Анализ научных публикаций в рамках механики контактного взаимодействия
Содержание
1. Анализ научных публикаций в рамках механики контактного взаимодействия 6
2. Анализ влияния физико-механических свойств материалов контактных пар на зону контакта в рамках теории упругости при реализации тестовой задачи контактного взаимодействия с известным аналитическим решением. 13
3. Исследование контактного напряженного состояния элементов сферической опорной части в осесимметричной постановке. 34
3.1. Численный анализ конструкции опорной части в сборе. 35
3.2. Исследование влияния канавок со смазочным материалом сферической поверхности скольжения на напряженное состояние контактного узла. 43
3.3. Численное исследование напряженного состояния контактного узла при разных материалах антифрикционной прослойки. 49
Выводы.. 54
Список литературы.. 57
Анализ научных публикаций в рамках механики контактного взаимодействия
Многие узлы и конструкции, применяемые в машиностроении, строительстве, медицине и других областях, работают в условиях контактного взаимодействия. Это, как правило, дорогостоящие, трудно ремонтируемые ответственные элементы, к которым предъявляются повышенные требования относительно прочности, надежности и долговечности. В связи с широким применением теории контактного взаимодействия в машиностроении, строительстве и других областях человеческой деятельности возникла необходимость в рассмотрении контактного взаимодействия тел сложной конфигурации (конструкции с антифрикционными покрытиями и прослойками, слоистые тела, нелинейный контакт и т.д.), со сложными граничными условиями в зоне контакта, в условиях статики и динамики. Основы механики контактного взаимодействия заложили Г.Герц, В.М. Александров, Л.А. Галин, К. Джонсон, И.Я. Штаерман, Л. Гудман, А.И. Лурье и другие отечественные и зарубежные ученые. Рассматривая историю развития теории контактного взаимодействия в качестве фундамента можно выделить работу Генриха Герца «О контакте упругих тел» [1]. При этом данная теория базируется на классической теории упругости и механики сплошных сред, и была представлена научному сообществу в Берлинском физическом обществе в конце 1881 г. Учеными была отмечена практическое значение развития теории контактного взаимодействия, и исследования Герца были продолжены, хотя и теория не получила должного развития. Теория изначально не получила распространение, так как она опредила свое время и обрела популярность лишь в начале прошлого столетия, во время развития машиностроения. При этом можно отметить, что основным недостатком теория Герца является ее применимость только к идеально упругим телам на поверхностях контакта, без учета трения по сопрягаемым поверхностям.
В настоящий момент механика контактного взаимодействия не потеряла свою актуальность, а является одной из самых бурно развевающихся тем механики деформируемого твердого тела. При этом каждая задача механики контактного взаимодействия несет в себе огромное количество теоретических или прикладных исследований. Развитие и совершенствование теории контакта, когда предложенной Герцем, продолжило большое количество иностранных и отечественных ученых. Например, Александров В.М. Чебаков М.И. рассматривает задачи для упругой полуплоскости без учета и с учетом трения и сцепления, также в своих постановках авторы учитывают смазку, тепло выделяющееся от трения и износ [2]. В [3, 4] описаны численно-аналитические методы решения неклассических пространственных задач механики контактных взаимодействий в рамках линейной теории упругости. Большое количество авторов работали над книгой [5], в которой отражены работы до 1975г., охватывающие большое количество знаний о контактном взаимодействии. В этой книге содержатся результаты решений контактных статических, динамических и температурных задач для упругих, вязкоупругих и пластических тел. Аналогичное издание [6] вышло в 2001 году содержащее обновленные методы и результаты решения задач механики контактного взаимодействия. В ней присутствуют работы не только отечественных, но и зарубежных авторов. Н.Х.Арутюнян и А.В. Манжиров в своей монографии [7] исследовали вопросы теории контактного взаимодействия растущих тел. Была поставлена задача для нестационарных контактных задач с зависящей от времени области контакта и изложены методы решения в [8].Сеймов В.Н. изучал динамическое контактное взаимодействие [9], а Саркисян В.С. [10] рассматривал задачи для полуплоскостей и полос. В своей монографии Джонсон К. [11] рассмотрел прикладные контактные задачи с учетом трения, динамики и теплообмена. Также были описаны такие эффекты как неупругость, вязкость, накопление повреждений, скольжение, сцепление. Их исследования являются основополагающими для механики контактного взаимодействия в части создания аналитических и полуаналитических методов решения задач контакта полосы, полупространства, пространства и тел канонической формы, в них также затронуты вопросы контакта для тел с прослойками и покрытиями.
