Гаусс-Остроградский формуласы

Беттік интегралдар

-те тегіс D бетін арастырамыз.Ол зіні барлы нктелерін де згешеленбеген деп есептейміз,яни оны ,мндаы параметрлік берілу кезінде оны Якоби матрицасыны рангы максималды жне екіге те.Алдымен, облысы квадрат деп есептейік.Оны саталан V блінуді табасымен те квадраттарын аламыз.Мнда нктесі бл абырасымен квадратыны сол жа тменгі брышыны тбесі. квадратына сйкес келетін D бетіні элементі- облысын арастырамыз,яни .Сондай- а , квадратына жауапты, нктесінде D бетіне жанама жазытыты блігі- нктелер жиынын арастырамыз.D бетіні нктесінде аныталан, матрицасыны тиісінше бірінші жне екінші баандары болатын оан жанама екі векторлар жне , яни .Якоби матрицасыны згешеленбегендік шартына байланысты ,кез келген нктесі шін векторлы кбейтіндісі нлден згеше.Бетті ерекше нктесі деп оны мынадай Якоби матрицасыны рангы екіден кем нктесін айтады.

векторын арастырамыз.

Анытама 1. параметрлеуіне жауапты,D бетіне жргізілген нормал деп векторын айтамыз.Мндай атау былай берілді,йткені векторы жне векторларыны жанамасына перпендикуляр.Дербес жадайда , кезінде мынаны аламыз: векторы жазытыыны жанамасына перпендикуляр.Егер квадраты абырасыны зындыы болса,онда параллелограмды бейнелейді жне оны ауданы - а те,мндаы D векторына жанама жне векторлары нктесінде алынан.Егер D бетіні баса параметрлеуі берілсе,онда немесе тедіктеріні бірі рашан орындалады.Олай болса , жне векторларыны скалярлы кбейтіндісіне те функциясы бар боланы екі мнді +1 жне -1-ді абылдайды.Біра бл функция -де зіліссіз.осыдан олне +1-ге тепе-те,не -1-ге тепе-те.Бл параметрлеуді алмастыру кезінде бізбен аныталан D бетіне жргізілген нормаль D-ны барлы нктелерінде не згермейтінін,не D-ны бірден барлы нктелерінде зіні баытын згертетінін білдіреді.Сондытан,ерекше нктелерсіз осы тегіс бетті кейбір параметрлеуіне жауапты бетке жргізілген нормаль онда оны абырасын бледі.Блінген абыралы бетті екіжаты бет деп атайды

Анытама 2. Параметрлеуді кмегімен D бетіні бір абырасын блу D бетін бадарлау деп аталады.D бетінде ш айнымалы функциясы берілген болсын.саталан V блінуге жауапты,келесі трт интегралды осындыны арастырамыз:

;

Бдан,дербес жадайда ,келесі рнекті аламыз: мндаы . жне шін рнекті осыан сас жазуа болады,яни онда cosx –ты ке жне A= A(u,) -ны , ауыстырамыз. нормалыны векторын келесі трде беруге болады:

Анытама 3.Егер кезде интегралды осындыны шегі , онда ол D беті бойынша функцияны бірінші текті беттік интегралы деп аталады.Осы интегралды былай белгілейді:

Анытама 4.Егер кезде, интегралды осындыларыны шектері , онда оларды параметрлеуге жауапты D бетіні абырасы бойынша функцияны екінші текті беттік интегралы деп аталады.Осы интегралдарды былай белгілейді: .

Мндаы табасы екінші текті беттік интегралды D жазы жиыны бойынша дадылы ос интегралдан ажыратуды білдіреді.Бл таба жиі алынып тасталады. интегралдарда дифференциалды трді орнына мынадай трлерді енгізуге болатынын атап теміз: жне осы дифференциалды трді екінші текті интегралын арастырамыз.Оларды анытамасынан тікелей шыатын бірінші жне екінші текті интегралдара енгізілген екі асиетін келтіреміз.

1)Келесі тедік дрыс мндаы

2)Теорема 1.(ос интеграла беттік интегралды млімет туралы) D бетіне компактылы,Жордан бойынша лшемді ,згешеленбеген (ерекше нктелерсіз), функциясы тегісте зіліссіз болсын.Онда келесі тедіктерді орны бар:

 

Длелдеуі.исысызыты интегралдарды айырмашылыы мнде негізінде ештеені длелдемейді,йткені интеграл астындаы функция оларды D компактіде зіліссіздігіне байланысты ,интегралданатын болады.Сондытан кезде тиісті интегралды осындылар осы интегралдарды мніне жинаталуа міндетті.Длелденді.

