Задачи для решения на занятии

Практическое занятие №1

Тема: Кинематика и динамика поступательного движения твердого тела.

Цель: обобщение и систематизация знаний, умений по данной теме; формирование практических навыков в решении задач; развитие познавательных возможностей, памяти, трудолюбия.

Краткие теоретические сведения

Таблица 1.1 - Основные законы и формулы

Физические законы, переменные	Формулы
Мгновенная скорость: где - радиус – вектор материальной точки, t – время; – производная радиус – вектора материальной точки.
Модуль вектора скорости: где S – путь
Модуль средней скорости:	, ,
Мгновенное ускорение:
Модуль вектора ускорения при прямолинейном движении:
Скорость и путь при движении: 1) равномерном,2) равнопеременном, 0 – начальная скорость, а>0 при равноускоренном движении, а<0 при равнозамедленном движении.	1) =const, , 2) ,
Основное уравнение динамики поступательного движения (II закон Ньютона), где - результирующая сила.
Силы в природе: 1) сила притяжения, закон всемирного тяготения, где G = 6,67·10-11Н·м2/кг2, m1,m2 – массы тел, r- расстояние между ними.	1)
2) сила тяжести, где g =9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, m – масса тела, 3) вес тела, если = const, если тело движется с ускорение вверх, если тело движется с ускорение вниз, 4) сила упругости, закон Гука: где k – коэффициент упругости (жесткость), х – абсолютное удлинение, 5) сила трения, где – коэффициент трения, N – сила реакции опоры.	2) 3) , , 4) 5)

Примеры решения задач

1.Первую половину времени своего движения автомобиль двигался со скоростью 80км/ч, а вторую половину времени - со скоростью 60км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля в км/ч?

Дано:

₁ = 80 км/ч,

₂ = 60 км/ч,

t₁=t₂=t/2/

Найти:

_ср – ?

Решение

Средняя скорость движения поезда

,

где S – путь, t – время движения на всем участке пути.

Длина пути складывается из двух разных участков пути: на первом автомобиль движется со скоростью ₁ и длина участка пути

,

на втором автомобиль движется со скоростью ₂ и длина этого участка пути

.

Тогда весь путь равен:

.

Найдем среднюю скорость движения:

,

.

Ответ: .

2.Уравнение движений двух велосипедистов заданы выражениями и . Построить график установить время и место их встречи.

Дано:

Найти:

х₀=?

t₀=?

Решение:

Определим время встречи, тогда

Место встречи

Построим графики движения

Рисунок 1.1

Ответ: ,

3.Вагон движется равнозамедленно с ускорением -0,5 м/с². Начальная скорость вагона 54 км/ч. Через сколько времени вагон остановится и какой путь пройдет до остановки?

Дано:

а = -0,5 м/с²,

₀ = 54 км/ч = 15 м/с,

=0.

Найти:

t– ?

S– ?

Решение

Скорость при равноускоренном движении описывается выражением:

,

так как = 0, по условию, то

,

отсюда

,

Путь при равнозамедленном движении вычисляется по формуле:

,

,

.

Ответ: , .

4.Лыжник спускается с горы длиной 100 м. Начальная скорость 10 м/с, ускорение 0,5 м/с². Сколько времени длился спуск?

Дано:

S = 100 м,

₀ = 10 м/с,

a = 0,5 м/с².

Найти:

t– ?

Решение

Лыжник движется равноускорено. Перемещение лыжника можно определяется по формуле:

.

По условию задачи S = 100 м, ₀ = 10 м/с, a = 0,5 м/с², тогда

,

или,

Решим квадратичное уравнение.

,

,

(не удовлетворяет условию задачи)

Ответ:

5.Зависимость пройденного телом прямолинейного пути от времени задается уравнением , м. Найти скорость и ускорение тела через 5 с после начала движения.

Дано:

, м,

t = 5 c.

Найти:

– ?

а – ?

Решение

Скорость, первая производная от перемещения ко времени

,

тогда

Ускорение, первая производная от скорости материальной точки, тогда

.

Ответ: , .

6.Автомобиль массой 1 т трогается с места и через 20 с достигает скорости 30 м/с. Найти силу тяги, если коэффициент сопротивления равен 0,05.

Дано:

m=1 т=10³ кг,

t=20 c,

= 30 м/с,

₀ = 0,

= 0,05.

Найти:

F_тяг - ?

Решение

Рисунок 1.2

 

На автомобиль действуют четыре силы: сила тяжести , сила реакции опоры , сила тяги двигателя и сила трения .За положительное направление оси х примем направление движения автомобиля, а ось у направим вертикально вверх. Так как движение равноускоренное, то вектор ускорения направлен в сторону движения и совпадает с направлением оси х. Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона и определением силы трения скольжения.

По второму закону Ньютона

.

В проекциях на оси

ОХ: ,

ОУ: ,

По определению , так как , то , тогда

.

Ускорение тела

,

,

,

Ответ: F_тяг=2кН.

7. Через блок перекинута нить, на концах которой подвешены грузы общей массой 10 кг. После освобождения грузы приходят в движение с ускорением 1 м/с² . Найти массу каждого груза.

Дано:

m₁ +m₂ =10 кг,

a = 1 м/с².

Найти:

m₁ – ?

m₂ – ?

Решение

Рисунок 1.3

 

Предположим, что нить и блок невесомы и нет трения в оси блока. Тогда силы, действующие на грузы 1 и 2 со стороны нити, равны между собой (рис.) Из нерастяжимости нити следует равенство по модулю ускорений грузов 1 и 2. Запишем уравнение движение грузов. По второму закону Ньютона для каждого тела в проекции на вертикалью ось ОУ:

(1)

Из системы (1) получим

,

так как , то

,

отсюда

.

