Жазы ималарды геометриялы сипаттамалары

Жазы ималарды статикалы моменттері, екпін моменттері жне кедергі моменттері. Конструкция элементтеріні кш серлеріне арсыласу абілеті оларды има аудандарымен атар сол ималарды пішіндеріне де байланысты екендігін крделі деформацияларды оып йренгенде кз жеткізуге болады. Бл тарауда жазы ималарды геометриялы сипаттамалары – статикалы моменттері, екпін моменттері мен кедергі моменттеріне тоталып, оларды асиеттерін зерттейміз.

Білеуді кез келген ауданы жазы имасын арастырайы (21 - сурет). Бл имадан координаттары шексіз кіші ауданын бліп алып, тмендегідей интегралдар райы:

(32)

Мндай интегралдармен аныталатын геометриялы сипаттамаларды иманы статикалы моменттерідейміз.

Статикалы моменттер - координаттарыны табаларына байланысты о, теріс жне нл болуы ммкін; лшем бірлігі – зынды бірлігіні шін,ші дрежесі .

Берілген иманы кез келген стеріне араанда ауырлы центріні координаттары белгілі болса, иманы статикалы моменттерін келесі рнекпен анытауа болады (21 – сурет):

(33)

Керісінше, егер иманы ауданы мен статикалы моменттері берілген болса, иманы ауырлы центрі былайша аныталады

(34)

Ауырлы центр арылы тетін стерді центрлік стер деп атаймыз. иманы центрлік стеріне араандаы статикалы моменттері нлге те.

Берілген иманы кез келген стеріне араандаы стік екпін моменттерідеп, тмендегі интегралмен аныталатын геометриялы сипаттамаларды айтамыз (22 - сурет)

(35)

Берілген иманы полюс деп аталатын, кез келген нктеге араандаы рістік екпін моменті деп, тмендегі интегралмен аныталатын геометриялы сипаттаманы айтады (I.2.22 - сурет):

(36)

мндаы полюстен шексіз кіші аудана дейінгі ара ашыты.

Берілген иманы кез келген зара перпендикуляр стеріне араандаы центрден тепкіш екпін моменті деп, тмендегі интегралмен аныталатын геометриялы сипаттаманы айтамыз:

(37)

зара перпендикуляр стерге араандаы стік екпін моменттеріні осындысы осы стерді иылу нктесіне араандаы рістік екпін моментіне те

. (38)

стік, рістік екпін моменттері мнде о шамалар, ал центрден тепкіш екпін моменттеріні шамалары о, теріс жне жеке жадайларда нлге те болады. Екпін моменттеріні лшем бірлігі – ендік бірлігіні тртінші дрежесі

Крделі иманы екпін моменттері арапайым бліктеріні екпін моменттеріні осындысына те.

стік кедергі моменттері деп иманы бірлігіне стерге араанда стік екпін моменттеріні осы стермен иманы е алша жатан нктелеріні ара ашытыына атынасын айтамыз

(39)

рістік кедергі моменті деп иманы рістік екпін моментіні полюс пен иманы е алша жатан нктесіні ара ашытыына атынасын айтады

. (40)

Кедергі моменттеріні лшем бірлігі - ендік бірлігіні шін,ші дрежесі .

стік екпін моменті мен има ауданыны арасындаы байланыс арылы табылатын шаманы

(41)

иманы екпін радиусыдеп атайды. Оны лшем бірлігі - ендік бірлік

Кейбір арапайым пішіндерді екпін моменттері мен кедергі моменттері. Іс жзінде беріктік есептерінде жиі кездесетін арапайым пішіндерді екпін моменттерін анытауды арастырайы.

Тік тртбрыш. Табаны , биіктігі тік тртбрышты ауырлы центрінен тетін, табаны мен биіктігіне параллель стерге араандаы екпін моменттері мен кедергі моменттерін анытайы (23 - сурет).

екпін моментін анытау шін, (35) рнегін пайдаланамыз. сінен ашытыта жатан екі тзумен, табаны , биіктігі , шексіз кіші ауданын бліп алайы, мндаы .

