Тізбек шегіні анытамасы.

 

Тізбек жне оны шегі ымдары математиканы ішкі проблемаларымен атар оны олдану жолдарында пайда болады. Мысалы, біз шбрышты ауданыны анытамасын жне оны есептеу жолын біле тра, радиусы R-ге те дгелекті ауданы деген не жне оны алай табуа болады деген срата арастырайы.

рбір n ³ 2 шін радиусы R-а те дгелекке 2 n брышты дрыс кпбрыш Sn –ді іштей сызса, онда оларды аудандары хп тізбегін райды. Бір жаынан п скен сайын Sn фигурасы дгелекке аырсыз жаындай тседі, екінші жаынан кез келген п шін Sn фигурасы дгелекпен дл беттеспейді. Онда дгелекті ауданы дегеніміз не?

Бл сраа жауап беру шін тізбекті шегі ымын енгізуіміз ажет. Шек ымыны негізі маынасы мынада: номері скен сайын тізбекті мшелері андай да бір сана аырсыз жаындайды. Сол санды тізбекті шегі деп аталады.

Анытама. Егер бізге алаанымызша аз e о саны берілсе жне айнымалы шама -ті бір мнікрсетіліп, одан кейінгі мндеріні брі мына

тесіздікті анааттандырса,траты саны айнымалы ті шегі

делінеді де, былайша жазылады: Сандар тізбегі шін бл анытаманы былайша айтуа болар еді.Егер де алдын ала кез келген аз eо саны берілсе, тесіздігі нмірден бастап орындалатын болса, онда траты сан -ны тізбекті шегі дейді де cимволымен жазады. Мндаы lіm латын тіліндегі lіmes (шек) деген сзден ысартылып алынан. Бл жадайды былайша: тізбегі траты санына мтылады деп те айтады жне былай жазады:

;тізбекті санына жинаталады деп те атайды.

Мысалы. 1) жалпы мшесі трінде берілген сан тізбегі зіні шегі -ке мтылады.

Шынында, алдын ала санын алып, тесіздігі номеріні ай мнінен бастап орындалатынын аныталы. Бл тесіздікті мына трге трлендіреміз бдан .

Демек, боланда, анытамаа сйкес арастырылып отыран тізбекті шегі болады.

2) Тізбекті жалпы мшесі былай берілсе, бл тізбекті шегі бірге те.

Шынында, кез-келген e>0шін тесіздігі боланда орындалады.

Бдан кез келген тізбекті шегі болады деген ым тумауы керек.

Мысалы. Тізбекті мшелері мына формулалармен берілсе

мнда k-ны лкен номерлерінен бастап, жп номерлі мшелеріні нольден айырмашылыы керегінше аз болады да, та номерлері мшелеріні бірден айырмашылыы аз болады. Сондытан тізбекті шегі болмайды.

Анытама. Егер алдынала берілген рбір о сан М шін айнымалы -ті бір мнікрсетіліп жне кейінгі мндеріні брі мына тесіздікті анааттандырса, шексіздікке мтылады дейміз. Бндай айнымалы шаманы шексіз лкен айнымалы шама деп, cимволымен белгілейді.

Мысалы. тізбегі шексіздікке мтылады.

e саны. функциясыны шегі

Жалпы мшесі трінде берілген сан тізбегіні шегін e саны деп атайды, яни . e-саны иррационал сан жне оны жуы мні мынадай e=2.71828128.... .

Теорема. . (**)

(**)-формуласын 2-ші тамаша шек деп атайды.

Егерде (**) формулада десек, онда х®¥ Þ a®0 (a¹0) болады да, ол формуланы былай жазуа болады: . e-cанын пайдаланып шыарылатын кейбір шектерді келтірейік:

1) .

2) e .

3) .

3') .

4)

5)

6)

 

Егерде шегін жне болан жадайда есептеп шыару керек болса, онда тріндегі аныталмаанды алар едік.

Бл секілді аныталмаандытарды ашу шін, берілген функцияны

негізі мен дреже крсеткішін мына формуланы

олдану ммкін болатындай етіп трлендіру керек .

Мысалы.

.

Осыдан, , жадайда, мына формула табылады

(бл жерде зіліссіз функцияларды композициясыны зіліссіздігі пайдаланылды).

Мысал келтірейік,

.

Ескерту. Егер логарифмдерді негізін e деп алса, мндай логарифмдер натуралдылогарифмдер, не неперлік логарифмдер делінеді. Непер (1550-1617)- логарифм кестелерін алашы жасаушыларды бірі.

Егер х=e^y болса, y-ті х саныны натуралды логарифмі дейді, y=lnx деп жазады (y=log_ex деуді орнына).

Бір санны онды логарифмі мен натуралды логарифмдеріні байланысын былай табады.

Егер y=lgx, не х=10^y болса, оны е негізінде логарифмдесек lnx=y×ln10, .

Егер десек, lgx=М×lnx болады. М-ауысу модулі деп аталады.

Осылайша, егер санны натуралды логарифмі белгілі болса, онда оны онды логарифмін ауысу модуліне кбейту арылы табады.