Мысал.1) D бетін ,яни жоары жарты сфераны “сырты келбетін” арастырамыз.\оны дгелегіні бейнесі ретінде бейнелеуі кезінде беруге болады. екенін крсетейік.Шынында да , параметрлеуі шін мынаны аламыз: , .Олай болса Енді .

Мысал . 2)D беті тедеуімен берілген болсын , мндаы - тегіс функция , Интегралдау D бетіні жоары жаы бойынша жргізіледі,яни бл жадайда Осы жаын арылы белгілейміз.Сонда

Бетті ауданы

Бет дегеніміз не? андай бетті арастырамыз?Екі х жне у айнымалылы кейбір g(x,y) функциясы шін z=g(x,y) тедеуін анааттандыратын (x,y,z) нктелеріні жиынын Q бет деп атаймыз , рі (x,y) нктесі xOy жазытыындаы кейбір жиына жатады.Негізінде g(x,y) функциясынан барлы жерде зіліссіздік талап етіледі,тек Жорданны нлдік млшеріні L жиынынан баса да болуы ммкін.xOy жазытыындаы Q бетіні проекциясы D облысы бойынша лшенетін компакт деп йарайы . лшенетін жиындарыны рбіріне сйкес шекарадаы нктелерін аламыз.Жазытытаы проекциялар кезінде бл нктелерге Q бетіндегі нктелері сйкес келеді. блар нктесінде Q бетіне жргізілген нормаль мен Oz осі арасындаы брыштар болсын. нктесі арылы тетін жне xOy жазытыында зіні проекциясы болатын D облысы бар,жанама жазытыыны блігін арастырамыз."абыршаты" бетті аламыз.Сызыты алгебрадан белгілі,оны ауданы мынаан те:

Q бетіні ауданы деп

шамасын айтамыз.Бетті тедеуіні трі z=g(x,y) боландытан , Q бетіні N нктесіндегі оны нормалін мына трде беруге болады:

.

Сондытан, аламыз .Бдан .

Сонымен,соншалыты ата емес геометриялы йарымнан шлшемді кеістіктегі бетті ауданыны формуласын аламыз.

Анытама 22. n-лшемді -кеістігіндегі Q бет деп мынадай , нктелері жиынын ,мндаы айтамыз.рі D облысы шектелген жне Жордан бойынша лшемді бейнелеуі Q жиыны нктелеріндегі D жиыныны ішкі нктелеріні зара бірмнді бейнелеуі жне жорданны нлдік лшемі болатын L жиынынан басаны брінде зіліссіз.Егер функциясы зіліссіз болса,онда нктесінде бейнелеуі де зіліссіз дербес туынды бар болса ,онда бейнелеуін тегіс деп атаймыз.

Ескерту.Q бетті ртрлі тсілмен беруге болады.Жоарыда крсетілген Q бетті берілуі параметрлік (немесе Q жиынын параметрлеу ) деп аталады.Параметрлеуді тадау да ртрлі болуы ммкін .Кез-келген бекітілген жне мндерінде Q-даы жне тріндегі исытар Q бетіні исысызыты координатасы деп аталады. нктесіні рбіріне исысызыты координатаны жбы сйкес келеді.

Анытама 23. Егер оны берілген бейнелеуі тегіс болса,онда Q бетін тегіс деп атаймыз.Егер бейнелеуіні Якоби матрицасыны рангісі максимал яни 2-ге те болса,онда тегіс бетті ерекшеленбеген деп атаймыз.лшемді анытауа яни ерекшеленбеген кеістіктегі жиындар ауданы ымын анытауа мытыламыз.Ол шін алдымен,жиын ауданы жне лшемі андай асиеттерге ие болуы керек екенін анытауымыз керек.лшемні дадылы асиеттерінен блек (монотондыы,аддитивтілігі,кеістікті ортогональды туелділігіне атысты инварианттылыы,параметрлеуді туелсіздігі) жадайында яни "жазы" бейнелеу шін формуласыны болуы ажет ,мндаы бейнелеуіні Якобианы :

.