Олай болса,

Сонымен,

. (42)

Осы сияты

(43)

аламыз.

Егер , екенін ескерсек, кедергі моменттері (39) рнектер арылы аныталады, сонымен

(44)

Дгелек пен саина. Диаметрі дгелекті арастырайы (24 - сурет).

Дгелекті центрінен жне ашытыындаы, центрлері орта екі шебермен шектелген, шексіз кіші ауданын бліп алайы, мндаы

Дгелекті центрлік О нктесіне араанда рістік екпін моментін (36) рнегінен табамыз:

. (45)

Сонымен, дгелекті рістік моменті

. (46)

Дгелекті стеріне араанда (24 - сурет) екпін моменттеріні зара те екенін атап тіп, (38) рнегін ескерсек, дгелекті стік екпін моменттері

Демек,

. (47)

Дгелекті кедергі моменттерін (39) жне (40) рнектерінен анытаймыз:

, (48)

. (49)

Сырты диаметрі жне ішкісі саинаны рістік екпін моментін анытау шін, (45) рнегіндегі интегралды мен аралыында алу ажет, яни

немесе

(50)

мндаы .

Саинаны стік екпін моменттерін анытауда да (I.2.38) рнегін пайдаланамыз

(51)

Саинаны кедергі моменттері арапайым жолмен, яни (39) жне (40) рнектерін пайдаланумен аныталады:

, (52)

. (53)

Параллель стерге араандаы екпін моменттері. Бл туелділікті анытау шін, ауданы иманы (25 - сурет) арастырайы. иманы ауырлы центрінен зара перпендикуляр стері жргізілген. Ауырлы центрден тетін стерді центрлік стер деп, ал центрлік стерге араандаы екпін моменттерін центрлік екпін моменттерідеп атаймыз.

иманы центрлік екпін моменттері берілген деп арастырып, центрлік стерге параллель стеріне араандаы екпін моменттеріні шамаларын анытайы.

Блініп алынан шексіз кіші ауданыны жйесіндегі координаттары , ал жйесіндегі координаттары болсын. Онда, анытама бойынша, иманы сіне араандаы екпін моменті

Анытама бойынша, мндаы

; ;

жне центрлік ске араандаы иманы статикалы моменті нлге те, олай болса

Дл осылай жне аныталады, сонымен

;

; (54)

яни, иманы кез келген центрлік сіне параллель ске араандаы стік екпін моменті, центрлік екпін моментіне иманы ауданын осы стерді ара ашытыыны квадратына кбейтіп осана те, ал центрден тепкіш екпін моменті, центрлік стерге араандаы центрден тепкіш екпін моментіне иманы ауданын осы стерді ара ашытытарына кбейтіп осана те.

Брылан стерге араандаы екпін моменттеріні байланысы.Суретте крсетілген (26 - сурет) иманы жне стеріне араандаы жне екпін моменттері берілген болсын делік. Енді с жйесін андай да бір брышына брайы жне, мендегідей, саат тіліне арсы брылан брышты о табалы деп йарамыз. деп абылдайы. Жаа жне стеріне араандаы екпін моменттерін анытайы.

Ол шін, шексіз кіші ауданыны пен жйелеріндегі координаттарыны арасындаы зара байланысын анытайы ( )

Олай болса,

жалпы (35) задылыа байланысты

Центрден тепкіш екпін моментін (37) рнегінен табамыз

Сонымен,

(55)

(56)

(57)

Алынан (55) жне (56) рнектерін осса

(58)

екенін креміз, яни зара перпендикуляр стерге араандаы екпін моменттеріні осындысы осы стерді кез келген брыша браннан згермейді.

Екпінні бас стері мен бас моменттері Жоары рнектер брылан стерге араандаы екпін моменттеріні шамалары брылу брышына туелділігін крсетеді, яни брылу брышыны андай да бір мнінде брылан стерге араандаы екпін моменттері экстремальді мндеріне жетуі ммкін. Осы брышты мнін анытап крейік. Ол шін (I.2.55) немесе (I.2.56) рнегінен бір рет туынды алып, оны нлге теестірейік

немесе

бдан

. (59)

Бл формула бойынша брышты екі мні бар: бірі - , екіншісі - .

