Теориялы механиканы негізгі ымдары 3 страница

8. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1986. – 448 с.

9. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. – М.: Высш. шк., 1983.

10. Бутенин Н.В. и др. Курс теоретической механики. В двух томах: Том 1 «Статика и кинематика», Том 2 «Динамика». – СПб.: Издательство «Лань», 2002. –736 с.

 

2лекция

Кштер жиындарын арапайым трге келтіру. Кштерді тепе-тедік шарттары

 

Жинаталатын кштер жиыны. Жинаталатын кштер жиыныны те серлі кшін анытауды геометриялы дісі. сер сызытары бір нктеде иылысатын кштер жиыны жинаталатын кштер жиыны деп аталады. Берілген барлы кштерді сер сызытары бір жазыта жатса, онда кштер жйесін жазы жинаталатын кштер жиыны деп, ал ол кштерді сер сызытары р трлі жазытыта жатса, кеістіктегі жинаталатын кштер жиыны деп атайды.

Кшті оны сер сызыы бойымен сырытуа болады, сондытан сер сызытары иылысатын нктеге жинаталатын кштерді рдайым кшіруге болады.

Теорема. Жазы жинаталатын кштер жиыныны те серлі кші сол кштерді векторлы осындысына те, оны сер сызыы кштер жинаталатын нктеден теді.

 

атты денені нктелеріне , сер сызытары нктесінде иылысатын, кштер тсірілген делік (18, а - сурет). Осы кштерді сер сызытары бойымен сырытып, оларды орта нктесі нктесіне келтірейік. Сонда жинаталатын кштер жиыны бір нктеге тсірілген кштер жйесін райды (20, b - сурет).

Жинаталан кштерді осуа болады, ол шін 21, а – суретте крсетілген, жктелген денені арастырайы.

Параллелограмм ережесіне сйеніп, алашы екі мен кштерін осып оларды те серлі кшін, аламыз (21, b – сурет)

 

 

Одан кейін, жне кштерінен параллелограмм ру арылы кшін табамыз

 

 

Келесіде жне кштерінен параллелограмм рамыз да кшін табамыз

 

 

Енді пен кштерін осып кшін табамыз

 

 

мндаы - берілген бес кш жйесіні те серлі кші (21, b – сурет).

Осы сияты пайымдай отырып, кез келген млшердегі жинаталатын кштерді осып, нтижесінде оларды те серлі кшін, анытауа болады

 

 

немесе ышамдап жазса

 

. (12)

 

Жинаталан кштерді те серлі кшін анытауды арастырылан дісін геометриялы діс деп атайды.

Енді берілген кштерді те серлі кшін, шбрыш ережесін пайдалана отырып анытауын арастырайы (21, b – сурет). Алдымен жне кштерін осайы. Ол шін, кез келген О нктесінен баыты мен масштабын сатай отырып, кшін трызайы, оны шынан кшін, салайы. О нктесін кшіні шымен осып, осы кштерді те серлі кшін анытайы, яни

 

 

Сонан со кшіні шынан шін,ші кшін, салайы. Таы да, О нктесін соы кшін,і шымен осып, осы кштерді те серлі кшін табамыз

 

 

кшіні шынан кшін, жргізейік. О нктесін кшіні шымен осып, жне кштеріні осындысын аламыз

 

 

Осы кшті шына соы кшін трызып, соы кшті шын О нктесімен осып кшін немесе берілген жинаталатын кштер жйесіні те серлі кшін аламыз

 

 

Трмыста, аралытаы , жне векторларын трызбай-а, жоарыда крсетілген ретпен кштерді баыты мен шамаларын сатай отырып, бірін-біріне тіркестіре салып жне алашы кшті бас нктесін соы кшті шымен осып, те серлі кшті анытауа болады.

Трызылан кпбрышты (21, b – сурет) кштер кпбрышы деп атайды. Осы кпбрышты тйытаушы абырасы берілген кштер жйесіні те серлі кшін, кескіндейді. Те серлі кш баыты рдайым сйкесінше біртіндеп берілген кштерді осумен трызылан кпбрышты орыту баытына арама-арсы болады.

Жинаталатын кштер жйесіні тепе-тедік шарты. Кейде кштер кпбрышын трызанда соы осылатын кшті шы алашы кшті бас нктесіне сйкес келуі ммкін (22 – сурет), яни жинаталатын кштер жиыныны те серлі кші нлге те болады.

