Формула интегрирования по частям
Неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x(a;b) выполняется равенство F(x) = f(x).
Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.
Если для F(x) установлено равенство dF(x) = f(x)dx, то F(x) – первообразная для f(x), так как .
Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.
Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).
Доказательство: (F + C) = F + C = f + 0 = f
По определению F+C – первообразная для f.
Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.
Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g(x) = 0.
Доказательство: Так как g(x) = C, справедливы равенства: g(x) = C = 0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).
Если g(x) = 0 при всех x(a;b), то g(x) = C на (a;b).
Доказательство: Пусть g(x) = 0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x1(a;b). Тогда для любой точки x(a;b) по формуле Лагранжа имеем g(x) – g(x1) = g()(x – x1). Так как (x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g() = 0, откуда следует, что g(x) – g(x1)=0, то есть g(x) = g(x1)=const.
Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C –число.
Доказательство: Возьмем производную от разности G – F: (G – F) = G – F = f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C – число, то есть G = F + C.
Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b)называется неопределенным интегралом и обозначается f(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.
Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.
Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F(x) = f(x) соответствует формула f(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:
Таблица 5.1.Неопределенные интегралы
| 1) dx = x + C | 7) cosx dx = sinx + C |
| 2) xdx=(1) | 8) |
| 3) | 9) |
| 4) exdx =ex+C | 10) |
| 5) axdx =axlogae+C (1) | 11) |
| 6) sinx dx=-cosx + C | 12) |
Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
Таблица 5.2.
| 1) ( f(x) dx )=f(x); | 4) d f(x)=f(x)+C ; |
| 2) f (x) dx= f(x)+C ; | 5) kf(x)dx=kf(x) dx; |
| 3) d f(x) dx= f(x)dx; | 6) (f(x)+g(x))dx= f(x) dx+g(x) dx ; |
| 7. Если f(x) dx = F(x) + C, то f(ax+b) dx = (a 0). |
Все эти свойства непосредственно следуют из определения.
Замена переменной в неопределенном интеграле
Если функция f(x) непрерывна, а функция (t) имеет непрерывную производную (t), то имеет место формула f((t))(t) dt = f(x) dx, где x = (t).
Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода.
Примеры. 1. I = cos(t3) t2 dt. Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или t2dt = dx/3.
.
. Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.
. Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и
.
. Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и
.
Формула интегрирования по частям
Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv) = uv + vu
Отсюда следует (uv)dx = (uv + vu )dx = uv dx + vu dx
Или uv dx = uv – uv dx .
Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям: u(x)dv(x) = u(x) v(x) – v(x)du(x)
Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.
Примеры. 1. I = x cosx dx. Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx; v = sinx. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается: I = x sinx – sinx dx = x sinx + cosx + C. I = (x2 – 3x + 2) e5xdx. Пусть x2 – 3x + 2 = u; e5xdx = dv.
Тогда du = (2x – 3) dx; . .
К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 2x - 3 = u; e5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2dx; , и окончательно получаем:
;
В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:
.
Представим дробь в виде суммы двух дробей: и , и попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства получим систему уравнений
с решением . Отсюда следует: .
Полученный интеграл в обиходе обычно называют «высоким логарифмом». Метод, которым он был найден, называется методом «неопределенных коэффициентов». Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.