Осыдан мынадай тжырымдама жасауа болады: екпін моменттері экстремальді мндеріне орны (59) рнегімен аныталатын, зара перпендикуляр, екі ске араанда ие болады. Бл стерді бас екпін стері деп, ал осы стерге араандаы стік екпін моменттерін бас екпін моменттері деп атайды. Бас екпін стеріне араандаы центрден тепкіш екпін моменті нлге те. Бас екпін стерін деп белгілеу абылданан.

Егер (59) формуласынан аныталан брыш болса, бас екпін стері алашы стеріне араанда саат тіліні жрісіне арама-арсы баытта брылады, ал болса, саат тіліні жрісі баытымен брылады.

Енді бас екпін моменттері мндеріні аныталу жолын арастырайы. Ол шін, (55) жне (56) рнектеріндегі - ны орнына -ді ойып, бас екпін моменттерін анытайтын рнектер аламыз

(60)

Белгілі тригонометриялы функцияларды пайдалана отырып, бас екпін моменттерін анытайтын (60) формулаларын келесі трге келтіруге болады

. (61)

Егер болса, максимум сі сіне, ал болса, максимум сі сіне жаын орналасады, яни егер болса, , ал болса, .

стік екпін моменті мен има ауданыны арасындаы туелділікті крсететін шама

(62)

иманы екпін радиусы деп аталады, лшем бірлігі - ендік бірлік

Лекция

Иілу

Иілу деформациясы. Аралы. Егерде 28, а,b – суретте крсетілген білеуді екі шына с жазытыында жататын шама жаынан те, баыттары арама-арсы екі ос кшпен жктеген жадайда, білеуде туындайтын деформацияны (28, c – сурет)иілу деп атаймыз. Иілуге тн сипат - ол білеу сін исытыыны згеруі, мысалы, сі тзу сызыты стерженьді игенде сі исы сызыты пішін алады.

Иілу деформациясы білеуге тек ос кш сер еткенде ана емес, кптеген жадайда клдене кш серінен болады. Сырты кш сер ететін жазытыты кш жазытыы деп, ал білеуді бойлы сі мен клдене имасыны бас екпін стері арылы тетін жазытытарды бас жазытытардеп атаймыз. Кш жазытыыны бас жазытытара араандаы орналасуына байланысты, иілу тазажне клдене иілу деп екіге блінеді Егер кш жазытыы бас жазытытарды бірінде жатса, иілу - жазы иілудеп (29, а – сурет), ал егер кш жазытыы баса кез келген с жазытытарында жатса, иаш иілудеп аталады.

Иілу деформациясы білеуге тек ос кш сер еткенде ана емес, кптеген жадайда клдене кш серінен болады. Сырты кш сер ететін жазытыты кш жазытыы деп, ал білеуді бойлы сі мен клдене имасыны бас екпін стері арылы тетін жазытытарды бас жазытытардеп атаймыз. Кш жазытыыны бас жазытытара араандаы орналасуына байланысты, иілу тазажне клдене иілу деп екіге блінеді Егер кш жазытыы бас жазытытарды бірінде жатса, иілу - жазы иілудеп (28 – сурет), ал егер кш жазытыы баса кез келген с жазытытарында жатса, иаш иілудеп аталады.

Бл жерде мынаан кіл аударан жн: жазы иілуде білеуді сі деформацияа дейін андай жазытыта жатса, деформациядан кейін де сол жазыта жатады, ал иаш иілуде сті иілу жазытыы бастапы жазытыа сйкес келмейді.

Егер кш жазытыы бас жазытардан тыс баса жазытыта жатса, онда оны зара перпендикуляр бас жазытытара проекциялап, иілуді рбір жазытытаы жазы иілуге келтіруге болады.

Иіліп деформа-цияланатын сі тзу сызыты білеулер аралыдеп аталады.

Аралыты есеп-теу слбасында оны сімен алмастыру абылданан. Бл жадайда барлы кш аралыты сіне тсірілуі керек, ал кш жазытыы слба жазытыымен беттесуі тиіс.