Дальнейшее развитие механики контактного взаимодействия отражено в работах Горячевой И.Г., Воронина Н.А., Торской Е.В., Чебакова М.И., M.I. Porter и других ученых. Большое количество работ рассматривает контакт плоскости, полупространства или пространства с индентором, контакт через прослойку или тонкое покрытие, а также контакт со слоистыми полупространствами и пространствами. В основном решения таких задач контакта получены при помощи аналитических и полуаналитических методов, а математические модели контакта достаточно просты и, если и учитывают трение между сопрягаемыми деталями, то не учитывают характер контактного взаимодействия. В реальных механизмах части конструкции взаимодействуют друг с другом и с окружающими объектами. Контакт может происходить как непосредственно между телами, так и через различные прослойки и покрытия. В связи с тем, что механизмы машин и их элементы часто представляют собой геометрически сложные конструкции, работающие в рамках механики контактного взаимодействия, исследование их поведения и деформационных характеристик является актуальной проблемой механики деформируемого твердого тела. В качестве примеров таких систем можно отметить подшипники скольжения с прослойкой из композиционного материала [12], эндопротез бедра с антифрикционной прослойкой [13], соединение кости и суставного хряща [14], автодорожное покрытие [15], поршни [16], опорные части пролетных строений мостов и мостовых сооружений [33] и т.д. Механизмы представляют собой сложные механические системы с сложной пространственной конфигурацией, обладающей более одной поверхности скольжения, а часто и контактными покрытиями и прослойками. В связи с этим интересно развитие задач контакта, в том числе и контактного взаимодействия через покрытия и прослойки. Горячева И.Г. в своей монографии [17] исследовала влияние микрогеометрии поверхности, неоднородности механических свойств поверхностных слоёв, а также свойств поверхности и покрывающих её плёнок на характеристики контактного взаимодействия, силу трения и распределение напряжений в приповерхностных слоях при разных условиях контактирования. В своем исследовании Торская Е.В. [23] рассматривает задачу о скольжении жесткого шероховатого индентора по границе двухслойного упругого полупространства. Предполагается, что силы трения не влияют на распределение контактного давления. Для задачи о фрикционом контакте индентора с шероховатой поверхность, анализируется влияние коэффициента трения на распределение напряжений. Изложены исследования контактного взаимодействия жестких штампов и вязкоупругих оснований с тонкими покрытиями для случаев, когда поверхности штампов и покрытий являются взаимоповторяющимися, приведены в [6, 18]. Механическое взаимодействие упругих слоистых тел изучается в работах [24, 25, 26], в них рассматривается контакт цилиндрического, сферического инденторов, системы штампов с упругим слоистым полупространством. Большое количество исследований опубликовано об индентировании многослойных сред [19, 22, 24и др.]. Александров В.М. и Мхитарян С.М. [27] изложили методы и результаты исследований о воздействии штампов на тела с покрытиями и прослойками, задачи рассматриваются в постановке теории упругости и вязкоупругости. Можно выделить ряд задач о контактном взаимодействии, в которых учитывается трение [20, 22, 28, 29и др.]. В [30] рассматривается плоская контактная задача о взаимодействии движущегося жесткого штампа с вязкоупругим слоем. Штамп движется с постоянной скорость и вдавливается с постоянной нормальной силой, при этом предполагается, что трение в области контактна отсутствует. Эта задача решается для двух видов штампов: прямоугольного и параболического. Авторы [31] экспериментально исследовали влияние прослоек из различных материалов на процесс теплообмена в зоне контакта. Были рассмотрено около шести образцов и опытным путем определено, что эффективным теплоизолятором является заполнитель из нержавеющей стали. В другой научной публикации [32] рассматривалась осесимметричная контактная задача термоупругости о давлении горячего цилиндрического кругового изотропного штампа на упругий изотропный слой, между штампом и слоем был неидеальный тепловой контакт. Рассмотренные выше работы рассматривают исследование более сложного механического поведения на площадке контактного взаимодействия, но при этом геометрия остается в большинстве случаев канонической формы. Так как часто в контактирующих конструкциях присутствует более 2-х поверхностей контакта, сложная пространственная геометрия, сложные в своем механическом поведении материалы и условия нагружения, аналитическое решение получить практически невозможно для многих практически важных контактных задач, поэтому требуются эффективные методы решения, в том числе и численные. При этом одной из важнейших задач моделирования механики контактного взаимодействия в современных прикладных программных пакетах является рассмотрения влияния материалов контактной пары, а также соответствие результатов численных исследований существующим аналитическим решениям.