йарымны арапайымдылыы шін , жазы D жиыны бл тйы шаршы деп йарамыз.Онда бл жадайында D бейнесіні лшемі бл D шаршысына те шаршыларына Т бліну шін интегралды осынды кезіндегі шегі :

,

Мндаы бл шаршысыны сол тменгі тбесі Q фигурасы ауданыны формуласын орыту кезінде саны параллелограмны ауданына те болатынын креміз.Онда бейнелеуін тріндегі сызыты бейнелеуіне ауыстыру кезінде шаршысына кшеді,мндаы бл нктесіндегі бейнелеуіні Якоби матрицасы.Сонымен , есептеу кезінде біз шаршыларына D блінуін аламыз,ал содан со рбір шаршысы шін бейнелеуін сызыты бейнелеуімен алмастырамыз.Мндай алмастыру кезінде , бейнені ауданы неге те болады? Барлы жптары бойынша алынан аудандарды осындысы интегралды осындысын береді.

Сол нобайды Q бетіні ауданы анытамасыны негізіне ойса жне жалпы жадайда яни Д шаршыны Т блінуін те шаршыларымен алу керек.Содан со , бейнелеуін сызыты бейнелеуіне алмастырса

жне лшемін осамыз.Сонда

аламыз.

Анытама 24. Егер кезінде шегі бар болса,онда бл шекті Q бетіні ауданы деп атаймыз.Енді шамасын есептеу жне оны шегін табу ана алды.Ол шін бейнелеуі кезінде жне векторлары

,

векторларына кшеді.Векторлар жне -ден рылан параллелограмны ауданын табу керек.Ол шін сызыты алгебраны формуласын олданамыз,яни ол келесіні тжырымдайды:

Осы формуланы арапайым орытындысын келтірейік.Векторлар жне -ден рылан параллелограмм ауданыны формуласыны трі мынадай болады:

.

Осы формуланы трлендірейік.Сонда :

Олай болса,

.

Сонымен , мынаны аламыз:

Функция D-да зіліссіз,сондытан

шегі табылады.Басаша айтанда

Соы интегралды меншікті де,меншіксіз де болуы ммкін екенін байаймыз.абыралары болатын параллелограмны ауданы :

те.Бдан бетті ауданы шін формуланы аламыз:

Мысалы 1. Жоары жарты сфераны бетіні ауданы 2 -ге те.

мндаы .Олай болса,

Полярлы координатаа кшеміз :

2)Екі лшемді торды ауданы Д облысында параметрді згерту тедеуімен берілген

Сонда ,

,

Бдан мынаны аламыз:

Векторлы рісті дивергенциясы жне роторы

Гаусс-Остроградский формуласы

Бл фомула ш лшемді кеістіктегі Грин формуласыны аналогы болады.

Т5. (Гаусс-Остоградский формуласы)

1) жиыны-дес, Жордан бойынша лшемді, компактылы.

2)V жиыны S шекарасы-згешеленбеген (ерекше нктелерсіз) бліктік – тегіс кеістік ;

3) V жиынындаы тегіс функциялар берілген. Онда мына формуланы орны бар:

Мнда тедікті сол блігіні интегралы бетіні сырты жаы бойынша алынатын екінші текті интеграл, ал тедікті о блігі - жиыны бойынша кдімгі ш еселі интеграл. Длелдеуі. Грин формуласын длелдеу кезіндегідей, жадайын арастрамыз. бетін жазытыына проекциялап жне Д арылы бл проекцияны белгілейміз. -ны дестігіне байланысты, осіне параллель жне Д-ны иятын рбір тзу кесінді бойынша -ны ияды. болсын, онда осы кесіндіні тменгі шетіні координаты , ал кесіндіні жоары шетіні координаттары облысыны шекарасын білдіретін болсын. Сонда Д беті з бліктік-тегіс блікке блінеді.

Мнда беті шін интегралдау оны тменгі жаы , соында бетіні бйір блігін біліретін беті шін, осіне перпендикуляр нормаль жаы бойынша жргізіледі жне Д-а атысы бойынша сырты нормалі болады. Беттік интегралды Риман ос интегралына келтіру туралы теорема бойынша мынаны аламыз:

Одан рі

Бекітілген кезінде Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша мынаны аламыз: .

Олай болса, Длелденді.

