![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
График функции многих переменных. Линии уровняФункции нескольких переменных
Методические указания и контрольная работа для студентов первого курса всех специальностей
Ухта 2003 УДК 514.742.4(075)
Мотрюк Е.Н., Мужикова А.В., Зубкова С. Е. Функции нескольких переменных: Методические указания. – Ухта: УГТУ, 2003.– 42с. ил.
Методические указания предназначены для студентов первого курса всех специальностей. В методических указаниях даны основные сведения о функциях нескольких переменных и их приложениях. Приведено достаточное количество примеров с подробным описанием решения. Содержание указаний соответствует рабочей программе.
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой высшей математики УГТУ от 19.06.03 пр. №10.
Рецензент – Волкова И.И., доцент, к.т.н. Редактор – Баскакова Ю.Л., ст. преп. каф. ВМ. В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора
План 2003г., позиция 92 Подписано в печать 01.11.2001г. Объем 16 м.п.л. тираж 25 экз. Заказ.171
2003г., Ухта, ул. Первомайская, 13. СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1.1. Понятие функции многих переменных. График и линии уровня функции двух переменных.
Определение функции многих переменных Определение. Переменная Определение. Переменная величина
Всякая функция нескольких переменных становится функцией меньшего числа переменных, если часть их зафиксировать. Например, функции В дальнейшем будем рассматривать, в основном, функции двух переменных.
График функции многих переменных. Линии уровня Определение. Множество
Для наглядного геометрического представления используют линии уровня для функции двух переменных и поверхностей уровня для функции трех переменных.
Определение. Множество точек пространства Определение. Линией уровня функции двух переменных Определение. Поверхностью уровня функции трех переменных
Пример 1.1.1 Выразить объем прямоугольного параллелепипеда, вписанного в шар радиуса Исходим из построенного чертежа (рис.1). Обозначим два измерения, скажем,
Ее область определения:
Под функцией
Пример 1.1.2. Дано: А) В) А) Чтобы найти В)
Пример 1.1.3. Дано: Введем обозначения Тогда
Из
Пример 1.1.4. Найти область определения и множество значений функции Действие извлечения корня возможно при условии
Пример 1.1.5. Найти область определения функции
Пример 1.1.6. Найти линии уровня функции Линии уровня
Упражнения к §1.1. 1) Выразить площадь 2) Выразить площадь треугольника как функцию длин двух его сторон 3) Выразить объем конуса 4) Дана функция a) b) c) d) e) f) 5) Для функции a) b) c) d) 6) Найти 7) Найти 8) Найти и изобразить области определения следующих функций: a) b) c) d) e) 9) Найти линии уровня данных функций: a) b) c) d)
§ 1.2. Предел функции нескольких переменных в точке. Непрерывность функции в точке и на множестве.
Предел функции в точке Определение. Множество всех точек Определение. Пусть функция
Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому
Пример 1.2.1. Найти предел Будем приближаться к
Предел функции двух переменных обладает теми же свойствами, что и предел функции одной переменной.
Пример 1.2.2. Найти предел Исходя из того, что
Пример 1.2.3. Вычислить предел Если
Пример 1.2.4. Вычислить предел Обозначим
Пример 1.2.5. Вычислить предел Условие Непрерывность функции в точке Определение. Функция a) определена в этой точке и ее окрестности, b) имеет предел c) этот предел равен значению функции Пример 1.2.6. Непрерывна ли функция Проверяем условия непрерывности функции в 1. Функция 2. 3. Предел в точке равен значению функции в этой точке Функция непрерывна в точке
Функции, непрерывные на множестве Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям–подобные теоремы имели место для функции одной переменной.
Определение. Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности. Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки. Свойство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области. Определение. Точка Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла. Примером ограниченной-
Теорема 1.2.1. Если функция a) ограничена, т.е. существует такое число b) имеет точки, в которых принимает наименьшее c) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между
Упражнения к §1.2. 1) Вычислить пределы: a) b) c) d) e) 2) Найти пределы: a) b) c) d) e) f) 3) Исследовать на непрерывность данные функции в указанных точках: a) b) c)
ГЛАВА 2. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 2.1. Частные производные функции нескольких переменных. Полный дифференциал. Линеаризация функций Определение частных производных. Рассмотрим функцию двух переменных Определение. Частными приращениями функции
Определение. Полным приращением функции
Заметим, что в общем случае
Пример 2.1.1. Найти частное и полное приращение функции Принимаем
Таким образом, используя формулы (1) и (2), получаем
Очевидно,
Определение. Частной производной функции
Приняты также обозначения: Аналогично по другой переменной.
Пример 2.1.2. Найти частные производные функции
Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных
Аналогично, Определение. Частные производные
Частные производные, взятые по различным порядкам, называются смешанными. Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков. Частные производные функции двух и более переменных определяется по тем же формулам и правилам, что и функции одной переменной. Следует помнить только одно правило: если по одной переменной дифференцируем, то остальные считаем постоянными.
Пример 2.1.3. Найти частные производные второго порядка функции Так как
Теорема 2.1.2 (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой. В частности, для Дифференциал функции. Линеаризация функций Определение. Если функция Обозначение:
– полный дифференциал функции
Пример 2.1.5. Найти полный дифференциал функции Здесь имеем место с производными сложной функции и дроби. Ввиду симметрии выражения После преобразований получаем Определение. Если полное приращение Теорема 2.1.3. Для того чтобы функция Определение. Линеаризацией функции
Это соотношение используется в приближенных вычислениях: дифференцируемую функцию можно заменить линейной функцией в окрестности рассматриваемой точки.
Пример 2.1.4. Вычислить приближенно Рассмотрим функцию
Упражнения к §2.1. 1) Найти частное и полное приращения данной функции в данной точке и при данных приращениях аргументов: a) b) c) 2) Найти полные приращения данных функций в данных точках (или при переходе от точки a) b) c) 3) Найти частные производные данных функций: a) b) c) d) e) 4) Вычислить приближенно: a) b) c) d) e) f)
§2.2. Дифференцирование сложных и неявных функций. Касательная пи нормаль к поверхности. Случай одной независимой переменной Предположим, что Теорема 2.2.1.Имеет место равенство
Если и
Пример 2.2.1. Найти Непосредственная подстановка не упрощает функцию, поэтому применяем формулу (6).
В результате можно как сохранить переменные
Случай нескольких независимых переменных Если аргументы Теорема 2.2.2 Имеют место формулы
Структура этих формул сохраняется и при более большем числе переменных.
Пример 2.2.2. Найти Применим формулы (8): Составляя суммы соответствующих произведений: Ответ можно оставить в такой форме, или выразить через
Дифференциал сложной функции Дифференциал сложной функции заменить
В результате подстановки и перегруппировки членов при
Показывающий, что форма дифференциала не зависит от того, являются ли
Пример 2.2.3. Найти дифференциал функции Поскольку
Подставив в
Подставим выражения для |