Теориялы механиканы негізгі ымдары 4 страница

ос кш моменті деп плюс не минус табамен алынан ос кш раушы кштерді біріні модулі мен оны иініні кбейтіндісін айтады (25, b – сурет)

 

. (21)

ос кш моменті мен кш моменті бірдей лшем бірлікпен лшенеді.

Егер ос кшденені саат тілі жрісіне кері баытта айналдыруа тырысса, ос кш моменті о табалы деп (26, а - сурет), ал егер саат тілі жрісімен баыттас айналдыруа тырысса, онда ос кш моменті теріс табалы деп (26, b - сурет) йарылан.

 

ос кш моментіні шамасы геометриялы жолмен аныталанда параллелограмм ауданына те (25, c - сурет).

 

. (26)

 

ос кш моментіні негізгі асиеттері. Бірінші асиеті. ос кшті те серлі кші болмайды.

Иіні болатын, ос кш берілсін делік жне болсын (27, а - сурет).

Олай болса, бл кштер жйесіні те серлі кші

 

 

те болады, ал оны тсу нктесі келесі пропорциядан аныталады

 

 

бдан

.

 

Енді кш модулі біртіндеп азайып, шамасы кшіні модуліне мтылсын делік, яни боланда

Бл денеміз берілген ос кшті болан жадайында те серлі кші болмайтынын крсетеді.

Сонымен, ос кшті бір кшпен тегеру ммкін еместігін жне ос кшті тек ос кшпен тегеруге болатынын тжырымдаймыз.

Екінші асиеті. ос кшті раушы кштеріні сер жазытыындаы кез келген нктеге атысты алынан моменттіріні алгебралы осындысы ос кш моментіне те.

Иіні болатын ос кш беріліп оны кш моменті

 

 

болсын дедік.

ос кшті сер жазытыынан андай да бір С нктесін тадап алып (27, b – сурет), оан атысты ос кшті раушы мен кштеріні моменттерін анытайы

 

 

 

Осы тедіктерді о жне сол жазытыы мшелерін зара осайы

 

 

немесе

 

 

ос кшті бл асиетінен мынаны тжырымдауа болады: кез келген момент центрлеріне атысты рылан момент тедеулеріне ос кш бірдей табамен жне бірдей шамамен кіреді, яни ос кш моментіні табасы мен шамасы момент центрінен туелсіз.

шінші асиеті. ос кшті раушы кштеріні ске проекцияларыны алгебралы осындысы рашан нлге те.

ос кші жне ос кшті сер жазытыында жататын сі берілсін делік (28 - сурет).

Суретте крсетілген жне шбрыштарыны тедігінен екені аарылады.

Бл проекцияларды алгебралы осындысы рашан нлге те, йткені проекциясы о табалы да проекциясы теріс табалы.

Атап тсек, ос кш не кш тедеулеріне, не кшті проекциялы тедеулеріне кірмейді.

 

3-лекция (2-ші лекция жаласы)

ос кштер эквиваленттілігі. Еркін атты денені механикалы кйін згертпей бір ос кшті екінші бір ос кшпен алмастыруа ммкін болса, онда бл ос кштер пара-пар немесе эквивалентті деп аталады.

1 теорема. ос кшті денеге сер, оны сер ету жазытыында баса орына ауыстыраннан згермейді.

Иіні ос кші беріліп, ос кшті иіні болатын кездейсо алынан орына ауыстыру ажет болсын делік (29, а – сурет).

мен жне мен нктелерінен, сйкесінше жне кесінділеріне перпендикуляр, параллель тзулер жргізейік (29, b – сурет). Екі параллель тзуді екінші параллель тзумен иылысады жне иылысында ромб пайда болады (йткені берілгені бойынша , ал параллелограмны бір тбесінен тсірілген биіктіктер те болса, онда ол ромб). кшін сер ету сызыыны бойымен нктесінен нктесіне, ал кшін нктесінен нктесіне тсірейік. тзуіні бойымен нктесіне, модульдері -ге те теестірілген жне кштер жиынын тсірейік; тзуіні бойымен нктесіне де модульдері -ке те, теестірілген жне кштер жйесін тсірейік, сонымен .

нктесіне тсірілген жне кштеріні те серлі кшін жне нктесіне тсірілген жне кштеріні те серлі кшін анытайы. пен кштері бірін-бірі теестіретінін аару иын емес, йткені оларды шамалары зара те жне олар ромбасыны диагоналыны бойымен арама-арсы баытта сер етеді. Сонымен, , , жне кштері теестірілген кштер жиынын райды, яни . Олай болса оларды арастырмай-а ойуа болады, сонда арастырылан кштер жиынынан тек екі кш алады, нктесіндегі кші мен нктесіндегі кші. Бл кштерді сер сызытарыны бойымен жылжыта отырып, сйкесінше жне нктелеріне тсірсек, онда иіні болатын ос кшіне пара-пар келетін иіні -ге те ос кшін аламыз (29, c – сурет), йткені кштерді , , жне модульдері жне мен иіндері те. Сонымен, берілген ос кшті баса орына ауыстырды (29, c – сурет). Бл теореманы длелденгенін крсетеді.

2 теорема. Бір жазытыта жатан, моменттері те екі ос кшті денеге серлері згермейді.