Мысал: 1) Т1 ден денесіні клемі шін келесі рнекті беті бойынша беттік интеграл арылы аламыз: Мнда беттік интегралдар бетті сырты жаы бойынша алынады. бетті сырты жаын анытау шін оан бетті нктесі жне дес денесіні бетіне сырты нормаль баыты ретінде алса , онда берілген нктені тбесінен денесіні баса нктелерін амтымайтын осы тзуді сулесіні баыты арылы нормаль тзу жргізу керек.

2) (Гаусс интегралы) бліктік- тегіс, згешеленбеген , Жордан бойынша лшемді, компакт бет болсын. -кейбір бекітілген нкте, -бет теі айнымалы нкте , -бастапы нктесі жне соы нктесіні радиус векторы - нктесіндегі бетке жргізілген сырты нормаль болсын. Сонда мынаны аламыз:

Алдымен, нктесі жадайын арастырамыз. нктесіні координатасы , ал Р нктесіні координатасы болсын. Сонда нктесіндегі бетке жргізілген нормаль векторы -а те. Олай болса,

Гаусс-Остоградский формуласын олданып, мынаны аламыз.

 

Сонда,

Олай болса,

Егер нктесі болса , онда оны тгелімен -ті ішінде жататын шарымен оршаймыз. Осы шарды бетін арылы белгілейміз . Алдыыа байланысты мынаны аламыз:

біра тедікті орны бар боландытан , символды трде былай жазамыз:

онда, тедікке байланысты мынаны аламыз: жадайында G интегралыны мні жадайы да арастырылады.

3)(Грин формуласы)Гаусс-Остоградский формуласыны тамаша салдары ретінде математикалы физикада олданылатын таы бір грин формуласын арастырамыз. жне -зіліссіз екінші дербес туындылары бар тегіс функциялар болсын. Сондай-а дес , Жордан бойынша лшемді, шекарасымен компакт бліктік –тегіс бадарланан бет болсын. Одан баса Лаплас операторы, бет -а жргізілген сырты нормальды баыты бойынша туындысы болсын. Сонда келесі грин формуласы дрыс: шынында да , Гаусс-Остоградский формуласы бойынша мынаны аламыз : Сонда

А формуласы шін алынанды олданып, мынаны табамыз:

Соы формуладаы жне функцияларыны орындарын ауыстырамыз. Тедікті сол блігі осындай ауыстыру кезінде згермейді. Олай болса , о блікте тран рнекті де мні згермейді. Ал бл келесі тедікті береді: , яни

Соы формуланы грин формуласы деп атайды. Ол гармоникалы функцияларды зерттеу кезінде те пайдалы, яни Лаплас тедеуі анааттандыратын функция.

Грин формуласы

Екінші текті интегралды аддитивтілігіне байланысты кез келген жне исытары шін исыыны еселі нктелері болмаан жадайда , мынаны аламыз: .

Осы формула бойынша А жне С нктелері беттескен жадайда L исыы бойынша интеграл аныталады .Бл жадайда исытарыны бірігуі тйыталан исы деп аталады .

Анытама 28.Егер

1) ;

2) жне - шеттері беттесетін блікті-тегіс исытар;

3) жне исытарыны баса жалпы нктесі болмасада , онда исы , тйы блікті – тегіс исы (еселі нктелерсіз) деп аталады . Егер исыында айналып ту баыты берілсе , яни бастапы А нктесі жне соы В нктесі берілсе ,жне егер исыында бастапы нкте ретінде В , ал соысы ретінде А нктесін алса , онда L исыында кез келген ш ртрлі нктелері шін рашанда келесі нктелермен жру ретіні немесе біреуіні орны бар маынасындаы айналып ту баыты беріледі . Сондытан кез келген тйы L исыта дл екі айналып ту баыты болады , оны бірін рине о , ал екіншісін теріс деп есептеу керек .

Сезгеніміздей , сонымен дифференциалды форманы J интегралы шін о баытта алынан , тйы L исыы бойынша мынадай белгілеу олданылады .