Бл жадайда жинаталатын кштер жйесі тепе-тедікте деп аталады.

(13)

немесе,

 

 

Сонымен, жинаталатын кштер жиыныны тепе-тедікте болуы шін, кштер кпбрышыны тйыталан болуы ажет жне жеткілікті. Бл тжырым жинаталатын кштер тепе-тедікте болуыны геометриялы шарты деп аталады.

Жазы жинаталатын кштер жыныны те серлі кшін, анытауды аналитикалы дісі. Бір нктеге тсірілген екі кшті те серлі кшіні модулі мен баытын аналитикалы тсілмен де анытауа болады, ол шін, шбрышын арастырайы (23 - сурет). , .

Косинустар теоремасы бойынша,

 

 

,

 

бдан те серлі кші модулі,

 

(13)

 

Синустар теоремасы бойынша,

 

. (14)

 

Осы тепе-тедіктен те серлі кшті сер ету баытын анытаймыз

 

. (15)

 

Екі кшті осуды дербес жадайларын арастырайы:

1) Егер болса, онда .

атты денені бір нктесіне бір тзуді бойымен бір баытта тсірілген екі кшті те серлі кшін,і шамасы кштер шамаларыны осындысына те жне сол тзуді бойында кштер баытымен баытталады.

 

 

2) Егер болса, .

атты денені бір нктесіне бір тзуді бойымен р трлі баытта тсірілген екі кшті те серлі кшін,і шамасы кштер шамаларыны айырымына те жне сол тзуді бойында лкен кш баытымен баыттас болады.

3) Егер болса, онда .

атты денені бір нктесіне зара перпендикуляр тсірілген екі кшті те серлі кшіні шамасы мен баыты осы кштерден трызылан тік тртбрышты диагоналына те.

Енді жазы жинаталатын кштер жиыны берілсін делік.

 

 

Бл жиынны те серлі кші

 

.

 

Берілген кштерді сер жазытыынан тікбрышты координаталар жйесіні стерін тадап алып, берілген кштер жйесі мен оларды те серлі кшін, осы стерге проекциялайы.

осынды векторды кез келген с баытына тсірілген проекциясы осылыш векторларды сол стегі проекцияларыны осындысына те болатыны математикадан бізге белгілі, яни

 

Олай болса,

 

; , (16)

 

мндаы: , - пен стеріндегі берілген кштерді проекциялары;

, - осы стердегі те серлі кшті проекциялары.

Сонымен, те серлі кшті рбір координата стеріндегі проекциялары сол стердегі берілген кштерді проекцияларыны осындысына те болатынын тжырымдады. Егер пен аныталан болса, жазы жинаталатын кштер жиыныны те серлі кші -ді модулі мен баыттаушы косинустарын алдыы таырыптарда алынан (2) жне (3) рнектерін олдана отырып тауып алуа болады.

Те серлі кшті модулі

; (17)

 

те серлі кшті баыттаушы косинустары

 

; . (18)

 

Жазы жинаталатын кштер жиыныны тепе-тедігіні аналитикалы шарты. Егер берілген жазы жинаталатын кштер жиыны тепе-тедікте болса, онда жйені те серлі кші нлге те, яни .

Ал те серлі кш нлге те болса, демек оны проекциялары да нлге те болады,

 

; ,

 

немесе (16) рнек бойынша,

 

; . (19)

 

Осы рнек жазы жинаталатын кштер жиыныны тепе-тедігіні аналитикалы шарты деп аталады. Бл шарт былайша тжырымдалады: жазы жинаталатын кштер жиыны тепе-тедікте болу шін,, осы кштерді екі координата стеріні райсысындаы проекцияларыны алгебралы осындылары нлге те болуы ажет жне жеткілікті.

Тепе-тедік тедеуі берілген кштер жиыныны екі белгісіз элементтерін анытауа ммкіндік береді, мысалы, бір кшті модулі мен баытын немесе баыттары белгілі екі кшті модулін табу.