Разрыв теории и практики по решению задач контактного взаимодействия, а также их сложная математическая постановка и описание послужили толчком к формированию численных подходов к решению данных проблем. Наиболее распространенным методам численного решения задач механики контактного взаимодействия является метод конечных элементов (МКЭ) [34-37 и др.]. Итерационный алгоритм решения с использованием МКЭ для задачи одностороннего контакта рассмотрен в [34,38]. В [35] рассмотрено решение контактных задач с использованием расширенного МКЭ, позволяющего учесть трение на поверхности соприкосновения контактирующих тел и их неоднородность. Рассмотренные публикации по МКЭ для задач контактного взаимодействия не привязаны к конкретным элементам конструкции и зачастую обладают канонической геометриеей. Примером рассмотрения контакта в рамках МКЭ для реальной конструкции служит [37], где рассматривается контакт между лопаткой и диском газотурбинного двигателя. Численные решения задач контактного взаимодействия многослойных конструкций и тел с антифрикционными покрытиями и прослойками рассмотрено в [39-41 и др.]. В публикациях в основном рассматривается контактное взаимодействие слоистых полупространств и пространств с инеденторами, а также сопряжению тел канонической формы с прослойками и покрытиями. Математические модели контакта мало содержательные, а условия контактного взаимодействия описаны скудно. Модели контакта редко рассматривают возможность наличия на контактной поверхности одновременно прилипания, проскальзывания с различным типом трения и отлипания. В большинстве публикаций мало описаны математические модели задач деформирования конструкций и узлов, особенно граничные условия на контактных поверхностях.
При этом исследование задач контактного взаимодействия тел реальных сложных систем и конструкций предполагает наличие базы физико-механических, фрикционных и эксплуатационных свойств материалов контактирующих тел, а так же антифрикционных покрытий и прослоек. Часто одним из материалов контактных пар являются различные полимеры, в том числе и антифрикционные полимеры. В [42] отмечается недостаточность информации о свойствах фторопластов, композиций на его основе и сверхвысокомолекулярных полиэтиленов различных марок, что сдерживает их эффективность в использовании во многих сферах промышленности. На базе National Material Testing Institute of the Stuttgart University of Technology был проведен ряд натурных экспериментов направленных на определение физико-механических свойств материалов, используемых в Европе в контактных узлах: сверхвысокомолекулярных полиэтиленов PTFE и MSM с добавками сажи и пластификатора [43]. Но широкомасштабных исследований направленных на определение физико-механических и эксплуатационных свойств вязкоупругих сред и сравнительный анализ материалов пригодных к использованию в качестве материала поверхностей скольжения ответственных промышленных конструкций работающих в сложных условиях деформирования в мире и России не проводилось. В связи с этим возникает необходимость в исследование физико-механических, фрикционных и эксплуатационных свойств вязкоупругих сред, построение моделей их поведения и выбора определяющих соотношений.
Таким образом, задачи исследования контактного взаимодействия сложных систем и конструкций, обладающих одной и более поверхностями скольжения, являются актуальной проблемой механики деформируемого твердого тела. К актуальным задачам так же относятся: определение физико-механических, фрикционных и эксплуатационных свойств материалов контактных поверхностей реальных конструкций и численный анализ их деформационных и контактных характеристик; проведение численных исследований, направленных на выявление закономерностей влияния физико-механических и антифрикционных свойств материалов и геометрии контактирующих тел на контактное напряженно-деформированное состояние и на их основе разработка методики прогнозирования поведения элементов конструкций при проектных и не проектных нагрузках. А также актуально исследование влияния физико-механических, фрикционных и эксплуатационных свойств материалов, вступающих в контактное взаимодействие. Практическая реализация таких задач возможна только численными методами, ориентированными на технологии параллельных вычислений, с привлечением современной многопроцессорной вычислительной техники.
Анализ влияния физико-механических свойств материалов контактных пар на зону контакта в рамках теории упругости при реализации тестовой задачи контактного взаимодействия с известным аналитическим решением
Влияние свойств материалов контактной пары на параметры площадки контактного взаимодействия рассмотрим на примере решения классической задачи контакта о контактном взаимодействии двух соприкасающихся сфер прижатых друг к другу силами P (рис. 2.1.). Рассматривать задачу о взаимодействии сфер будем в рамках теории упругости, аналитическое решение данной задачи рассмотрено А.М. Кац в [44].
Рис. 2.1. Схема контакта
В рамках решения задачи объяснено, что согласна теории Герца контактное давление 
находиться по формуле (1):
, (2.1)
где 
– радиус площадки контакта, 
– координата площадки контакта, 
– максимальное контактное давление на площадке.
В результате математических выкладок в рамках механики контактного взаимодействия найдены формулы для определения и , представленные в (2.2) и (2.3) соответственно:
, (2.2)
, (2.3)
где 
и 
– радиусы контактирующих сфер, 
, 
и 
, 
– коэффициенты Пуассона и модули упругости контактирующих сфер соответственно.