Тйы исыты айналып туді о баытын алай тадауа болатынын анытайы.Алдымен h шеберді маызды мысалын арастырамыз. Шеберді айналып туді о баыты ретінде “саат тіліне арсы айналу баыты” алынады . Ол былай аныталады . Шеберді жоары жарты шебер жне тменгі жарты шебер -ге блеміз . Жоары жарты шеберді сана басы ретінде (1,0) координатасы мен А нктесін аламыз жне В нктесін соы нктесі деп есептейміз . Тменгі жарты шебер -ні бастапы нктесі ретінде В аламыз , ал соы нктесі деп А нктесін есептейміз . Шебер L-ге онда А нктесінде кез келген еркін алынан жанама векторды крсетіп , бірмнді айналып ту баытын беруге болады . кеістігіні хОу жазытыында L шеберді арастырамыз . Оны рбір нктесінде хОу жазытыында жататын шеберге жргізілген сырты нормалды векторы n , оан жргізілген жанама вектор берілген болсын. Егерде Oz осі бойынша баытталан е орты векторлы кбейтіндімен беттессе , онда вектор шебер L-ді айналып ту баытын береді деп айтамыз . Шеберді осы асиетін жалпы исы L-ді айналып туді о баытыны анытамасы негізінде аламыз .

Анытама 29 . хОу жазытыындаы дес Д жиыныны шекарасы болатын еселі нктелерсіз тйы блікті-тегіс L исыы болсын . Оz осі бойынша баытталан орт болсын . L исыты рбір нктесіне жанама r вектормен сырты нормалды n векторын береміз . Егер е векторы векторлы кбейтіндісімен беттессе , онда L исыында айналып туді о баыты берілген деп айтамыз . Масатымыз ,D облысыны шекарасы болатын тйы исыы бойынша исысызыты интегралмен осы облыс бойынша ос интеграл арасындаы байланысты таайындайтын Грин формуласын длелдейміз.арапайымдылы шін дес D облысы жадайын арастырамыз.

Теорема 28.(Грин формуласы)

D дес ,Жордан бойынша лшемді,компакт,тйы ерекшеленбеген блікті-тегіс исыты шекарасы болсын.Сол сияты жне функциялары D-да зіліссіз жне сонда зіліссіз дербес жне туындысы бар болсын.Онда келесі формула дрыс:

мндаы L исыы о баытта айналып теді.Длелдеуі.Тек тедігін длелдеу керек.Осыан сас тедігі дедлелденеді.Кесінді [a,b] Ox осіндегі D облысыны проекциясы болсын.Нктелер (а,0) жне (в,0)арылы вертикал x= ажне x=b тзулерін жргіземіз.D жи ын ыны дестігіне арай оны шекарасы трт блікке блінеді:x = a жне x=bтзулерінде жататын жне кесінділері (оларды райсысы тек,бір нктеден труы ммкін жне осы исытарды арасындаы жолата жататын жне исытары. жне исытарында ч шамасы траты,сондытан .Кез келген тзуі кезінде (D-ны дестігіне арай) жне исытарыны райсысын ата трде бір нктеде иып теді.Оларды тиісінше жне арылы белгілейміз,яни исыы функциясыны графигі ,ал исыы функциясыны графигі болады.

исы L-ді бліктік тегістігінен жне функцияларыны блікті – тегістігі шыады.исысызыты интегралды Риман интегралы арылы рнектелуі туралы теоремадан мынаны аламыз:

Бдан

шыады.D - да функциясы зіліссіз боландытан ,Ньютон – Лейбниц теоремасы бойынша:

аламыз.Демек, арай, формуласы дрыс.

Грин формуласы интегралыны аддитивтілігіне арай дес облыстарды шектеулі бірігуі болатын облыстар шін дрыс екенін ескереміз.

Мысал.

1)Грин формуласына сйкес D облысыны ауданы исысызыты интеграл арылы келесі трде рнектеледі:

2) екі жазы облысты тегіс зара бірмнді бейнелеуі болсын.Сондай – а бейнелеуіні якобианы облысында таьасын згертпейтін жне болсын.Сонымен бірге, -де зіліссіз болсын.Сонда (1) мысалды формуласынан шыарып,D облысыны лшемді есептеуін жргіземіз: .

исыыны тріндегі параметрлеуі берілген болсын.Сонда

исыыны сйкес параметрлеуі тедеуімен беріледі.

исысызыты интегралды Риман интегралы арылы рнектеуінен мынаны аламыз:

Біра соы интегралды исыы бойынша интеграл ретінде беруге болады:яни

мндаы егер жне исытарыны айналып ту баыты бірдей болса,ал арсы жадайда .Соы интегралды трлендіріп ,Грин формуласын олданып,мынаны аламыз:

Якобиан J табасын згертпейтін жне шамасы теріс емес боландытан,онда .Сондытан , Сонымен жазы облысты ауданын исысызыты координатада есептеу шін формула алынды.

Дарбу осындысы