 

Жазы параллель кштер жйесі. Бір баытталан екі параллель кшті осу. сер сызытары бір жазыта жататын жне параллель болатын кштер жиынын жазы параллель кштер жиыны деп айтады. Физика курсынан белгілідей (24, а - сурет) бір баытталан екі параллель кшті те серлі кші берілген кштер осындысына те де, осы кштерге параллель жне баыттас болады, ал оны сер сызыы берілген екі кшті тсу нктелерін осатын кесіндіні сол кштерді модульдеріне кері пропорционал болатындай етіп екі блікке іштей блетін нктеден теді, яни

 

, , , , .

 

Осы пропорциялы атынастан тмендегідей туынды пропорция ра аламыз:

 

,

немесе,

 

.

 

Жоарыдаы тжырымдаманы бір баытталан екі параллель кшті осу теориясы немесе бір баытталан екі параллель кшті осу деп атайды.

арама-арсы баытталан екі кшті осу. Екі арама-арсы баытталан, модульдері те емес екі параллель кшті осуды арастырайы.

Теорема. Модульдері те емес арама-арсы баытталан екі параллель кшті те серлі кш берілген кштер айырмасына те де, осы кштерге параллель жне лкен кшпен баыттас болады, ал сер сызыы берілген екі кшті тсу нктелерін осатын кесіндіні сол кштерді модульдеріне кері пропорционал болатындай етіп екі блікке сырттай блетін нктеден теді.

атты денені жне нктелерінде жне кштері тсірілген болсын, сонымен атар деп берілсін. Осы екі кшті те сер кшін анытайы (24, b - сурет). Ол шін кшін зімен баыттас екі параллель кшке жіктейік

 

; .

 

Мндаы раушы кшті нктесіне тсіріп, шамасы жаынан болатындай етіп алайы, яни

Олай болса берілген кштер жиыны бір кшке эквивалентті

 

Сонымен, арама-арсы баытталан екі параллель кшті те серлі кші болатынын длелдедік. Енді осы кшті модулі мен тсу нктесін анытайы. Ол шін, бір баытталан екі параллель кшті осу теоремасы негізінде мынадай тедік рамыз

 

 

Бл жерде екенін ескерсек,

 

 

 

Осы рнектерден те серлі кшті модулі мен тсу нктесі аныталады, яни

 

 

немесе .

 

Сонымен, теорема толыымен длелденді.

Екі параллель кшті те серлі кші берілген кштерді алгебралы осындысына те екенін атап тейік.

Егер атты денеге параллель кштер иыныі тскен болса, оны те серлі кшіні модулін, баытын жне тсу нктесін параллель кштерді осу ережесін берілген кштер жиынына біртіндеп пайдалана отырып анытауа болады.

Параллель кштер жйесіні те серлі кші берілген жиын кштеріні алгебралы осындысына те екені айын

 

.

 

Сонымен, параллель кштерді те серлі кші оларды алгебралы осындысына те

 

. (20)

 

Те серлі кшті тсу нктесін жне баытын анытау мселесі алдыы таырыптарда арастырылады.

Атап тетін жайт, длелденген теоремаларды пайдаланып, кшті зіне параллель баыттас немесе арама-арсы баытталан екі параллель кштерге жіктеуге болады.

Бірата бл тадап алынатын раушы кшті модуліне, баытына жне тсу нктесіне атысты бірнеше шешімді статикалы аныталмаан есептер атарына жатады.

 

Жазы ос кштер жйесі. ос кш жне ос кш моменті. Жоарыда біз кштерді шамасы р трлі болан жадайдаы арама-арсы баытталан екі параллель кшті осуды арастыранбыз. Енді арама-арсы баытталан параллель екі кшті шамалары зара те болан жадайын арастырайы (I.1.25, а – сурет). , , ,

Модульдері те жне арама-арсы баытталан екі параллель кш жйесін ос кш деп атайды.

асырды басында француз алымы Пуансо (1777-1859) механикаа ос кш ымын енгізіп, ос кштер теориясын трызады. ос ымымен атар ос кш механикада негізгі ымдарды бірі болып табылады.

ос кш райтын кштер орналасан жазыты ос кш серіні жазытыы, ал кштерді ара ашытыы ос кш иіні деп аталады. ос кшті денеге сері денені айналыса келтіруге тырысатынымен сипатталады. ос кшті денеге жасайтын мндай сері кшті шамасы мен иініне, сер жазытыыны орналасуына жне осы жазытытаы ос кшті айналу баытына туелді болады. ос кш сері ос кш моментімен аныталады.