![]() |
![]() |
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
Тізбектерге арифметикалы амалдар олдану
Егер екі функцияны аныталу жиыны бірдей болып, ал мндеріні жиынында арифметикалы амалдар аныталса, онда осы екі функцияа арифметикалы амалдар олдануа болады. {xn} жне {уп} тізбектері берілсін. Осы тізбектер арылы тмендегідей сйкестікті крсетуге болады: n ® c × x n, яни n санына схп саны сйкес келеді. n ® x n + y n, яни n санына хn+ уn саны сйкес келеді. n ® x n - y n, яни n санына хn - уn саны сйкес келеді. n ® x n × y n, яни n санына хn • уn саны сйкес келеді. n ® x n /y n, яни n санына хn / уn саны сйкес келеді. Арифметикалы амалдар мен тізбектерді шектері арасындаы байланысты зерттейік. Теорема. {хn}, {уn} тізбектері берілсін жне a) b) c) d) e)
Теорема. Егер тізбекті шегі нольге те болса, ал {уn} тізбегі шектелген болса, онда {хn • уn} тізбегіні шегі бар жне нольге те.
ІІІ.Монотонды тізбектер Монотонды тізбектерді анытамасы.Негізгі теорема. Анытама. {хn} тізбегі берілсін. Егер кез келген n (n = 1,2,...) шін x n £ x n+1 орындалса, онда тізбекті кемімейтін, ал x n < x n+1 - болса, оны спелі тізбек деп атайды. Егер кез келген n (n = 1, 2,... ) шін x n ³ x n+1 орындалса, онда тізбекті спейтін, ал x n > x n+1 болса, оны кемімелі тізбек деп атайды. Осы тізбектерді барлыы монотонды тізбектер деп аталады. спелі жне кемімелі тізбектер ата монотонды тізбектер деп аталады. Мысалдар: 1°. xn -
xn
0 1 -1
2°.xn
xn
0 1 -1
3°. x n =( -1 ) n ×n - тізбегі шенелмеген, шегі жо, монотонды емес тізбек.
xn
40. x n =
. . . х3 х4
0 1 Х
5°. x n =
xn
Теорема. {хn} тізбегі монотонды болсын. Онда оны шегі бар (аырлы лде аырсыз) жне {хn} кемімейтін боланда Длелдеуі. {хn} тізбегі кемімейтін тізбек болсын. Онда тмендегі шартты тек біреуі орындалады, sup{x1 ; x2 ;...} º а - наты сан (тізбекті мндері жоарыдан шенелген). sup{x1 ; x2 ;...} = +¥ (тізбекті мндері жоарыдан шенелмеген ). 1-жадай. О e саны берілсін. Супремум анытамасы бойынша: 1)а саны {х1,; х2;...} жиыныны жоары шекарасы, яни барлы n шін x n £ а болады; 2 ) а - e саны (х1,; х2;...} жиыныны жоары шекарасы емес, яни x n e > a -e тесіздігі орындалатын тізбекті x n e мшесі табылады.
х1 х2 . . . x n e . . . . . . . . . хn
а - e а а+e
{хn} тізбегі барлы n ³ ne шін кемімейтін тізбек боландытан; x n ³ x n e тесіздігі орындалады. орытындылай келе, мынаан келеміз: рбір n > nе шін a -e < x n e £ xn £ a < a +e , тесіздігі орындалады, ал бл,
2-жадай. О e саны берілсін. Онда тізбекті одан лкен мшесі яни n e номері шін мына тесіздікті x n e >e анааттандыратындай табылады. Енді тізбек кемімейтін деп есептеп, барлы n > ne шін xn ³ xne > e тесіздігі орындалады делік, сондытан шекті анытамасы бойынша спейтін тізбек шін де теорема осы баытта длелденеді.
|