ОБЫКНОВЕННЫЕ Дифференциальные уравнения
Пример 19.1. Предельные затраты однопродуктовой фирмы заданы соотношением .
Найти функцию полных затрат , если фиксированные издержки
фирмы составляют
ден. ед.
Решение. Напомним, что предельные издержки равны . Это значит, что полные издержки можно найти путем интегрирования функции предельных издержек:
.
Условие позволяет определить значение
. Таким образом, получаем функцию полных издержек
.
Ответ: .
Пример 19.2. Предельный доход однопродуктовой фирмы от реализации производимой продукции задан соотношением .
Найти функцию дохода .
Решение. Напомним, что предельный доход равен . Это значит, что функцию дохода можно найти путем интегрирования функции предельного дохода:
.
Условие (если фирма ничего не продает, то ее доход равен нулю) позволяет определить значение
. Таким образом, получаем функцию дохода формы
.
Ответ: .
Задача 19.
Предельные затраты однопродуктовой фирмы заданы соотношением . Найти функцию полных затрат
, если известны фиксированные издержки
фирмы.
19.1. ;
19.2. ;
19.3. ;
19.4. ;
19.5. .
Предельный доход однопродуктовой фирмы от реализации производимой продукции задан соотношением . Найти функцию дохода
.
19.6. ;
19.7. ;
19.8. ;
19.9. ;
19.10. .
Пример 20. Динамика процентной ставки определяется уравнением
,где функцияинвестиций
задана в виде
, а функция сбережений
.
Вывести уравнение динамики процентной ставки , если в начальный момент
она составляла
.
Определить уровень процентной ставки в момент времени .
Решение. Из условия задачи следует, что . разделяя переменные в дифференциальном уравнении, получаем
. Интегрирование полученного уравнения
дает его общее решение . Использование начального условия
позволяет найти значение константы.
.
Получаем уравнение динамики процентной ставки .
Тогда при получаем
.
Ответ: ;
.
Задача 20.Динамика процентной ставки в классической макромодели определяется уравнением
,где
–функцияинвестиций,
– функция сбережений, а – параметр.
Вывести уравнение динамики процентной ставки , если в начальный момент
она составляет
.
20.1. ;
20.2. ;
20.3. ;
20.4. ;
20.5. ;
20.6. ;
20.7. ;
20.8. ;
20.9. ;
20.10. .
Пример 21. Динамика основных производственных фондов (ОПФ) отрасли определяется дифференциальным уравнением
, где
ден. ед. – объём инвестиций в момент времени
, а
– коэффициент выбытия основных фондов. В начальный момент времени
объём фондов составлял
ед.
Найти стационарное решение уравнения .
Вывести уравнение динамики основных производственных фондов .
Построить график функции .
Решение. Найдем стационарное решение уравнения :
.
Уравнение динамики ОПФ можно записать в виде . разделяя переменные в дифференциальном уравнении, получаем
.
Интегрируя полученное уравнение
,
получаем его общее решение .
Использование начального условия позволяет найти уравнение динамики основных производственных фондов
.
![]() |
Для построения графика функции







Ответ: 1) ; 2)
.
Задача 21.Динамика основных производственных фондов (ОПФ) отрасли определяется дифференциальным уравнением
, где
– объём инвестиций в момент времени
, а
– коэффициент выбытия основных фондов. В начальный момент времени
объём фондов составлял
ед.
Найти стационарное решение уравнения .
Вывести уравнение динамики основных производственных фондов .
Построить график функции .
21.1. ![]() | 21.6. ![]() |
21.2. ![]() | 21.7. ![]() |
21.3. ![]() | 21.8. ![]() |
21.4. ![]() | 21.9. ![]() |
21.5. ![]() | 21.10. ![]() |
Ответственность за сведения, представленные в издании, несут авторы.
Учебное издание