Можно заметить, что в формулах (2-3) коэффициент отвечающий за механические свойства контактной пары материалов имеет одинаковый вид таким образом, обозначим его 
, в таком случае формулы (2.2-2.3) имеют вид (2.4-2.5):
, (2.4)
. (2.5)
Рассмотрим влияние свойств материалов контактирующих в конструкции на параметры контакта. Рассмотрим в рамках задачи о контактировании двух соприкасающихся сфер следующие контактные пары материала: Сталь – Фторопласт; Сталь – Композиционные антифрикционный материал с сферическим бронзовыми включениями (МАК); Сталь – Модифицированный фторопласт. Такой выбор контактных пар материалов обусловлен дальнейшими исследованиями их работы с сферических опорных частях. Механические свойства материалов контактных пар представлены в таблице 2.1.
Таблица 2.1.
Свойства материалов контактирующих сфер
| № п/п | Материал 1 сферы | Материал 2 сферы | |
| Сталь | Фторопласт | ||
| , Н/м2
|
| , Н/м2
|
|
| 2E+11 | 0,3 | 5,45E+08 | 0,466 |
| Сталь | МАК | ||
| , Н/м2
|
| , Н/м2
|
|
| 2E+11 | 0,3 | 0,4388 | |
| Сталь | Модифицированный фторопласт | ||
| , Н/м2
|
| , Н/м2
|
|
| 2E+11 | 0,3 | 0,46 |
Таким образом, для этих трех контактных пар можно найти коэффициент контактной пары, максимальный радиус площадки контакта и максимальное контактное давление, которые представлены в таблице 2.2. В таблице 2.2. вычислены параметры контакта при условии действия на сферы с единичными радиусами ( 
, м и 
, м) сдавливающих сил 
, Н.
Таблица 2.2.
Параметры зоны контакта
| № п/п | Контактная пара |  , м2/Н
| , м
| , Н/м2
|
| Сталь-Фоторпласт | 1,44E-09 | 0,0008145 | 719701,47 | |
| Сталь-МАК | 9,42883E-10 | 0,0007071 | 954879,53 | |
| Сталь-Мод-ый фторопласт | 9,16966E-10 | 0,0007006 | 972788,75 |
Рис. 2.2. Параметры контактной площадки:
а) , м2/Н; б) , м; в) , Н/м2
На рис. 2.2. представлено сравнение параметров зоны контакта для трех контактных пар материалов сфер. Можно заметить, что чистый фторопласт обладает меньшим, по сравнению с 2-я другими материалами, значением максимального контактного давления, при этом радиус зоны контакта у него наибольший. Параметры зоны контакта у модифицированного фторопласта и МАК отличаются не значительно.
Рассмотрим влияние радиусов контактирующих сфер на параметры зоны контакта. При этом стоит заметить, что зависимость параметров контакта от радиусов сфер одинаковая в формулах (4)-(5), т.е. они входят в формулы однотипно, поэтому чтобы исследовать влияние радиусов контактирующих сфер достаточно изменять радиус одной сферы. Таким образом будем рассматривать увеличение радиуса 2-ой сферы при постоянном значении радиуса 1 сферы (см. таблица 2.3).
Таблица 2.3.
Радиусы контактирующих сфер
| № п/п | , м
| , м
|
При исследовании будем считать, что сферы сближаются единичными силами ( , Н). Полученные в результате исследования параметры зоны контакта приведены в таблице 2.4.
Таблица 2.4
Параметры контактной зоны для разных радиусов контактирующих сфер
| № п/п | Сталь-Фоторпласт | Сталь-МАК | Сталь-Мод-ый фторопласт | |||
| , м
| , Н/м2
| , м
| , Н/м2
| , м
| , Н/м2
| |
| 0,000815 | 719701,5 | 0,000707 | 954879,5 | 0,000701 | 972788,7477 | |
| 0,000896 | 594100,5 | 0,000778 | 788235,7 | 0,000771 | 803019,4184 | |
| 0,000953 | 0,000827 | 698021,2 | 0,000819 | 711112,8885 | ||
| 0,000975 | 502454,7 | 0,000846 | 666642,7 | 0,000838 | 679145,8759 | |
| 0,000987 | 490419,1 | 0,000857 | 650674,2 | 0,000849 | 662877,9247 | |
| 0,000994 | 483126,5 | 0,000863 | 640998,5 | 0,000855 | 653020,7752 | |
| 0,000999 | 0,000867 | 634507,3 | 0,000859 | 646407,8356 | ||
| 0,001003 | 0,000871 | 629850,4 | 0,000863 | 641663,5312 | ||
| 0,001006 | 0,000873 | 626346,3 | 0,000865 | 638093,7642 | ||
| 0,001008 | 470023,7 | 0,000875 | 623614,2 | 0,000867 | 635310,3617 |
Зависимости от параметров зоны контакта (максимального радиуса контактной зоны и максимальное контактное давление) представлены на рис. 2.3.