29, а - суреттегі аралыты есептеу слбасы 29, b - суреттегідей болады.

Аралыа тсірілетін сырты жктемені ш трі болуы ммкін: аралыты белгілі бір имасына тсетін жктеме - адалан кш , лшем бірлігі - ; аралыты толы зына бойына немесе блігіні бетінде таралан жктеме – таралан кш. Бл курста негізінен біралыпты таралан кш арастырылады. Таралан кш оны арындылыы -мен есептеледі, лшем бірлігі – ; аралыты иілу жазытыында ос кшке келтіруге болатын кейбір немесе барлы тсірілген кштерді моменттік жктеуі - адалан момент , лшем бірлігі – .

Аралыты жктеу шін, оны кем дегенде екі нктеде тірекке бекіту немесе сйеу ажет. Конструкциясына байланысты аралыты тірегін ш трге жіктеуге болады: жылжымалы топсалы тірек, жылжымайтын топсалы тірек жне ата бекітпе.

Барлы жадайда осы тіректерде пайда болатын реакция кштері мен моменттерді анытау шін, статикалы тепе – тедік кйін сипаттайтын тедеулер пайдаланылады

, , . (63)

Белгісіз реакциялары статиканы ш тедеуінен аныталатын аралытар статикалы аныталан, ал белгісіз реакцияларын анытауа статиканы тедеулері жеткіліксіз аралытар статикалы аныталмаан жйелерге жатады. Статикалы аныталмаан аралытарды есептегенде, бл курста арастырылмайтын ерекше тсілдер олданылады.

Иілу моменттері мен клдене кштер. Аралыа тсірілген жктемелер бойынша тірек реакцияларын анытааннан кейін, аралыа сер етуші сырты кштерді шамалары белгілі болады. Иілген аралы материалыны кернеулі кйін зерттеу шін, алдымен, оны рбір имасы андай кштерді серіне шырайтынын білу ажет.

Жазы иілуде барлы сырты жктеме жазытыында жатады да, сіне проекция жне пен стеріне араандаы момент бермейді. Сонымен атар аралыты тзу сіне перпендикуляр жктемені де сіне проекциясы нлге те. Осыан орай аралыты рбір имасында нлден айырыша екі шама алады: сырты кштерді сіндегі проекцияларыны осындысы – клдене кш жне сіне араандаы моменттерді осындысы - ию моменті .

Сонымен, жалпы жадайда сырты кштерді серінен иілген аралыты кез келген имасында ішкі кштерден тек клдене кш пен ию моменті пайда болады.

Жктелген аралыты клдене имасында туындайтын ішкі кштерді трімен, сер ету жазытыыны орналасуына байланысты иілу деформациясын былайша срыптауа болады.

Егер июші момент клдене имадаы жалыз ана ішкі кш болса, онда иілу таза иілу деп аталады.

Иілу, егер клдене имада июші моментпен атар клдене кш пайда болса, клдене иілудеп аталады.

Кез келген ималардаы клдене кштер мен ию мометтері ию дісі бойынша аныталады. Клдене кшшамасы клдене иманы бір жаына сер етуші сырты кштерді има жазытыындаы проекцияларыны алгебралы осындысына те. Июші моментшамасы клдене иманы бір жаында сер етуші сырты кштерді осы иманы ауырлы центріне араандаы моменттеріні алгебралы осындысына те.

30, а – суретте келтірілген аралыты арастырып, оны клдене ималарындаы ішкі кштерін анытайы. Сырты кштерді тсу нктелеріне сйкес аралыты ш аралыа блейік: I, II, III. Алдымен I аралыты, сырты моментті тсу нктесінен ара ашытыта клдене имамен иып, оны о жаындаы аралыты блігін алып тастап, сол жаындаы блігіні тепе-тедігін арастырамыз (30, b – сурет).

I аралы:

Мнан бл аралыты таза иілу кйінде болатынын аарамыз.