Иіні ос кші берілсін делік. Онда, ос моменті болады (30, а – сурет). ос кшке иіні бойымен сер ететін теестірілген пен кштерін біріктірейік (30, b – сурет) жне мен , сонымен атар пен кштерін ос-остап осайы. Оларды те серлі кштері мен , иіні те жаа ос кшті райды (30, c – сурет). Жоарыда жргізілген трлендірулер статиканы аксиомаларына негізделіп жргізілді жне денені алашы кйін еш згертпейді, яни ос кші денеге ос кшіндей сер етеді. Енді ос кштерді моменттеріні тедігін длелдеу керек:

 

ос кшін,і моменті ,

 

ос кшін,і моменті .

 

30, c – суреттегі сызбадан , екені крінеді, олай болса, , яни .

Теорема длелденді.

Бір жазытыта жататын, сер ететін моменттері те ос кштер статикалы тепе-те деп аталады.

Длелденген теорема бойынша берілген жазытыта жатан ос кшті айналдыру сері оны моментіне туелді, сондытан ос кшті берілуін оны моментіні шамасын крсетсе жеткілікті, онан кейін берілген немесе тадап алынан иін бойынша осатаы кшті мнін немесе кш бойынша ажетті иінді анытауа болады. Осыан байланысты суреттер мен сызбаларда ос кшті оны айналдыру серіні баытын крсететін дгелек жебемен кескіндейді. Мысалы, білеуге тсірілген ос кшті (31, а – сурет), оларды жне деп белгіленген дгелек жебемен шартты трде кескіндеуге болады (31, b – сурет).

ос кштерді осу. ос кштерді тепе-тедік шарты. Теорема. Денеге бір жазытыта сер ететін ос кштер жиыны, моменті ос кштерді моменттеріні алгебралы осындысына те болатын ос кшпен тепе-те.

Бір жазытыта жататын моменттері , жне болатын ш ос кш берілсін делік (32, а – сурет). Берілген ос кштерді олара тепе-те иіндері бірдей , жне ос кштерімен алмастырайы, яни , жне жне осы ос кштерді, оларды кштері екі параллель тзуді бойымен сер ететіндей етіп орналастырайы (32, b – сурет).

Бір тзуді бойында сер ететін кштерді те серлі кші, осы тзді бойымен баытталатыны жне модулі раушы кштерді шамаларыны алгебралы осындысына те екені бізге белгілі. Олай болса, нктелері мен нктелеріне тсірілген кштерді осып, берілген ш ос кштеріне тепе-те ос кшін, аламыз (32, c – сурет). Сонымен атар .

те серлі ос кшіні моменті , ал боландытан

 

 

немесе

(27)

 

Теорема длелденді.

(27) тедігіні жалпылама трі былайша жазылады

 

. (28)

 

Сонымен, денеге бір жазыта сер ететін бірнеше ос кштерді осу шін, осы ос кштеріні моменттеріні алгебралы осындысын анытаса жеткілікті. осу нтижесінде алынан момент те серлі ос кшті анытайды.

Егер осу нтижесінде болса, онда денеге сер ететін ос кштер теестірілген ос кштерді райды. Сонымен, ос кштер жиыныны тепе-тедігіні ажетті жне жеткілікті шарты бір тедеумен рнектеледі

 

, (29)

 

яни денеге бір жазыта сер етуші ос кштер жиыныі тепе-тедікте болу шін жиындаы ос кштер моменттеріні алгебралы осындысы нлге те болуы ажет жне жеткілікті.

Сонымен, ос кштер жиынын немесе бір ос кшті тек ос кшпен теестіруге болады.

 

Еркін орналасан жазы кштерді жиыны. Кшті берілген нктеге келтіру. Екі асырдай брын Л. Пуансо кшті кез келген берілген немесе тадап алынан нктеге кшіруге болатыны жніндегі теореманы длелдеді.

Денеге сер ететін кез келген кшін денені андай да бір нктесіне зіне-зі параллель кшіруге ажет делік (33, а – сурет). Ол шін, келтіру нктесіне кшіне параллель теестірілген , кш жйесін тсірейік (33, b – сурет), яни , , , Енді нктесінде тсірілген кшімен атар, моменті ос кш пайда болды (33, c – сурет). Бір жаынан берілген кшті келтіру нктесіне араандаы моменті де , яни .

Сонымен, денеге сер ететін кез келген кшті денені андай да бір нктесіне зіне-зі параллель кшіруге болады, бл жадайда келтіру нктесіне кшпен атар моменті берілген кшті жаа тсіру нктесіне атысты моментіне те ос кшті осу ажет.

Осы сияты кшті орнын ауыстыруды кшті берілген нктеге келтіру деп атайды, ал туындаан моменті ос кшін тіркеме ос кш дейді.

Еркін орналасан жазы кштер жиынын берілген нктеге келтіру. жазы кштер жиыны берілген делік жне оны раушы кштері бір-біріне параллель емес жне оларды сер ету сызытары бір нктеде иылыспайды (34 – сурет).

Кез келген нктесін келтіру нктесі деп алып, оан алдымен кшін келтірейік, яни нктесіне кшін ауыстырып, мо-ментін тіркейік. Одан кейін нктесіне кшін ауыстырып, оны моментін тіркейік. Баса , кштерімен де осындай рекет жасап, келтіру нктесін , кштерімен атар оларды сйкес жне моменттерін тсірейік. 34 – суретінен крінетіндей, келтіру нктесінде жинаталан кштер жиыны мен моменті берілген кштерді моментіне те тіркеме ос кштер жиыны пайда болды.