| 
|
| Рис. 2.3. Максимальный радиус зоны контакта и максимальное контактное давление: а) Сталь-Фторопласт;
б) Сталь-МАК; в) Сталь-Модифицированный фторопласт
|
Исходя из данных представленных на рис. 2.3. можно сделать вывод, что при увеличении радиуса одной из контактирующих сфер как максимальный радиус зоны контакта, так и максимальное контактное давление выходит на асимптоту. При этом, как и ожидалось, закон распределения максимального радиуса зоны контакта и максимального контактного давления для трех рассматриваемых пар контактирующих материалов одинаковые: по мере увеличения увеличивается максимальный радиус зоны контакта, а максимальное контактное давление уменьшается.
Для более наглядного сравнению влияния свойств контактирующих материалов на параметры контакта отстроим на одном графике максимальный радиус для трех исследуемых контактных пар и аналогично максимальное контактное давление (рис. 2.4.).
|
|
Рис. 2.4. Сравнение зависимости параметров контакта от
для трех контактных пар материалов: а) , м; б)  , Н/м2
|
Исходя из данных, показанных на рисунке 4, заметно малое отличие контактных параметров у МАК и модифицированного фторопласта, при этом у чистого фторопласта при значительном меньших величинах контактного давления радиус площадки контакта больше, чем у двух других материалов.
Рассмотрим распределение контактного давления для трех контактных пар материалов при увеличении . Распределение контактного давления показано по радиусу контактной площадке 
(рис. 2.5.).
|
|
|
Рис. 2.5. Распределение контактного давления по радиуса контакта :
а) Сталь-Фторопласт; б) Сталь-МАК;
в) Сталь-Модифицированный фторопласт
Далее рассмотрим зависимость максимального радиуса площадки контакта и максимального контактного давления от сближающих сферы сил 
. Рассмотрим действие на сферы с единичными радиусами ( 
, м и , м) сил : 1 Н, 10 Н, 100 Н, 1000 Н, 10000 Н, 100000 Н, 1000000 Н. Полученные в результате исследования параметры контактного взаимодействия представлены в таблице 2.5.
Таблица 2.5.
Параметры контакта при увеличении
| P, Н | Сталь-Фоторпласт | Сталь-МАК | Сталь-Мод-ый фторопласт | |||
| , м
| , Н/м2
| , м
| , Н/м2
| , м
| , Н/м2
| |
| 0,0008145 | 719701,5 | 0,000707 | 954879,5287 | 0,000700586 | 972788,7477 | |
| 0,0017548 | 0,001523 | 2057225,581 | 0,001509367 | 2095809,824 | ||
| 0,0037806 | 0,003282 | 4432158,158 | 0,003251832 | 4515285,389 | ||
| 0,0081450 | 0,007071 | 9548795,287 | 0,00700586 | 9727887,477 | ||
| 0,0175480 | 0,015235 | 20572255,81 | 0,015093667 | 20958098,24 | ||
| 0,0378060 | 0,032822 | 44321581,58 | 0,032518319 | 45152853,89 | ||
| 0,0814506 | 0,070713 | 95487952,87 | 0,070058595 | 97278874,77 |
Зависимости параметров контакта представлены на рис. 2.6.
|
|
Рис. 2.6. Зависимости параметров контакта от
для трех контактных пар материалов: а) , м; б) , Н/м2
Для трех контактных пар материалов при росте сил сдавливания происходит рост, как максимального радиуса площади контакта, так и максимального контактного давления рис. 2.6. При этом аналогично ранее полученным результатом у чистого фторопласта при меньшем контактном давлении площадка контакта большего радиуса.
Рассмотрим распределение контактного давления для трех контактных пар материалов при увеличении . Распределение контактного давления показано по радиусу контактной площадке (рис. 2.7.).
|
|
Рис. 2.7. Распределение контактного давления по радиусу контакта :
а) Сталь-Фторопласт; б) Сталь-МАК;
в) Сталь-Модифицированный фторопласт
|
|
Аналогично ранее полученным результатам при увеличении сближающих сил происходит увеличение, как радиуса площадки контакта, так и контактного давления, при этом характер распределения контактного давления одинаковый у всех вариантов расчетов.
Выполним реализацию задачи в программном комплексе ANSYS. При создании конечно-элементной сетки использовался тип элементов PLANE182. Данный тип является четырех узловым элементом и имеет второй порядок аппроксимации. Элемент применяется для двумерного моделирования тел. Каждый узел элемента имеет по две степени свободы UX и UY. Также данный элемент применяется для расчета задач: осесимметричных, с плоским деформированным состоянием и с плоским напряженным состоянием.
