Теориялы механиканы негізгі ымдары 5 страница
Жинаталан кштер жиыныны векторлы осындысын анытап, келтірілген кштерді тепе-тедік кшін аламыз
.
Сонымен, берілген кштер жиыныны векторлы осындысына те 
кшін кштер жиыныны бас векторы деп атайды жне ол келтіру нктесіне тсіріледі. Тіркеме ос кштерді моменттеріні алгебралы осындысын есептеп, оларды тепе-тедік ос кшіні моментін анытаймыз
немесе
Берілген кштерді келтіру нктесіне араандаы моменттеріні алгебралы осындысы бас момент деп аталады.
Бас вектор мен бас моментті, жалпы жадайда жазылу трі
, (30)
. (31)
Бас кш графикалы жаынан берілген кштерден трызылан кпбрышты тйытаушы абырасы болып табылады. Бас векторды модулін аналитикалы жолмен мына формуланы пайдаланып есептеуге болады
, (32)
мнда 
.
, 
. (33)
Бас кшті баыттаушы косинустары
, 
. (34)
Бас вектор берілген жазы кштер жиыныны теестіруші кші емес, йткені ол берілген жйені тек тіркеме бас моментпен бірге алмастыра алады.
асиеттері. 1 Берілген кштер жиыныны бас векторыны модулі мен баыты келтіру нктесіні орнына туелсіз.
2 Жалпы жадайда бас моментті шамасы мен табасы келтіру нктесіні орнына туелді.
Жазы кштер жиыныны те серлі кші. Вариньон теоремасы. андай да бір еркін баытталан 
жазы кштер жиыныны бас векторы мен бас моменті 
берілген делік (35, а – сурет). Осы жиынны 
те серлі кшін анытайы.
бас моментті 
ос кшімен алмастырайы, мнда 
. ос кшті иіні 
(35, b – сурет).
Ал 
нктесіндегі пен 
кштері теестірілген кштер, яни 
, олай болса, келтіру нктесінен 
аралытаы нктеге тсірілген 
- те серлі кші ана алады. 
Сонымен, бас вектор мен бас моментті те серлі кші аныталды.
Сйкес кштерді те серлі кші мен моментіні арасындаы туелділік жніндегі теореманы француз алымы Вариньонны есімімен – Вариньон теоремасы деп аталады.
Теорема. Кез келген жазы кштер жиыныны андай да бір келтіру нктесіне атысты алынан те серлі кшіні моменті осы нктеге атысты алынан жиынны рама кштер моменттеріні алгебралы осындысына те.
Шын мнінде 35 – суретте крсетілгендей, те серлі кшті нктесіне араандаы моменті 
, мндаы 
, олай болса,
.
Демек,
.
(31) формуласына сйкес
,
сондытан
. (35)
Теорема длелденді.
Жазы кштерді келтіруді жеке жадайлары. Жазы кштер жиынын андай да бір нктеге келтірген жадайда:
1 Егер 
, 
болса, онда ол жиынды трлендіре отырып, те серлі кшке келтіруге болады. Те серлі кш бас вектормен баыттас жне шамалары те болады, ал тсу нктесі келтіру нктесінен ашытыта жатады.
2 Егер 
, болса, онда жиынды тепе-те ос кшпен алмастыруа болады.
3 Егер , 
болса, онда жиынды келтіру нктесіне тсетін те серлі кшке келтіруге болады.
4 Егер , болса, онда жиын нлге тепе-те, яни жйе тепе-тедікте болады.
Сонымен, еркін баытталан жазы кштер жиыны тепе-тедікте болу шін жиынны бас векторы мен бас моментіні нлге те болуы ажет жне жеткілікті.
, . (36)
Еркін баытталан жазы кштер жиыныны тепе-тедік шарты. Егер еркін баытталан кштерді бас векторы нлге те болса, онда оны модулі де нлге те, яни болса, онда 
немесе 
, 
.
Осы тедіктерден тепе-тедікті келесі шарттарын аламыз:
1 Еркін баытталан жазы кштер жиыныны тепе-тедікте болуы шін жиынды раушы кштеріні екі координат стеріндегі проекцияларыны алгебралы осындысы жне кш жазытыындаы кез келген бір нктеге атысты алынан кштер моменттеріні алгебралы осындысы нлге те болулары ажет жне жеткілікті
, 
, 
. (37)
Бл рнектерді тепе-тедікті шарты немесе тепе-тедік тедеуі деп атайды.
2 Еркін баытталан жазы кштер жиыныны тепе-тедікте болуы шін кез келген екі 
жне 
нктелеріне атысты жиынды раушы кштер моменттеріні алгебралы осындысы мен 
тзуіне перпендикуляр болып келмеген андай да бір стегі (мысалы, 
сін алайы) осы кштер проекцияларыны алгебралы осындысы нлге те болулары ажет жне жеткілікті
, 
, . (38)
3 Еркін баытталан жазы кштер жйесіні тепе-тедікте болуы шін жйені рама кштеріні бір тзуді бойында жатпайтын кез келген , жне 
нктелеріне атысты моменттеріні алгебралы осындысы нлге те болулары ажет жне жеткілікті
, , 
. (39)
Жеке жадай. Егер жазы кштер жиыны параллель кштер жиыны болса, онда тепе-тедік шарты мынадай трде жазылады:
1 Жазы параллель кштер жиыныны тепе-тедікте болуы шін берілген кштерге параллель стегі жиынды раушы кштер проекцияларыны алгебралы осындысы мен кш жазытыындаы кез келген бір нктеге атысты алынан кштер моменттеріні алгебралы осындысы нлге те болулары ажет жне жеткілікті
, . (40)
2 Жазы параллель кштер жиыныны тепе-тедікте болуы шін кез келген екі жне нктелеріне атысты жиынды раушы кштер моменттеріні алгебралы осындысы нлге те болуы ажет жне жеткілікті
, . (41)
Мндаы мен нктелері кштерге параллель тзуді бойында жатпауы керек.
Тепе-тедік тедеулері, негізінен, жктелген денені арастыра отырып, денеге тсірілген андай да бір кштерді шамасы бойынша байланыс реакцияларын анытауда пайдалынылады, дара жадайда тірек реакцияларын анытауда. Осы есепті шешуді жалпы аналитикалы дісті тйіні мынада: берілген дене тепе-тедікте боландытан, байланыс реакцияларын бірге есептегенде, денеге сер ететін кштерді барлыы тепе-тедік шарттарын орындауы ажет. Осы трызылан тепе-тедік шарттарынан берілген кштермен атар белгісіз реакциялар енетін тедеулер аламыз. Алынан тедеулер жйесін шеше отырып, белгісіз кштерді анытаймыз.
рбір жазы кштер жиыны шін белгілі аныталан, сйкес тепе-тедік тедеулер саны болады. Мнан, белгісіз кштерді саны трызылан тепе-тедік тедеулерді санына те крінеді. Егер белгісіз кштерді саны тедеулерді санынан аспаса, онда тедеулерді шешуге болады. Мндай есептерді статикалы аныталан деп атайды, ал егер белгісіз кштерді саны тедеулерді санынан асып тссе, есеп статикалы аныталмаан болады. Есепті статиканы дістерімен шешуге болмайды. Статикалы аныталмаан есептерді, тек денені серпімді асиеттерін ескере отырып шешуге болады, ал ол жадай теориялы механикада арастырылмайды.
Лекция