Определение. Градиентом функции (скалярного поля) называется вектор с координатами . Обозначается .

Теорема 3.1.3 Имеет место равенство , т.е. производная по направлению равна скалярному произведению векторов градиента и орта направления .

Следствие. Вектор в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку возрастания функции. При этом

(15)

Теорема 3.1.4. Скорость изменения функции по некоторому направлению равна проекции вектора градиента на это направление, т.е. .

Пример 3.1.1. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью угол . Определить направление максимального роста функции в данной точке.

Имеем , , , . Следовательно, если через обозначим данное направление, то согласно (13), получим .

Рисунок 5.

Градиент функции поля в данной точке имеет вид

. Этот вектор указывает направление, в котором функция растет быстрее, чем по другим направлениям. На рис.5. схематически изображены точка

,направление

и направление

Максимальное значение производной (см. формулу (15) в точке равно по модулю .

Пример 3.1.2. Найти производную в точке по направлению к точке .

Имеем , с направляющими косинусами вектора : , .Тогда – орт направления . Далее, имеем , , , , а значит, . Отрицательность означает, что функция в этом направлении убывает.

Упражнения к §3.1.

1) Построить линию уровня функции , проходящую через точку . Построить градиент и убедится, что он перпендикулярен построенной линии уровня.

2) Для функции построить линии уровня и градиент. Сравнить их направления в точках и .

3) Найти наибольший рост (наибольшую крутизну) поверхности в точке .

4) Найти производную функции в направлении, параллельном биссектрисе координатного угла.

§3.2 Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Касательная и нормаль к поверхности

Пусть фиксированная точка на поверхности , заданной функцией или уравнением .

Определение. Касательной плоскостью к в точке называется плоскость , в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на через . Нормалью называется прямая , проходящая через перпендикулярно .

Из определения следует, что нормальный вектор касательной плоскости и направляющий вектор прямой совпадают.

Уравнения имеют вид:

a) Если задана явно функцией , то:

(16)

b) Если задана уравнением , то:

(17)

Пример 3.2.1. Составить уравнения касательной и нормали в точке к кривой , заданный неявно уравнением .

Положим . Тогда . Далее имеем , , , . Условие обеспечивает существование однозначной неявной функции в окрестности точки . Уравнение касательной имеет вид , где , т.е. . Уравнение нормали имеет вид , т.е. (формулы (16)).