В исследуемых классических задачах использовался тип контактной пары: «поверхность - поверхность». Одну из поверхностей назначают целевой (TARGET), а другую контактной (CONTA). Так как рассматривается двумерная задача, то используются конечные элементы TARGET169 и CONTA171.
Задача реализуется в осесиммеричной постановке с использованием контактных элементов без учета трения по сопрягаемым поверхностям. Расчетная схема задачи показана на рис. 2.8.
Рис. 2.8. Расчетная схема контакта сфер
Математическая постановка задач о сдавливании двух соприкасающихся сфер (рис.2.8.) реализуется в рамках теории упругости и включает в себя:
уравнения равновесия
; 
(2.6)
геометрические соотношения
, (2.7)
физические соотношения
, 
(2.8)
где 
и 
– параметры Ламе, 
– тензор напряжений, 
– тензор деформаций, 
– вектор перемещений, 
– радиус-вектор произвольной точки, 
– первый инвариант тензора деформаций, 
– единичный тензор, 
– область, занятая сферой 1, 
– область, занятая сферой 2, 
.
Математическая постановка (2.6)-(2.8) дополняется граничными условиями и условиями симметрии на поверхностях 
и 
. На сферу 1 действует сила
(2.9)
на сферу 2 действует сила
. (2.10)
Будем считать, что поверхности сфер и под действием давления не изгибается, так как на них наложены условия симметрии.
Система уравнений (2.6) – (2.10), так же дополняется условиями взаимодействия на поверхности контакта 
, при этом на контактируют два тела, условные номера которых 1 и 2. Рассмотрены следующие типы контактного взаимодействия:
– проскальзывание с трением: для трения покоя
, 
, 
, 
, (2.8)
при этом 
, 
,
– для трения скольжения
, 
, 
, , , , (2.9)
при этом , 
,
– отлипание
, 
, (2.10)
– полное сцепление
, , , , (2.11)
где 
– коэффициент трения, 
– условные обозначения координатных осей, лежащих в плоскости, касательной к поверхности контакта, 
– перемещения по нормали к соответствующей контактной границе, 
– перемещения в касательной плоскости, 
– напряжение по нормали к контактной границе, 
– касательные напряжения на контактной границе, 
– величина вектора касательных контактных напряжений.
Численная реализация решения задачи о контактировании сфер будет реализовываться на примере контактной пары материалов Сталь-Фторопласт, при этом сжимающие силы 
Н. Такой выбор нагрузки обусловлен тем, что для более маленькой нагрузки необходимо более мелкая разбивка модели га конечные элементы, что проблематично сделать в связи с ограниченным ресурсом вычислительной техники.
При численной реализации задачи о контакте одной из первостепенных задач является оценка сходимости конечно-элементного решения задачи по параметрам контакта параметры контакта. Ниже приведена таблица 2.6. в которой представлены характеристики конечно-элементных моделей, участвующих в оценки сходимости численного решения варианта разбиения.
Таблица 2.6.
Количество узловых неизвестных при различных размерах элементов в задаче о контактировании сфер
| Размер элемента, м | Кол-во узловых неизвестных | Кол-во контактных элементов |
| 0,05 | 1,6 тыс. | |
| 0,025 | 6 тыс. | |
| 0,005 | 144 тыс. | |
| 0,0025 | 540 тыс. |
На рис. 2.9. представлена сходимость численного решения задачи о контактировании сфер.
Рис. 2.9. Сходимость численного решения
Можно заметить сходимость численного решения, при этом распределение контактного давления модели с 144 тыс. узловых неизвестных имеет не значительные количественное и качественное отличия от модели с 540 тыс. узловых неизвестны. При этом время счета программы отличается в несколько раз, что является значительным фактором при численном исследовании.
На рис. 2.10. показано сравнение численного и аналитического решения задачи о контаткировании сфер. Аналитическое решение задачи сравнивается с численным решением модели с 540 тыс. узловых неизвестных.
Рис. 2.10. Сравнение аналитического и численного решений
Можно отметить, что численное решение задачи имеет малые количественные и качественные отличия от аналитического решения.
Аналогичные результаты о сходимости численного решения получены и для двух оставшихся контактных пар материалов.
При этом в Институте механики сплошных сред УрО РАН д.ф.-м.н. А.А.Адамовым выполнен цикл экспериментальных исследований деформационных характеристик антифрикционных полимерных материалов контактных пар при сложных многоступенчатых историях деформирования с разгрузками [45]. Цикл экспериментальных исследований включал (рис. 2.11.): испытания по определению твердости материалов по Бринелю; исследования в условиях свободного сжатия, а также стесненного сжатия путем прессования в специальном приспособлении с жесткой стальной обоймой цилиндрических образцов диаметром и длинной 20 мм [46]. Все испытания проводились на испытательной машине Zwick Z100SN5A при уровнях деформаций, не превышающих 10%.
