Дискретті кездейсо шамаларды санды сипаттамалары.

Санды сипаттамалрыны маыздыларыны біріне математикалы ктім M(X), дисперсия D(X) жне орта квадратты ауыту (Х) жатады.

 

Дискретті кездейсо шаманы ммкін болатын мндеріні сйкес ытималдытарына кбейтінділеріні осындысын оныматематикалы ктімі деп атайды.

M(X) белгіленеді:

M(X)=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n=

 

Математикалы ктімні асиеттері:

1) Траты шаманы математикалы ктімі траты шаманы зіне те:

M(C)=C;

2) Траты кбейткішті математикалы ктім белгісіні сыртына шыаруа болады: M(CX)=CM(X);

3) Туелсіз кездейсо шамаларды аырлы саныны кбейтіндісіні математикалы ктімі оларды математикалы ктімдеріні кбейтіндісіне те:

M(X·Y·Z)=M(X)·M(Y)·M(Z);

 

Кездейсо шамаларды аырлы саныны осындысыны математикалы ктімі оларды математикалы ктімдеріні осындысына те:

 

M(X+Y+Z)=M(X)+M(Y)+M(Z);

 

4) Егер Х кездейсо шамасыны барлы мндерін бірдей С санына кемітсе (арттырса) , онда оны математикалы ктімі де сол С санына кемиді (артады):

5)

M(C-X)=M(X)-C

 

Х дискретті кездейсо шамасыны дисперсиясы (шашырау)дегеніміз, Х пен математикалы ктіміні квадратыны математикалы ктімнен ауытуын атайды:

 

D(X)=M[X-M(X)]²

 

Дисперсияны есептеу шін келесі формуланы олданан олайлы:

 

D(X)=M(X²)- [M(X)]²

 

Дисперсияны асиеттері:

1) Траты шама С-ны дисперсиясы 0-ге те:

 

D(C)=0;

 

2) Траты кбейткішті дисперсия табасыны алдына квадрат дрежесін шыаруа болады.

3)

D(CX)=C²D(X);

 

4) Бірнеше зара туелсіз кездейсо шамаларды осындысыны дисперсиясы осы шамаларды дисперсияларыны осындысына те:

 

D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z);

 

5) Екі туелсіз кездейсо шамаларды айырмасыны дисперсиясы осы шамаларды дисперсияларыны осындысына те:

 

D(X-Y)=D(X)+D(Y);

 

Х кездейсо шамасыны орта квадратты ауытуы деп дисперсиядан алынан квадрат тбірді атайды:

 

(X)= ;

 

 

Дисперсияны лшемі кездейсо шаманы квадратыны лшеміне те. Себебі, орта квадратты ауытуы дисперсиядан алынан квадрат тбірге те боландытан, онда (Х) лшемі Х-ті лшеміне те. Сондытан шашырау баасы дрыс болуы шін орта квадратты ауытуды есептейді.

 

Мысалы,

егер Х сызыты метрде рнектелетін болса, онда (Х) сызыты метрде рнектеледі, ал D(X) – квадрат метрде.

 

Мысалы,

лестіру заымен берілген Х дискретті кездейсо шамасыны математикалы ктімін, дисперсиясын, орта квадратты ауытуын есептеіз:

 

x	-5
p	0,4	0,3	0,1	0,2

 

Шешуі:

Математикалы ктімін табайы:

 

М(Х)=-5·0,4+2·0,3+3·0,1+4·0,2=-0,3.

 

Дисперсияны есептеу шін мына формуланы олданан жн:

 

D(X)=M(X²)- [M(X)]²

 

Х² лестіру заын растырайы:

 

х2
p	0,4	0,3	0,1	0,2

 

 

М(Х²)=25·0,4+4·0,3+9·0,1+16·0,2=15,3.

 

D(X)=M(X²)- [M(X)]²=15,3-(-0,3)²=15,21

 

(X)= = =3,9

 

Теорема. А оиасыны кріну саныны М(Х) математикалы ктімі n туелсіз тжірибелерді райсысындаы оиа санын оиасыны крінуіні ытималдыына кбейткенге те:

 

M(X)=n·p.

 

 

Теорема. А оиасыны D(Х) дисперсиясы n туелсіз тжірибелерде, оларды райсысында р ытималдыы траты болатын кріну тжірибелер санын оианы бір тжірибеде крінбеу санына кбейткенге те:

 

D(X)=n·p·q

 

 

Дріс №5.

Таырыбы: «здіксіз кездейсо шамалар. КШ санды сипаттамалары.».

«лкен сандар заы. Бернулли теоремасы».