Енді II аралыты аралыты сол шынан ара ашытыта жататын клдене имамен кесейік. Таы да иманы о жаындаы аралыты блігін алып тастап, оны сол блігін арастырып имадаы ішкі кштерді анытайы (30, c – сурет).

II аралы:

Мндаы моментіні сер ету баыты моментіні баытына арама-арсы, сондытан оны теріс табамен алды. Бл аралыты клдене ималарында клдене кш пен ию моменті пайда болады. Осы жйт аралыты клдене иілу кйде болатындыын тжырымдайды. Бл аралытаы клдене кш траты болса, ию моменті сызыты замен згереді.

III аралыты аралыты сол шынан ара ашытыта жататын клдене имамен кесіп, жоарыда арастырандай иманы о жаындаы аралыты блігін алып тастап, оны сол блігін арастырып, имадаы ішкі кштерді анытайы (30, d – сурет).

III аралы:

немесе

Бл аралыта да клдене иілу туындайды. Біралыпты таралан кшті серіне атысты клдене кш, сызыты замен згереді, ию моменті байланысты параболалы замен згереді.

Клдене кштер мен июші моменттерге тмендегідей табалар ережесі шартты трде абылданан: егер иманы сол жаынан сер ететін сырты кштер тменнен жоары арай, ал о жаында жоарыдан тмен арай баытталса, ол имадаы клдене кш о табалы (31, а - сурет), кері жадайда терістабалы (31, b - сурет) болады. Бл ереже былай да оылады: аралыты алдырылан блігі сырты кш серінен имаа араанда саат тіліні жрісі баытында брылуа мтылса, клдене кш о табалы деп, егер саат тілі жрісіне кері баытта брылуа мтылса, теріс табалы деп есептеледі.

Егер аралыты сі сырты кштерді моменттеріні серінен иманы ауырлы центріне араандаы дестегі тмен арай иілсе (31, c – сурет), ол имадаы ию моменті о табалы деп, ал кері жадайда (31, d – сурет) теріс табалы деп есептеледі.

Ию моменті мен клдене кшті бойлы с бойымен згеру задылыын крсететін графиктерді жне эпюралары деп атайды.

ызылмен бояландарды жазып ажет емес

Клдене кштер мен ию моменттеріні эпюрлерін трызу. Аралыты кернеулі кйін жете зерттегенде, аралыты барлы клдене имасындаы ішкі кштерді білу ажет, яни клдене кштер мен ию моменттеріні аралыты зына бойындаы згеру задылыын білу ажет.

мен

-ні згеру задылыын оларды сызбасын клдене кштер мен ию моменттеріні эпюрлерін трызып баылаан ыайлы.

Типті жктелген аралытарды жне эпюрлерін трызуды бірнеше мысалдарын арастырайы.

2.1 – мысал. Шамалары те екі кшпен жктелген ата тіректі аралыты (33, а – сурет) жне эпюрлерін трызыыз.

Шешуі: Аралы екі аралытан трады. ию дісі мен ішкі кштер табаларыны ережесін олдана отырып, рбір аралытаы мен -ді анытайы.

I аралы (33, б – сурет):

яни клдене кш -ге туелді емес. Сондытан I аралытаы эпюрасы базистік сызыа параллель тзумен шектеледі.

яни ию моменті айнымалы

Бл аралытаы клдене ималарда ию моменті 0 ден мніне дейін згереді, яни эпюрасы клбеу тзумен шектелетінін крсетеді.

II аралы (33, c – сурет):

Ию моментіні мні

II аралыта тек ию моменті ана пайда болады, сондытан II аралытаы эпюрасы базистік сызыа параллель тзумен шектеледі жне бл аралы таза иілу кйінде болады.

жне эпюрлері 33, d жне 33, e – суреттерінде келтірілген.

2.2 – мысал. жне тіректеріні аралыында кшімен жктелген остіректі аралыты (34, а – сурет) жне эпюрлерін трызыыз.

Шешуі: Алдыы есепке араанда мнда алдын-ала аралы тіректеріні жне реакцияларын анытау ажет. Ол шін, жне тіректеріне араандаы моментерді тедеулерін райы