Испытания по определению твердости материалов по Бринелю происходили путем вдавливания шарика диаметром 5 мм (рис. 2.11., а). В эксперименте, после установки образца на подложку к шарику, прикладывается предварительная нагрузка 9.8 Н, выдерживающаяся в течение 30 сек. Далее со скоростью перемещения траверсы машины 5 мм/мин шарик внедряется в образец до достижения нагрузки 132 Н, которая поддерживается постоянной в течение 30 сек. Затем происходит разгрузка до 9.8 Н. Результаты эксперимента по определению твердости ранее упомянутых материалов представлены в таблице 2.7.
Таблице 2.7.
Твердость материалов
| Материал | Количество опытов | Твердость, Н/мм2 |
| Фторопласт-4, Fпресс=20 МПа | 31.1±0.8 | |
| Фторопласт-4, Fпресс =30 Мпа | 32.3±0.8 | |
| Фторопласт-4, Fпресс =40 Мпа | 31.9±0.7 | |
| МАК, со сферическими бронзовыми включениями | 38.9±1.6 | |
| Модифицированный фторопласт | 48.3±1.4 |
Цилиндрические образцы с диаметром и высотой равными 20 мм исследовались в условиях свободного сжатия. Для реализации однородного напряженного состояния в коротком цилиндрическом образце на каждом торце образца использованы трехслойные прокладки из фторопластовой пленки толщиной 0.05 мм, смазанные низковязкой консистентной смазкой. В этих условиях сжатие образца происходит без заметного “бочкообразования” при деформациях до 10%. Результаты экспериментов на свободное сжатие приведены в таблице 2.8.
Табл. 2.8.
Результаты экспериментов на свободное сжатие
| Материал | Е, МПа | ( = 5%), МПа | ( = 10%), МПа |
| Фторопласт-4, Fпресс=20 МПа | 10.5 | 13.7 | |
| Фторопласт-4, Fпресс =30 Мпа | 10.7 | 14.1 | |
| Фторопласт-4, Fпресс =40 Мпа | 10.4 | 13.8 | |
| МАК, со сферическими бронзовыми включениями | 11.0 | 14.6 | |
| Модифицированный фторопласт | 19.6 | 24.5 |
Исследования в условиях стесненного сжатия (рис. 2.11., в) проведены путем прессования цилиндрических образцов диаметром 20 мм, высотой порядка 20 мм в специальном приспособлении с жесткой стальной обоймой при допустимых предельных давлениях 100-160 МПа. В ручном режиме управления машиной осуществляется нагружение образца предварительной малой нагрузкой (~ 300 Н, осевое напряжение сжатия ~ 1 МПа) для выбора всех зазоров и выдавливания излишков смазки. После этого образец выдерживается в течение 5 мин для затухания релаксационных процессов, затем начинается отработка заданной программы нагружения образца.
Полученные экспериментальные данные по нелинейному поведению композиционных полимерных материалов трудно сравнивать количественно. В таблице 2.9. приведены значения касательного модуля М = /, отражающего жесткость образца в условиях одноосного деформированного состояния.
Табл. 2.9.
Жесткость образцов в условиях одноосного деформированного состояния
| Материал | M (=50 МПа), ГПа | M (=150 МПа), ГПа |
| Фторопласт-4, Fпресс=20 МПа | 2.51 | 5.04 |
| Фторопласт-4, Fпресс =30 Мпа | 2.51 | 4.84 |
| Фторопласт-4, Fпресс =40 Мпа | 2.55 | 4.94 |
| МАК, со сферическими бронзовыми включениями | 3.41 | 4.96 |
| Модифицированный фторопласт | 4.10 | 4. 50 (=100 МПа) |
Из результатов испытаний так же получены механические характеристики материалов: модуль упругости 
, коэффициент Пуассона 
, диаграммы деформирования 
– 
. Значения модуля упругости и коэффициента Пуассона для мат. 1 равны соответственно 
Па и 
, для мат. 2 – 
Па и 
, для мат. 3 – 
Па и 
.
Серия экспериментов проводилась на партиях образцов, каждая партия образцов состояла минимум из 3 штук. После обработки экспериментальных данных получены деформации и напряжения для материалов антифрикционной прослойки (табл. 2.10-2.12).
Табл. 2.10.