Таким образом

,

,

,

,

,

Ответ: .

8. Два медных шарика ( с плотностями = 8,6·10³кг/м³) с диаметрами D₁ =4 см и D₂ = 6 см находятся в соприкосновении друг с другом. Найти силу гравитационного взаимодействия этой системы.

Дано:

= 8,6·10³кг/м³,

D₁ =4 см = 0,04 м,

D₂ = 6 см = 0,06 м

Найти:

F – ?

Решение

Из закона всемирного тяготения, сила притяжения шаров

, (1)

где G гравитационная постоянная, r – расстояние между центрами шаров, m₁ и m₂ - массы шариков

, (2)

(3)

Расстояние между центрами шаров

(4)

Подставляя (2-4) в (1) получим:

,

,

.

Ответ:

9.Студент подвесил на недеформированную вертикально расположенную пружину груз массой 300 г. Пружина удлинилась на 4 см. Какой массы груз следует добавить к первому грузу, чтобы удлинение пружины стало равным 6 см?

Дано:

m₁ = 300 г = 0,3 кг,

x₁ = 4 см = 0,04м,

x₂ = 6 см = 0,06 м.

Найти:

m– ?

Решение

Рисунок 1.4

 

На груз, подвешенный на пружине, действуют силы: сила тяжести , направленная вниз, сила упругости , направленная вверх.

По закону Гука сила упругости

, (1)

где k – жесткость пружины, х – удлинение. (знак «минус» говорит о том, что – возвращающая сила).

Так как груз находится в равновесии, то , отсюда коэффициент жесткости для груза:

, (2)

после добавления груза, массу обозначим m₂, жесткость же пружины не изменилась, т.е

. (3)

Приравнивая (2) и (3) получим:

,

,

отсюда

,

,

.

Таким образом, чтобы удлинение пружины стало равным 6 см, следует добавить, к первому грузу массу m

.

Ответ: .

10.Камень массой 1,05 кг, скользящий по поверхности льда со скоростью 2,44 м/с, под действием силы трения останавливается через 10 с. Найти силу трения, считая ее постоянной.

Дано:

m = 1,05 кг,

₀ = 2,44 м/с,

=0,

t = 10 с.

Найти:

F_тр– ?

Решение

Рисунок 1.5

 

На камень действуют силы: сила тяжести , направленная вниз, сила реакции опоры , направленная вверх, сила трения , направленная противоположно движению. По второму закону Ньютона

,

в проекции на оси:

ОХ: , (1)

Ускорение тела

,

так как =0, то

,

тогда

,

,

Ответ: .

 

Задачи для решения на занятии

1.По графику зависимости скорости движения тела от времени определить характер движения тела, начальную скорость и ускорение на каждом участке

Рисунок 1.6

2.Найти место и время встречи двух тел 2 способами (графически и аналитически). (Ответ: t = 5 c, х = 45 м)

Рисунок 1.7

 

3.Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением , где А =1 м, В = 1,5 м/с, С = 0,1 м/с², D = 0,03 м/с³. Определить путь, пройденный телом за 10 с и скорость в этот момент времени. (Ответ: S = 56 м, = 12,5 м/с)

4. Движение двух тел описывается уравнением , . Определить величину скоростей этих тел и момент времени, когда ускорения их будут одинаковы, а также значение ускорения в этот момент времени. (Ответ: ₁ = 3,81 м/с, ₂ = 4,69 м/с, а = 6,75 м/с²)

5. Под действием силы F=10 Н тело движется прямолинейно так, что зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением , где С=1 м/с². Найти массу m тела. (Ответ: m = 5 кг)

6.Тело движется вниз равноускоренно по наклонной плоскости, и зависимость пройденного пути от времени задается уравнением . Найти коэффициент трения тела о плоскость, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30⁰.(Ответ: = 0,2)

7.К нити подвешен груз массой m = 500 г. Определите силу натяжения нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 2 м/с²; 2) опускать с ускорением 2 м/с². (Ответ: 1) Т=5,9 Н; 2) Т = 3,9 Н).

8.По графику зависимости проекции силы упругости от удлинения (рис.1.8) найдите жесткость резинового шнура.(Ответ: k300 Н/м)

Рисунок 1.8.

9.Невесомый блок укреплен в вершине наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол = 30⁰. Гири 1 и 2 одинаковой массы m₁ = m₂ =1 кг соединены нитью и перекинуты через блок найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением гири о наклонную плоскость и трением в блоке пренебречь.(Ответ: а=2,45 м/с²; Т= 7,35 Н)

10. Тело массой m = 2 кг падает в воздухе с ускорением а=9,3 м/с². Определите силу сопротивления F_С воздуха. (Ответ: F_С =1Н).

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определения кинематических характеристик поступательного движения (перемещение, траектория, путь, скорость, ускорение).

2. Какое прямолинейное движение называют равноускоренным, равнозамедленным?

3. Чем отличаются понятия средних и мгновенных скоростей и ускорений?

4. Дайте определения динамических характеристик поступательного движения (сила, масса, импульс).

5. Какова задача динамики? Сформулируйте три закона Ньютона. В каких системах отсчета они справедливы?

6. Сформулируйте закон всемирного тяготения.

7. В чем заключается физический смысл гравитационной постоянной.

8. Дайте определение веса тела.

9. Какое состояние тела называют невесомостью?

10. Куда направлена сила трения скольжения и чему она равна?

11. Какие силы называют силами упругости?

12. Сформулируйте закон Гука.