат шмшелікті тбірлері x₁=0, x₂=2. Сондытан, егер аралыында , демек функциясы бл аралыта кемиді. Ал аралытарында f'(x)>0, демек бл аралытарда функция седі.

Теорема (экстремумны ажетті шарты).Егер дифференциалданатын функциясыны нктесінде экстремумы бар болса, онда сол нктеде болады. Осы теоремадан мынадай орытындыа келеміз: егер нктесінде функцияны экстремумы бар болса, онда ол нктеде оны туындысы нлге те, не ол нктеде туындысы болмауы ммкін. Кері тжырым рашан орындала бермейді. Мысалы, функциясыны x₀=0 нктесінде туындысы , ал біра ол нктеде функция не максимум, не минимум абылдамайды. функциясыны туындысы нлге айналатын немесе тіпті болмайтын нктелерді кдікті нктелер немесе «кризистік» нктелер деп атайды. Функцияны экстремумын осы кдікті нктелерді арасынан іздеу керек.

Теорема (экстремумні жеткілікті шарты). Егер нктесінде функциясыны туындысы нлге те болса жне нктесінен ткенде табасын згертсе, онда нктесі экстремум нктесі болады: 1) егер таба «плюс»-тен «минус»-ке згерсе, онда – максимум нктесі; 2) егер таба «минус»-тен «плюс»-ке згерсе, онда – минимум нктесі болады.

2-мысал. функцияны экстремумге зерттеп, су жне кему аралытарын анытау керек. Функция туындысы , осыдан , кдікті нктесін табамыз. нктесінде функцияны туындысы болмайды, сондытан ол да кдікті нкте. Интервалдар тсілімен f '(x)-ті табаларын анытаймыз. Функция барлы нктелерде зіліссіз, жеткіліктілік шарт бойынша максимум нктесі, ал минимум нктесі. (–¥, 0) жне интервалдарда функция седі, ал интервалда кемиді Зерттеу нтижелерін таблицаа жазамыз:

x	(–¥,0)		(0, )		( , +¥)
f '(x)	+	Туындысы жо	–		+
f (x)		max		min

 

 

 

Функцияны екінші ретті туындысы олданылатын экстремумны таы бір шартын келтірейік.

Теорема. функциясыны нктесінде бірінші жне екінші туындылары бар болсын. Егер нктесінде функциясыны бірінші туындысы нлге те, яни болса, ал екінші туындысы нлден ерекше, яни болса, онда - экстремум нктесі болады:

1) егер болса, онда – минимум нктесі;

2) егер болса, онда – максимум нктесі болады.

Функцияны кесіндідегі е лкен жне е кіші мндері. Функция зіні е лкен жне е кіші мндерін экстремум нктелерінде не кесіндісіні шеткі нктелерінде абылдауы ммкін. Е лкен жне е кіші мндерді табу шін алдымен функцияны кдікті нктелерін (не туынды нлге те, не туынды жо нктелер) табу керек. Содан со функцияны кдікті нктелеріндегі жне кесіндіні шеткі нктелеріндегі мндерін тауып, оларды ішінен е лкен жне е кіші мндерді іздеу керек.

3-мысал. функциясыны кесіндісіндегі е лкен жіне е кіші мндерін табу керек. Кдікті нктелерді табамыз:

Осыдан - кдікті нктелер. Енді функцияны кдікті нктелердегі жне шеткі нктелердегі мндерін табамыз: . Сонымен _{лкен кіші} .