Деформация и напряжения в образцах из фторопласта
| Номер | Время, сек | Деформация осевая, % | Напряжение условное, МПа |
| 0,000 | 0,000 | -0,000 | |
| 1154,29 | -0,353 | -1,923 | |
| 1226,43 | -0,381 | -2,039 | |
| 1298,58 | -0,410 | -2,156 | |
| 1370,72 | -0,442 | -2,268 | |
| 2405,21 | -0,889 | -3,713 | |
| 3439,70 | -1,353 | -4,856 | |
| 4474,19 | -1,844 | -5,540 | |
| 5508,67 | -2,343 | -6,044 | |
| 6543,16 | -2,839 | -6,579 | |
| 7577,65 | -3,342 | -7,026 | |
| 8612,14 | -3,854 | -7,335 | |
| 9646,63 | -4,366 | -7,643 | |
| 10681,10 | -4,873 | -8,002 | |
| 11715,60 | -5,382 | -8,330 | |
| 12750,10 | -5,893 | -8,612 | |
| 13784,60 | -6,403 | -8,909 | |
| 14819,10 | -6,914 | -9,230 | |
| 15853,60 | -7,428 | -9,550 | |
| 16888,00 | -7,944 | -9,865 | |
| 17922,50 | -8,457 | -10,184 | |
| 18957,00 | -8,968 | -10,508 | |
| 19991,50 | -9,480 | -10,838 | |
| 21026,00 | -10,000 | -11,202 |
Таблица 2.11
Деформация и напряжения в образцах из антифрикционного композиционного материала на основе фторопласта со сферическими бронзовыми включениями и дисульфидом молибдена
| Номер | Время, сек | Удлинение, % | Напряжение усл, МПа |
| 0,00000 | -0,00000 | ||
| 1635,11 | -0,31227 | -2,16253 | |
| 1827,48 | -0,38662 | -2,58184 | |
| 2196,16 | -0,52085 | -3,36773 | |
| 2933,53 | -0,82795 | -4,76765 | |
| 3302,22 | -0,99382 | -5,33360 | |
| 3670,9 | -1,15454 | -5,81052 | |
| 5145,64 | -1,81404 | -7,30133 | |
| 6251,69 | -2,34198 | -8,14546 | |
| 7357,74 | -2,85602 | -8,83885 | |
| 8463,8 | -3,40079 | -9,48010 | |
| 9534,46 | -3,90639 | -9,97794 | |
| 10236,4 | -4,24407 | -10,30620 | |
| 11640,4 | -4,92714 | -10,90800 | |
| 12342,4 | -5,25837 | -11,18910 | |
| 13746,3 | -5,93792 | -11,72070 | |
| 14448,3 | -6,27978 | -11,98170 | |
| 15852,2 | -6,95428 | -12,48420 | |
| 16554,2 | -7,29775 | -12,71790 | |
| 17958,2 | -7,98342 | -13,21760 | |
| 18660,1 | -8,32579 | -13,45170 | |
| 20064,1 | -9,01111 | -13,90540 | |
| 20766,1 | -9,35328 | -14,15230 | |
| -9,69558 | -14,39620 | ||
| -10,03990 | -14,57500 |
Табл. 2.12.
Деформация и напряжения в образцах из модифицированного фторопласта
| Номер | Время, сек | Деформация осевая, % | Напряжение условное, МПа |
| 0,0 | 0,000 | -0,000 | |
| 1093,58 | -0,32197 | -2,78125 | |
| 1157,91 | -0,34521 | -2,97914 | |
| 1222,24 | -0,36933 | -3,17885 | |
| 2306,41 | -0,77311 | -6,54110 | |
| 3390,58 | -1,20638 | -9,49141 | |
| 4474,75 | -1,68384 | -11,76510 | |
| 5558,93 | -2,17636 | -13,53510 | |
| 6643,10 | -2,66344 | -14,99470 | |
| 7727,27 | -3,16181 | -16,20210 | |
| 8811,44 | -3,67859 | -17,20450 | |
| 9895,61 | -4,19627 | -18,06060 | |
| 10979,80 | -4,70854 | -18,81330 | |
| 12064,00 | -5,22640 | -19,48280 | |
| 13148,10 | -5,75156 | -20,08840 | |
| 14232,30 | -6,27556 | -20,64990 | |
| 15316,50 | -6,79834 | -21,18110 | |
| 16400,60 | -7,32620 | -21,69070 | |
| 17484,80 | -7,85857 | -22,18240 | |
| 18569,00 | -8,39097 | -22,65720 | |
| 19653,20 | -8,92244 | -23,12190 | |
| 20737,30 | -9,45557 | -23,58330 | |
| 21821,50 | -10,00390 | -24,03330 |
По данным, представленным в таблицах 2.10.-2.12. построены диаграммы деформирования (рис. 2.2).
По результатам эксперимента можно предположить, что описание поведения материалов возможно в рамках деформационной теории пластичности. На тестовых задачах влияние упругопластических свойств материалов не проверялось в виду отсутствия аналитического решения.
Исследование влияния физико-механических свойств материалов при работе в качестве материала контактной пары рассмотрено в главе 3 на реальной конструкции сферической опорной части.